2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么 表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是， 那么次独立重复试验中事件恰好发生表示锥体的底面积，表示锥体的高
次的概率 球的表面积公式台体的体积公式
球的体积公式其中
表示台体的高 其中R表示球的半径
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知函数
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（3）设为虚数单位，则
（A） （B） （C） （D）
（4）某程度框图如图所示，若输出的，则判断框内为
（A） （B）
（C） （D）
（5）设为等比数列的前n项和，
（A）－11 （B）－8 （C）5 （D）11
（6）设则“xsin2 x<1”是“xsin x<1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）若实数x、y满足不等式组则x+y的最大值为
（A）9 （B）
（C）1 （D）
（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知x是函数的一个零点，若，则
（A） （B）
（C） （D）
（10）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1P F2=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为
（A）x±y=0 （B）x±y=0
(C) x±y=0 (D) x±y=0
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ， .
（12）函数f(x)=sin2 (2x－)的最小正周期是 .
（13）已知平面向量α，β，＝1, =2，α⊥（α－2β），则的值是 .
（14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n行第n+1列的数是 .
（15）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .
（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x%,八月份销售额比七月份递增x％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是 .
（17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点.在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（18）（本题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）.
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值.
（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，z差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，满足S2S6＋15＝0.
（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;
（Ⅱ）求d的取值范围.
（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE;
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面
A′DE所成角的余弦值.
（21）（本题满分15分）已知函数f（x）＝（－a）
（a－b）（a，b∈R，a
（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.
（22）（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－my－＝0上.
（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;
（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
数学（文科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）D （2）B （3）C （4）A （5）A
（6）B （7）A （8）B （9）B （10）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
（11）45，46 （12） (13)
（14）n2+n （15）18 （16）20 （17）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
（18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ)解：由题意可知
absinC=,2abcosC. 所以tanC=. 因为0
（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)
=sinA+A+sinA=sin(A+)≤.
当△ABC为正三角形时取等号，
所以sinA+sinB的最大值是.
(19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)解：由题意知S0=-3,
a=S-S=-8
所以
解得a1=7
所以S=-3,a1=7
(Ⅱ)解：因为SS+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8.
所以d2≥8.[
故d的取值范围为d≤-2或d≥2.
(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知
FG∥CD，FG=CD.
BE∥CD,BE=CD.
所以FG∥BE,FG=BE.
故四边形BEGF为平行四边形,
所以BF∥平面A′DE.
（Ⅱ)解：在平行四边形ABCD中，设BC=a,
则AB-CD=2A,AD=AE=EB=a,
连CE.
因为∠ABC=120°,
在△BCE中，可得CE=a,
在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,
在正三角形ADE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.
由平面ADE平面BCD,
可知AM⊥平面BCD,A′M⊥CE.
取A′E的中点N，连线NM、NF，
所以NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于M,
所以NF.平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.
在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,
则cos/ =.
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分15分。
(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，
因为f′(x)=(x-1)(3x-5).
故f′(2)=1.
又f（2）＝0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2.
（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），
由于a
故a<.
所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，
故x3＝b.
又因为－a＝2（b－），
x4＝（a＋）＝，
所以a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝.
（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）解：因为焦点F（，0）在直线l上，得
p＝m2，
又m＝2，故p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
（Ⅱ）证明：因为抛物线C的焦点F在直线l上，
所以p，lm2，
所以抛物线C的方程为y2＝2m2x.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x得
y2－2m3y－m4＝0，
由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0，
且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，
设M，M2分别为线段AA1，BB1的中点，
由于2
可知G（），H（），
所以
所以GH的中点M.
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则R2=(m2+4)(m2+1)m2.
设抛物线的准线与x轴交点N(－，0)，
则=
=m4(m4+8 m2+4)
=m4[(m2+1)( m2+4)+3m2]
＞m2 (m2+1)( m2+4)=R2.
故N在以线段GH为直径的圆外.
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