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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合，则=
（A） （B） （C） （D）
（2）在等比数列中，，公比.若，则m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12[来源:Z|xx|k.Com]
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
（5）极坐标方程表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
（6）为非零向量.“”是“函数为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数的图像上存在区域D上的点，则的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
(8)如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=，DQ=，DＰ＝（大于零），则四面体的体积
（Ａ）与都有关
（Ｂ）与有关，与、无关
（Ｃ）与有关，与，无关
（Ｄ）与有关，与，无关
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。
（10）在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = 。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3 [ (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ。
(18)(本小题共13分)
已知函数(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：，且;
（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.
证明：
,[
所以，当时取最大值6；当时，取最小值
（16）（共14分）
证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且
所以
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系
则
所以
所以
所以
所以
（17）（共13分）
解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，由题意知
（Ⅰ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
（Ⅱ）由题意知
整理得
(18)共13分
解：（Ⅰ）当时，
由于
所以曲线在点处的切线方程为
即
（Ⅱ）
当时，
所以，在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是
当时，由，得
所以，在区间和上，，在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是
当时，
故的单调递增区间是
当时，由 ，得
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是
（19）（共14分）
（Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点的坐标分别为
则直线的方程式为，直线的方程式为
令得
于是的面积
又直线AB的方程为
点P到直线AB的距离
于是的面积
当时，得
又
所以，解得
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点P的坐标为
则
因为
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为
（20）（共13分）
证明：（Ⅰ）设
因为
从而
又
由题意知
当时，
当时，
所以
所以中1的个数为，中1的个数为
设是使成立的的个数，则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）表示中所有两个元素间距离的综合
设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0
则
由于
所以[来源:Zxxk.Com]
好教育云平台 高考真题第1页（共1页）
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