2 0 1 2年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔
在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．2．本试卷共有23道试题，满分
150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得
4分，否则一律得零分．1、计算： （为虚数单位）若集合，，则＝ 函数的最小正周期是 若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （
结果用反三角函数值表示）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 方程的解是 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比
数列，体积分别记为，则 在的二项式展开式中，常数项等于 已知是奇函数，若且，则 满足约束条件的目标函数的最小值是 三位同学参加跳高
、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）在矩形中，边、的长分别为
2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 已知
，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15、若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A、 B、 C、 D、16、
对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件17、在△中，若，则△的形状是（ ）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三
角形 D、不能确定18、若（），则在中，正数的个数是（ ）A、16 B、72
C、86 D、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应
编号的规定区域内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分PABCD如图，在三棱
锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 2
0、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数
，且当时，有，求函数（）的反函数.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事
船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向1
2海里处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的
横坐标为（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才
能追上失事船？ 22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系
中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；（2）过的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四
边形的面积；（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第
2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列
是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）
，求证：，（）；（3）设，常数，若，是的控制数列，求.上海 数学试卷（文史类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、选择题（第15题至第
18题）15. 16. 17. 18. [解] （1）由于 ， 所以三棱锥P-ABC的体积为PABCDE. （2）如图，取的中点，
连接、，则 ，所以（或其补角）是异面直线 与所成的角. 在三角形中，，，， ，所以. 即 异面直线与所成的角的大小是.20.[解]
：（1）由，得. 由得. 因为，所以，即 . 由得. （2）当时，，因此. 由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 21.[解
]：（1）当时，的横坐标，代入抛物线方程 中，得的纵坐标. 由，得救援船速度的大小为海里/时. 由，得，故救援船速度 的方向为
北偏东弧度. （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得. 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，
即. 因此，救援船的时速至少是海里才能追上失事船. 22.[解]：（1）双曲线，左焦点. 设，则， 由是右支上一点，知，所以，得.
所以. （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. 所求平行四边形的面积为. （3）设
直线PQ的方程是.因直线PQ与已知圆相切，故，即 ().由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 即
. 由()知，所以. 23.[解]（1）数列为：；；； ；. （2）因为，， 所以. 因为，， 所以，即. 即得 . （3）对，， ；. 比较大小，可得. 因为，所以，即； ，即. 又，从而，，，. 因此 = = ===.21 |
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