中学学科网2008年高考（重庆卷）数学（理科）解析
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(K)=kmPk(1-P)n-k
以R为半径的球的体积V=πR3.
选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）复数1+=
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3
【标准答案】A
【试题解析】1+=1+
【高考考点】复数的概念与运算。
【易错提醒】计算失误。
【学科网备考提示】复数的概念与计算属于简单题，只要考生细心一般不会算错。
(2) 设是整数，则“均为偶数” 是“是偶数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【标准答案】A
【试题解析】均为偶数是偶数 则充分； 是偶数则均为偶数或者均为奇数即是偶数均为偶数 则不必要，故选A
【高考考点】利用数论知识然后根据充要条件的概念逐一判定
【易错提醒】是偶数则均为偶数或者均为奇数
【学科网备考提示】均为偶数是偶数，易得;否定充要时只要举例：，即可。
(3)圆O1:和圆O2: 的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
【标准答案】B
【试题解析】,，则
【高考考点】圆的一般方程与标准方程以及两圆位置关系
【易错提醒】相交
【学科网备考提示】圆的一般方程与标准方程互化，此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
(4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
【标准答案】C
【试题解析】定义域 ，当且仅当即上式取等号，故最大值为 最小值为
【高考考点】均值定理
【易错提醒】正确选用
【学科网备考提示】教学中均值定理变形应高度重视和加强训练
(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则＝
(A) (B) (C) (D)
【标准答案】D
【试题解析】服从正态分布N(3,a2) 则曲线关于对称，
【高考考点】正态分布的意义和主要性质。
【易错提醒】正态分布性质：曲线关于对称
【学科网备考提示】根据正态分布性质是个较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
(6) 若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
（A） 为奇函数 （B）为偶函数（C）为奇函数（D）为偶函数
(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为,离心率,则双曲线方程为
（A）－=1 (B)
(C) (D)
【标准答案】C
【试题解析】，， 所以
【高考考点】双曲线的几何性质
【易错提醒】消去参数
【学科网备考提示】圆锥曲线的几何性质是高考必考内容
(9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A）V1= (B) V2=
（C）V1> V2 （D）V1< V2
【标准答案】D
【试题解析】设大球半径为 ，小球半径为 根据题意所以 于是即所以
【高考考点】球的体积公式及整体思想
【易错提醒】及不等式的性质
【学科网备考提示】数形结合方法是高考解题的锐利武器，应当很好掌物。
(10)函数f(x)=() 的值域是
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】B
【试题解析】特殊值法， 则f(x)=淘汰A，
令得当时时所以矛盾淘汰C， D
【高考考点】三角函数与函数值域
【易错提醒】不易利用函数值为进行解题
【学科网备考提示】加强特殊法---淘汰法解选择题的训练，节省宝贵的时间，提高准确率
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，
则
【标准答案】{2,5}
【试题解析】，
【高考考点】集合运算
【易错提醒】补集的概念
【学科网备考提示】应当把集合表示出来，一般就不会算错。
（12）已知函数f(x)=(当x0时) ，点在x=0处连续，则 .
【标准答案】
【试题解析】 又 点在x=0处连续，
所以 即 故
【高考考点】连续的概念与极限的运算
【易错提醒】
【学科网备考提示】函数连续解题较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
(13)已知(a>0) ，则 .
【标准答案】3
【试题解析】
【高考考点】指数与对数的运算
【易错提醒】
【学科网备考提示】加强计算能力的训练，训练准确性和速度
(14)设是等差数列{}的前n项和，, ,则 .
【标准答案】-72
【试题解析】，
【高考考点】等差数列求和公式以及等差数列的性质的应用。
【易错提醒】等差数列的性质
【学科网备考提示】此题不难，但是应当注意不要因为计算失误而丢分
（15）直线与圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为 。
【标准答案】
【试题解析】设圆心，直线的斜率为， 弦AB的中点为，的斜率为，则，所以 由点斜式得
【高考考点】直线与圆的位置关系
【易错提醒】
【学科网备考提示】重视圆的几何性质
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.
【标准答案】216
【试题解析】则底面共，，
，由分类计数原理得上底面共，由分步类计数原理得共有
【高考考点】排列与组合的概念，并能用它解决一些实际问题。
【易错提醒】掌握排列组合的一些基本方法，做题时从特殊情况分析，可以避免错误。
【学科网备考提示】排列组合的基本解题方法
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值.
【标准答案】 解：（Ⅰ）由余弦定理得
＝故
（Ⅱ）解法一：＝＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故
同理可得
从而
【高考考点】本小题主要考查余弦定理、三角函数的基本公式、三角恒等变换等基本知识，以及推理和运算能力。 三角函数的化简通常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆运算。
【易错提醒】正余切转化为正余
【学科网备考提示】三角函数在高考题中属于容易题，是我们拿分的基础。。
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
【标准答案】 解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
2 3 4 5 6 P
从而（局）.
【高考考点】本题主要考查独立事件同时发生、互斥事件、分布列、数学期望的概念和计算，考查分析问题及解决实际问题的能力。
【易错提醒】连胜两局或打满6局时停止
【学科网备考提示】重视概率应用题，近几年的试题必有概率应用题。
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使
,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.
【标准答案】 解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.
在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从
而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.
下求DB之长.在答（19）图1中，由，得
又已知DE=3,从而
因
y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），，E（0，3，0）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线
于F，连接AF.
设从而
，有 ①
又由 ②
联立①、②，解得
因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以
因此所求二面角A-EC-B的大小为
【高考考点】本题主要考查直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线间的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。
【易错提醒】
【学科网备考提示】立体几何中的平行、垂直、二面角是考试的重点。
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函
（Ⅰ）用分别表示和；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=的单调区间。
【标准答案】解：(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，）
又曲线在处的切线垂直于轴，故即,因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.此时有
从而
所以令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
【高考考点】本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求最值以及不等式的性质。
【易错提醒】不能求的最小值
【学科网备考提示】应用导数研究函数的性质，自2003年新教材使用以来，是常考不衰的考点。
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，和的平面上的两点，动点满足：
（Ⅰ）求点的轨迹方程：
（Ⅱ）若
由方程组 解得 即P点坐标为
【高考考点】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。
【易错提醒】不能将条件与联系起来
【学科网备考提示】重视解析几何条件几何意义教学与训练。
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.
【标准答案】 解：(Ⅰ)因
由此有，故猜想的通项为
对求和得 ⑦
由题设知
即不等式22k+1＜对kN恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此,结合③式知,因此a2=22=将代入⑦式得=2－(nN),
所以==22－(nN)
【高考考点】本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力。
【易错提醒】如何证明，选择方法很重要。本题（Ⅱ）证明要会熟练的使用不等式放宿技巧。
【学科网备考提示】这种题不仅要求考生有很好的思维、推理能力；而且平时做题要善于总结，对数列与不等式的放宿技巧要非常熟练。
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