2008年高考北京理科数学详解
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】: D
【试题分析】: CB=[-1, 4]，＝
【高考考点】:集合
【易错提醒】: 补集求错
【备考提示】: 高考基本得分点
2．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: A
【试题分析】:利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0.
【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。
【易错提醒】: 估值出现错误。
【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。
3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】: B
【试题分析】: 函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。
【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚
【备考提示】: 平时注意数形结合训练。
4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【标准答案】: D
【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
【高考考点】: 二次函数的定义。
【易错提醒】: 没有转化的意识
【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。
5．若实数满足则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
【标准答案】: B
【试题分析】: 解出可行域的顶点，带入验证。
【高考考点】: 线性规划
【易错提醒】: 顶点解错
【备考提示】: 高考基本得分点。
6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析一】: 过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。
【试题分析二】:明白N点后，用图象法解之也很方便
【高考考点】: 直线与圆的位置关系。
【易错提醒】: N点找不到。
【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。
8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
【标准答案】: B
【试题分析】: 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。
【高考考点】: 截面，线与面的位置关系。
【易错提醒】: 找不到特殊点O，或者发现不了O的特殊性。
【备考提示】: 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知，其中是虚数单位，那么实数 ．
【标准答案】: -1
【试题分析】: a－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1
【高考考点】: 复数的运算
【易错提醒】: 增根a=1没有舍去。
【备考提示】: 高考基本得分点。
10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
【标准答案】: 0
【试题分析】: 利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。
【高考考点】: 向量运算的几何意义
【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。
【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。
11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【标准答案】: 5 10
【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C＝10.
【高考考点】: 二项式
【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误
【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。
12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；
．（用数字作答）
【标准答案】: 2 -2
【试题分析】: f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.
【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。
【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。
【备考提示】: 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。
13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 ．
【标准答案】: ②
【试题分析】: 函数显然是偶函数，其导数y’=2x+sinx在0
【高考考点】: 导数，函数的图像，奇偶性。
【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。
【备考提示】: 加强导数综合应用的训练。
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
【标准答案】: （见后）
【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。
【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。
【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
【标准答案】: （见后）
【高考考点】: 直线与直线的垂直，二面角，点面距离
【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一
【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。
17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
【标准答案】:
【高考考点】: 概率，随机变量的分布列
【易错提醒】: 总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C混淆为A
【备考提示】: 近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。
18．（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
【标准答案】:
【高考考点】: 导数，导数的应用
【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错
【备考提示】: 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。
19．（本小题共14分）
已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
【标准答案】:
【高考考点】: 直线方程，最值
【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理
【备考提示】: 解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配。
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；
又定义．
设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
【标准答案】:
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 入口出错
【备考提示】: 由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，新数列的前几项一定不难出错，它出错，则整体出错。
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以，
因此，即的取值范围为．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为．
．
点到平面的距离为．
17．（共Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，
则．
所以，的分布列是
1 3
18．（共13分）
解：
．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：
0 当，即时，的变化情况如下表：
0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以．
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，
则为，，，，，
从而
．
又，
所以
，
故．
（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由
可知．
又由（Ⅱ）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
A
C
B
P
A
C
B
D
P
A
C
B
E
P
A
C
B
D
P
H
A
C
B
P
z
x
y
H
E
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