2013年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ．
11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为 ．
13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N，则
（1）a3= ；
（2）S1+S2+…+S100= ．
16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
22．（13分）已知a＞0，函数．
（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
【解答】解：z=i?（1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．
3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（，）=
故选：C．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：
由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选：B．
【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．
6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．
【解答】解：令，，，
如图所示：则，
又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，
所以的取值范围为[﹣1，+1]．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．
7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．
【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．
故选：C．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=
故选：D．
【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，
再由椭圆C：，得，
①2+②2得，．
所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．
10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 12 ．
【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
【解答】解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．
11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．
【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP?1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为，
则圆心O到弦CD的距离为d===．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题．
12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为 3 ．
【分析】利用微积分基本定理即可求得．
【解答】解：==9，解得T=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．
13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 32 ．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=1，b=2
不满足条件a＞31，a=2
不满足条件a＞31，a=4
不满足条件a＞31，a=8
不满足条件a＞31，a=16
不满足条件a＞31，a=32
满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，
∴c2﹣2ca+3a2=0，
∴c=a
所以e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．
15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N，则
（1）a3= ﹣ ；
（2）S1+S2+…+S100= ．
【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
【解答】解：由，n∈N，
当n=1时，有，得．
当n≥2时，．
即．
若n为偶数，则．
所以（n为正奇数）；
若n为奇数，则=．
所以（n为正偶数）．
所以（1）．
故答案为﹣；
（2）因为（n为正奇数），所以﹣，
又（n为正偶数），所以．
则．
，．
则．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
=．
故答案为．
【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．
16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 {x|0＜x≤1} ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；
对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．
令f（x）=ax+bx﹣cx=．
得，所以．
又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）①因为，
又，
所以对?x∈（﹣∞，1），．
所以命题①正确；
②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax=，bx=，cx=．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．
f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．
（2）由不等式可得 sin（x+）≥，解不等式 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，
所以f（α）=sinα=，所以sinα=．
又α∈（0，），所以cosα=，
所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．
（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，
所以sinx+cosx=sin（x+）≥．
解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，
所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．
18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42 P 数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；
（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D?平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角（记为θ），连接A1D，
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1?平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，
由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此，，可得AB==
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，
即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．
【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．
20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则
（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21
由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．
21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；
（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．
【解答】解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．
由，得．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1，．
所以点M的坐标为，．
同理可得点N的坐标为，．
于是．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．
故．
（Ⅱ）由抛物线的定义得，，
所以，从而圆M的半径．
故圆M的方程为，
化简得．
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．
又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
=．
故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x2=16y．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
22．（13分）已知a＞0，函数．
（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．
【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，
∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）﹣f（4）==
∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，
综上所述，g（a）=；
（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1
∴?=﹣1
∴①
∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），
∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空
∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠?
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．
第1页（共1页）
|
|
