2013年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1．（4分）不等式＜0的解为 ．
2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= ．
3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．
4．（4分）已知，，则y= ．
5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是 ．
6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ．
8．（4分）方程的实数解为 ．
9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）= ．
10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则= ．
11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）
12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为 ．
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（ ）
A． B． C．1+ D．1﹣
16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（ ）
A．0 B． C．2 D．2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．
（Ⅱ） 令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．
22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”
（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；
（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”
2013年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1．（4分）不等式＜0的解为 0＜x＜ ．
【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
【解答】解：原不等式化为或，
解得：0＜x＜，
故答案为：0＜x＜
【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．
2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= 15 ．
【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．
【解答】解：因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，
由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，
则a2+a3=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题．
3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．
【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．
【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，
∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．
4．（4分）已知，，则y= 1 ．
【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．
【解答】解：由已知，，
所以x﹣2=0，x﹣y=1
所以x=2，y=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．
5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是 ．
【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，
∴cosC===﹣，
∵C为三角形的内角，
∴C=．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 ．
【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．
【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：
75x+80y=（x+y）×a，且=40%．
所以a=78，
则这次考试该年级学生平均分数为78．
故答案为：78．
【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．
7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ﹣2 ．
【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．
【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar
令10﹣3r=7得r=1，
∴x7的系数是aC51
∵x7的系数是﹣10，
∴aC51=﹣10，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．（4分）方程的实数解为 log34 ．
【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．
【解答】解：令t=3x（t＞0）
则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）
∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件
即方程的实数解为 log34．
故答案为：log34．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．
9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）= ﹣ ．
【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，
∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则= ．
【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．
【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．
在直角三角形ODA中，因为，所以．
则．
故答案为
【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．
11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）
【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．
【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，
所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，
所以两球编号之积为偶数的概率为：=．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．
12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），
因点C在椭圆上，∴，
∴b2=，
∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，
则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为 [，+∞） ．
【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围
【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，
又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立
故必有6a≥a+1，解得a≥
故答案为[，+∞）
【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是 ﹣5 ．
【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．
【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；
（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；
（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；
（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；
同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．
则的最小值是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（ ）
A． B． C．1+ D．1﹣
【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．
【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），
解得x=
所以f﹣1（2）=．
故选：A．
【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．
16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：B．
【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，
【解答】解：若p?q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；
“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件?结论．
故“好货”是“不便宜”的充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（ ）
A．0 B． C．2 D．2
【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．
【解答】解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）max==．
∴Mn==2．
故选：D．
【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．
【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，
∴该三棱锥的体积==；
设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．
则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，
∴三棱锥的侧面积为×=2，
∴该三棱锥的表面积为．
【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）=，1≤x≤10．
则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．
【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．
（Ⅱ） 令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．
【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；
（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；
【解答】解：（1）f（x）=2sinx，
F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），
F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），
所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键
22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意代入式子计算即可；
（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；
（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；
【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；
（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，
①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，
所以，得a1=1；
②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，
所以，得（舍去）或．
综合①②得a1=1或．
（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，
a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（），
以下分情况讨论：
①当a1＞2时，由（）得a1=0，与a1＞2矛盾；
②当0＜a1≤2时，由（）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），
所以{an}是一个等差数列；
③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，
因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2，
此时d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．
【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．
23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”
（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；
（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”
【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；
（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；
（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．
【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：
或，其中．
（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，
所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．
若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．
考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．
显然直线x=0与C1无公共点．
如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．
所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．
因此原点不是“C1﹣C2型点”．
（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，
故可设l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，
从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．
因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，
得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．
因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，
因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，
即b2≥2k2﹣1．
因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，
所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．
因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
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