2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
参考公式：
样本数据的方差，其中。
棱锥的体积公式：，其中S是锥体的底面积，为高。
棱柱的体积公式：，其中S是柱体的底面积，为高。
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数的最小正周期为 ▲
2、设（为虚数单位），则复数的模为 ▲
3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲
4、集合共有 ▲ 个子集
5、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲
7、现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 ▲
8、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲
9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ▲
10、设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为 ▲
11、已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 ▲
12、在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为 ），右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ▲
13、在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ▲
14、在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
已知向量，。
（1）若，求证：；
（2）设，若，求的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点。
求证：（1）平面平面；
（2）。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。
20、（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）答案
一、填空题
1、
2、5
3、
4、8
5、4
6、2
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、12
二、解答题
15、（1）略 （2）
16、证：（1），，，由题，，平面
平面，平面，同理平面，与为平面内的两条相交直线，∴平面平面，
（2）平面平面于，平面，平面，，
又且与为平面内的两条相交直线，。
17、解：（1）由题设点，又也在直线上，
，由题，过A点切线方程可设为，即，则，解得：，∴所求切线为或
（2）设点，，，，，，即，又点在圆上，，两式相减得
，由题以上两式有公共点，
整理得：，即，令，则
，解得：，，解得：．
18、解：（1）在中，，，，，
，，，
．答:索道的长为．
（2）设乙出发到点，则甲出发到点，，，
在中，，
，当且仅当时，最小．
答：乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）甲走完长为的山路，共需分钟，设乙总用时为，乙步行的速度为，则，由题，在中，由正弦定理求得，
，，，，，，，
答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制到内．
19、证明：（1）若，则，，又由题，，，
是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，
，，，，，，
，（）．
（2）由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：
关于恒成立．，
。
20、解：（1）由题在上恒成立，在上恒成立，；
若，则在上恒成立，在上递增，在上没有最小值，， 当时，，由于在递增，时，递增，时，递减，从而为的可疑极小点，由题，，
综上的取值范围为．
（2）由题在上恒成立，在上恒成立，，
由得 ，令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
时，最大值为，又时，，时，，
据此作出的大致图象，由图知：当或时，的零点有1个, 当时，的零点有2个,
好教育云平台 高考真题第7页（共9页）
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