2 0 1 3 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码
贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个
空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解为 ．
2．在等差数列中，若，则 ．
3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 ．
4．已知，，则 ．
5．已知的内角所对的边分别是．若，则角的
大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的．在一次考试中，男、女生平均分数分别
为、，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．设常数．若的二项展开式中项的系数为，则 ．
8．方程的实数解为 ．
9．若，则 ．
10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上两个
不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则 ．
11．盒子中装有编号为的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的
概率是 （结果用最简分数表示）．
12．设是椭圆的长轴，点C在上，且．若，，则的两个焦点
之间的距离为 ．
13．设常数．若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．
14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；
以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若，且，，
则的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数的反函数为，则的值是（ ）．
(A) (B) (C) (D)
16．设常数，集合，．若，则的取值
范围为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
17．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）．
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，
的最大值分别是，则（ ）．
(A) 0 (B) (C) 2 (D)
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）
如图，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润
是元．
（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中常数．
（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图像．对任意，求在区间上零点个数的所有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知函数，无穷数列满足，．
（1）若，求；
（2）若，且成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如图，已知双曲线，曲线．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．
（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过
该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点
不是“型点”；
（3）求证：圆内的点都不是“型点”．
上海 数学试卷（文史类） 参考答案
一、填空题（第1题至第14题）
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二、选择题（第15题至第18题）
15. 16. 17. 18.
三、解答题（第19题至第23题）
19．[解]
由已知条件可知，正三棱锥的底面△是边长为2的正三角形，
经计算得底面△的面积为．
所以三棱锥的体积为．
设是正三角形的中心．
由正三棱锥的性质可知，垂直于平面．
延长交于，得，．
又因为，所以正三棱锥的斜高．
故侧面积为．所以该三棱锥的表面积为，
因此，所求三棱锥的体积为，表面积为．
20．[解]
（1）生产千克该产品，所用的时间是小时，所获得的利润为．
所以，生产千克该产品所获得的利润为元．
（2）生产900千克该产品，获得的利润为，．
记，，则．
当且仅当时取到最大值．获得最大利润为元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
21．[解]
（1），
．
，，，．
所以，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2），
若的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到的图像，所以．
令，得或 ．
因为恰含10个周期，所以，
当是零点时，在上的零点个数为21；
当不是零点时， 也都不是零点，区间上恰有两个零点，故在上有20个零点．
综上，在上零点的所有可能值为21或20．
22．[解]
（1），，．
（2），．
① 当时，，所以，得．
② 当时，，所以，得（舍去）或．
综合①②得或．
（3）假设这样的等差数列存在，那么，．
由得（）．
以下分情况讨论：
① 当时，由（）得，与矛盾；
② 当时，由（）得，从而 ，
所以是一个等差数列；
③ 当时，则公差，因此存在使得
．此时，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列．
23． [解]
（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：
或，其中．
（2）因为直线与有公共点，
所以方程组有实数解，因此得．
若原点是“”型点，则存在过原点的直线与都有公共点．
考虑过原点与有公共点的直线或．
显然直线与无公共点．
如果直线为，则由方程组，得矛盾．
所以直线与也无公共点．
因此原点不是“型点”．
（3）记圆，取圆内的一点．设有经过的直线与都有公共点．显然
不垂直于轴，故可设．
若，由于圆夹在两组平行线与之间，因此圆也夹在直线与之间，从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以．
因为与有公共点，所以方程组有实数解，
得．因为，所以，
因此，即．
因为圆的圆心到直线的距离，
所以，，从而，得，与矛盾．
因此，圆内的点都不是“型点”．
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