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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
参考公式：
（1）样本数据的方差,其中
（2）直柱体的侧面积，其中为底面周长，是高
（3）柱体的体积公式，其中为底面面积，是高
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1、已知集合 则
答案：
解析：考察简单的集合运算，容易题。
2、函数的单调增区间是__________
答案：
解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
答案：1
解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是________
答案：3
解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
答案：
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
答案：
解析：考察方差的计算，可以先把这组数都减去6再求方差，，容易题。
7、已知 则的值为__________
答案：
解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
答案：4
解析：考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设交点为，，则
9、函数是常数，的部分图象如图所示，则
答案：
解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图可知：
由图知：
10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 。
答案：
解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。由得：
11、已知实数，函数，若，则a的值为________
答案：
解析：考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。，不符合；
12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
答案：
解析：综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，难题。
设则，过点P作的垂线
，
，所以，t在上单调增，在单调减，。
13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
答案：
解析：考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意：，
，而的最小值分别为1，2，3；。
14、设集合, ,
若 则实数m的取值范围是______________
答案：
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。
（1）
（2）
由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2）又
直线EF‖平面PCD
（2） F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD。
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
解析：考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中档题。
（1）（0
（2），所以，
当时，，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、
解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、
直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。
（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以
（2）由得，，AC方程：即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
法二：设,
A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得：,
,
19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。
（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即
即
（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。
（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。
解析：考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。
（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
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数学II（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），
求证：为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
解析：考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。
设，由得：，
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。
椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：，解集为
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长。
解析：考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算
能力，（1）是中档题，（2）是较难题。
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
面MDN的法向量，
设面A1DN的法向量为，则
取即
(1)由题意：取
（2）由题意：即取
23．（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
（2）设，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：
好教育云平台 高考真题第1页（共1页）
★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。http://www.mathedu.cn
Read a，ba
Else
mb
End If
Print m
N
M
P
A
x
y
B
C
★此试卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
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