初中数学基本图形生长探究微课程欢迎扫码关注课程编制：浙江省褚水林名师工作室育人?浔梦本课编制：计旭勤（浙江宏达南浔学校）指导教师：褚水林（南
浔教育研究培训中心） 05 “半角”模型生长探究欢迎关注褚水林名师工作室05 “半角”模型生长探究能识别半角基
本图形，能运用半角基本图形解决相关几何问题；探索半角基本图形，掌握其图形基本特征、基本结论、基本方法；能利用条件构造半角基本图形，
进一步解决相关几何问题.探究 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且∠EAF=45°.猜一猜：线段BE、D
F、EF之间有什么数量关系？ EF=BE+DF想一想：证两条线段之和等于一条线段有哪些常用方法？试一试：你能找到全等三角形吗？证一
证：你可以证明吗？截长补短△ADF≌△ABG△EAG≌△EAF旋转基本图形∵AE=AE∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF，即∠
EAG=∠EAF证明：如图将△ADF绕点A顺时针旋转90 °得到△ABG，由旋转可得BG=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，∠
ABG=90°∵∠ABC=90°,∴G、B、E三点共线，探究 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且∠EA
F=45°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴△AGE≌△AFE（
SAS），∴GE=EF，∵GE=GB+BE=DF+BE，∴EF=BE+DF.EF=BE+DF基本图形半角模型利用旋转构造全等 解题
策略：定义：由一个角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为原来角的一半这样的模型称为“半角”模型.AB=AD 半角模型的图形特征共端
点的等线段共顶点的倍半角基本图形变式探究1 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E、F分别是边BC、DC
上的点，且 ，线段BE、DF、EF之间存在着怎样的数量关系？ 并说
明理由.△ADF绕点A顺时针旋转得到△ABGAE=AEEF=BE+DF半角模型利用旋转构造全等 一、探索发现变式探究2 如图，请
对四边形内的线段和角补充合适的条件，使得线段BE+DF=EF仍然成立?1. 添加怎样的条件，△ADF旋转得到△ABG？3. 添加怎
样的条件，△AEG与△AEF全等？ AD=AB ?2. 添加怎样的条件，E、B、G三点共线？∠D+∠B=180°弱化弱化利用旋
转构造全等 AB=AD 共端点的等线段共顶点的倍半角对角互补 ∠D+∠B=180°三点共线 EF=BE+DF半角模型基本图形问题1
如图，四边形ABCD内接于 O,∠BAD=90°，AB=AD,BC=8，CD=6，点E为BC的中点，且满足
,求EF的长.AB=ADEF=x= 5.8 ∠C=90°=xBG=DF=x-4,CF=6-(x-4
)=10-x42+(10-x)2=x2x410-x有半角，想模型，用旋转，构全等；求线段，想直角，用勾股，建方程.二、应用体验∠B
+∠D=180°三、拓展生长问题2 如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点Ｅ、Ｆ分别在线段BC和射线DC上．若BE＝1，
∠EAF=45°,求DF的长.思考1.半角模型的图形特征主要有什么？半角模型的图形特征共端点的等线段共顶点的倍半角思考2.本题中已
具备哪个特征呢？构造？三、拓展生长边相等？构造AD上截取AN＝4，在ＢＣ上截取ＢＭ ＝4，连结ＭＮ交ＡＦ于点Ｇ，连 结 ＥＧ．半角
模型设NG=a∠EMG=90°△NAG∽△DAFDF=4.8a4-a1a+13问题2 如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8
，点Ｅ、Ｆ分别在线段BC和射线DC上．若BE＝1，∠EAF=45°,求DF的长.构造半角模型共顶点的倍半角三、拓展生长问题2 如
图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点Ｅ、Ｆ分别在线段BC和射线DC上．若BE＝1，∠EAF=45°,求DF的长.AD=AM
构造设DF=a(8-a)2+62=(a+2)2a=4.812a8-a6a+2构造半角模型共顶点的倍半角半角模型共端点的等线段共顶点
的倍半角利用旋转构造全等线段问题方程思想勾股定理图形特征解题策略四、感悟提升特殊的半角模型一般的半角模型2.如图2，点P是以AB为
直径的半圆的中点，AB=12，C、D是直径AB上的两点，∠CPD=45°，AC=4，则CD的长为 .1. 如图1，
在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且∠EAF=45°.若正方形边长为8，DF=2,则BE=________.3
.如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E和点F分别在边BC和CD上，连结AE、AF、EF，且BE+DF
=EF,求证：∠BAD=2∠EAF .2. 5 思路：将△BPD绕点P逆时针旋转90°至△APE，连结CE.易证得∠CAE=
90°.1. 4.8 思路：由“半角”型基本图形结论可知：EF=BE+DF3.思路：将△ADF绕点A逆时针旋转至△ABG,则△ADF≌△ABG，接下来证点G、B、E三点共线，再证△AEG≌△AEF,得出∠EAG=∠EAF，易得出∠BAD=2∠EAF.转微课展思维欢迎扫码关注 |
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