2013年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．?
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B C．￢p：?x?A，2x∈B D．￢p：?x∈A，2x?B
5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
7．（5分）函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．[e﹣1﹣1，1] C．[1，e+1] D．[e﹣1﹣1，e+1]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 （用数字作答）．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．
13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是 ．
14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是 ．
15．（5分）设P1，P2，…Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
17．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
21．（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
2013年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．?
【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A∩B={﹣2}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选：B．
【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．
【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．
而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．
故选：D．
【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，
解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B C．￢p：?x?A，2x∈B D．￢p：?x∈A，2x?B
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，
则￢p：?x∈A，2x?B．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x
∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）
又∵双曲线的方程为
∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，
双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，
化成一般式得：．
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==
故选：B．
【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
7．（5分）函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，
当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
【分析】因为lga﹣lgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．
【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，
因为，，
所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为：=
故选：C．
【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．[e﹣1﹣1，1] C．[1，e+1] D．[e﹣1﹣1，e+1]
【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项
【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立
由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
故选：A．
【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 10 （用数字作答）．
【分析】利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式Tr+1=x5﹣r?yr，结合题意即可求得答案．
【解答】解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为Tr+1，
则Tr+1=x5﹣r?yr，
令r=3，
则含x2y3的项的系数是=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．
【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是 ．
【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是 （﹣7，3） ．
【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），
则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，
即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，
所以|x+2|＜5，
解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
故答案为：（﹣7，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．
15．（5分）设P1，P2，…Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 ①④ （写出所有真命题的序号）．
【分析】对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，正确；
对于②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可；
对于③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
【解答】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确；
②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{an}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．
【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则
∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，
∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）
解得a1=4，d=0或a1=1，d=3
∴前n项和为Sn=4n或Sn=．
【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题．
17．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．
【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由
可得，
可得，
即，
即，
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【分析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．
【解答】解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1==；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；
故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：
输出y值为1的频率 输出y值为2的频率 输出y值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 P 所以所求的数学期望Eξ==1
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
【分析】（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC．由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD1A1；
（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A1MN⊥平面A1AE，
从而得到AE⊥平面A1MN，结合EF⊥A1M，由三垂线定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．设AA1=1，分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
【解答】解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l?平面A1BC，BC?平面A1BC，
∴直线l∥平面A1BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1；
（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN?平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，
∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，
∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，
∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角
设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1
Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．
【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；
（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．
【解答】解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．
∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=
∴椭圆的离心率e===…4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2±）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则
，，又|AQ|2=（1+k2）x2，
∴，即=…①
将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②
由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞
由②知x1+x2=﹣，x1x2=，代入①中化简得x2=…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18
由③及k2＞可知0＜x2＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（，）且﹣1≤y≤1，则y∈[，2﹣]
综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈[，2﹣]…13分
【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．
21．（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；
（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；
（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．
【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴，
∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．
∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．
（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为
，即．
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，
由①②得=．
∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，
∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．
x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．
∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．
【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
第1页（共1页）
|
|
