王德宏《证券投资》 第11章 投资组合优化 制作人：胡玉坤现代投资组合理论概述认识投资组合Ⅰ：预期收益 认识投资组合Ⅱ：预期风险 030
205060104目录认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型认识投资组合Ⅱ：风险偏好投
资组合的最优策略0701 现代投资组合理论概述01现代投资组合理论概述投资组合的概念投资组合是指若干种证券组成的投资方式，其收益
是这些证券收益的加权平均，但是其风险却非这些证券风险的加权平均。投资组合理论研究重点：如何合理分配投资组合中的证券品种和份额，既能
维持较高的收益率，又能大幅度地降低其中的非系统性风险。基金是典型的投资组合，投资组合理论又是基金投资的基础！01现代投资组合理论概
述 现代投资组合理论的核心思想投资者是风险回避的，其投资愿望是追求高的预期收益，但不愿承担没有相应预期收益加以补偿的额外风险投资组
合的风险不仅与其成份证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响基于投资组合的有效边界，可以建立不同的投资组合策略，使得投
资组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小01现代投资组合理论概述现代投资组合理论的前提假设呈现在投资
者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资投资者为理性的个体，满足风险厌恶假
设，投资者的目标是单期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险投资者仅依
靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益；在给定
预期收益后，投资者偏好更低的风险市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市场的限制，所有的市场参与者都是价格的
接受者，市场信息是有效的，资产是完全可以分割的。02 认识投资组合Ⅰ：预期收益02认识投资组合Ⅰ：预期收益单一证券的预期收益?投
资的预期收益是指未来各种可能情况下收益的期望值，也称期望收益。如果单一证券i的预期收益在未来有N种可能的状态（s=1, 2, …,
N），状态s出现的概率为，该证券在状态s下的收益率为，那么该证券的预期收益率为：02认识投资组合Ⅰ：预期收益案例一：单一证券的预
期收益 ? 假设一支股票未来一年内的收益率概率如表1中所示，计算其预期收益率。 表1： 某支股票未来一年内的收益率与概率 根据公式
，可以计算出该股票的期望收益率为3.58%：.05+4.5.6+6.7.1=3.58可能状态12345收益率（%）-2.502
.003.204.506.70概率0.100.150.050.600.1002认识投资组合Ⅰ：预期收益单一证券预期收益率的估计?方
法：使用资本资产定价模型CAPM估计证券的预期收益率 第1步，假定短期内一只证券的系统性风险（CAPM模型中的贝塔系数）和个体风险
（CAPM模型中的残差项）基本不变，利用市场模型回归估计CAPM模型中的截距项和贝塔系数。基于已知的证券收益率和市场收益率的历史序
列和CAPM市场模型预测其截距项和贝塔系数：02认识投资组合Ⅰ：预期收益单一证券预期收益率的估计? 第2步，假设市场收益率具有一阶
或多阶的自相关属性，利用自相关回归预测未来的市场收益率。这种假设的基础是，市场收益率来自于大量证券的加权平均收益，一般来说，其波动
幅度相对平稳，远小于个别证券收益率，其可预测性强于个别证券的收益率。以市场收益率的三阶自回归为例。 基于已知的市场收益率历史序列、
、和求得截距项和系数、和：据此可以估计未来的市场收益率：02认识投资组合Ⅰ：预期收益单一证券预期收益率的估计? 第3步，基于预测的
市场收益率估计该证券的未来收益率预测： 需要说明的是，上述估计方法在强势有效市场中形势较为平稳时准确度较高，但在弱势有效市场或市场
形势剧烈震荡时则需要特别注意其结果的可靠性。02认识投资组合Ⅰ：预期收益投资组合的预期收益? 设一个投资组合P中共有N种成份证券（
i=1，2，…，N），成份证券i的预期收益率为，在投资组合中所占的比例为，即权重，则投资组合的预期收益率为： 上式可见，投资组合的
预期收益率不仅受到各个成份证券预期收益率的影响，而且还受到各个成份证券持仓比例的影响。02认识投资组合Ⅰ：预期收益案例二：投资组合
的预期收益?某个投资组合的成份证券如表2中所示，计算其预期收益率。表2：投资组合的成份证券与持仓比例根据公式计算出该投资组合的预期
收益率为13.1%：=.1.2+.15.5+.12.3=.131成份证券123预期收益率（%）101512持仓比例（%）20
503002认识投资组合Ⅰ：预期收益案例二：投资组合的预期收益? 如果该投资组合中成份证券的持仓比例变为表3的情况，投资组合的预期
收益率也会随之改变。表3：投资组合的成份证券与持仓比例.3=.126成份证券123预期收益率（%）101512持仓比例（%）304
03002认识投资组合Ⅰ：预期收益投资组合预期收益的走势案例三：投资组合预期收益的变化趋势：银行概念基金1号 一只由银行股票组成的
虚拟基金—银行概念基金1号，其成份股和持仓比例如表中所示。银行概念基金1号重仓四只股票（浦发银行，招商银行，兴业银行和平安银行）。
比较持仓比例对于投资组合收益率的影响。假定投资日期为2021年12月6日，历史观察期为三年。成份证券名称证券代码持仓比例中国建设银
行6019395%浦发银行60000030%招商银行60003620%兴业银行60116615%平安银行00000115%中信银行
6019985%光大银行6018185%上海银行6012295%02认识投资组合Ⅰ：预期收益02认识投资组合Ⅰ：预期收益02认识投
资组合Ⅰ：预期收益持仓比例对投资组合收益率的影响案例四：持仓比例对投资组合收益率的影响 延续案例三的银行概念基金1号成份股，本案设
立两个简单的持仓策略：等权重组合策略EW（equal-weighted，即等权重持有投资组合中各个成份股数量），以及流动性组合策略
LW（liquidity-weighted，按照观察期内的平均成交金额大小持有投资组合中各个成份股数量，平均成交金额越高持有份额越
多）。成份证券名称证券代码中国建设银行601939浦发银行600000招商银行600036兴业银行601166平安银行000001
中信银行601998光大银行601818上海银行60122902认识投资组合Ⅰ：预期收益02认识投资组合Ⅰ：预期收益 图中是三种持
仓比例的预期收益排名。图中可见，期间内流动性组合的预期收益（以年化收益率表示）13.88%远高于银行概念基金1号的6.65%；而等
权重组合的预期收益3.19%则远低于银行概念基金1号。03 认识投资组合Ⅱ：预期风险03认识投资组合Ⅱ：预期风险预期风险的概念及
表示方法： 投资组合的预期风险是指投资组合预期收益的风险期望值。一种常用的风险定义是投资收益率的波动性，收益率的波动性越大，投
资的风险就越高。表示收益率波动性的最简单方法是收益率的标准差。 标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收
益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券投资收益率的风险就越大。03认识投资组合Ⅱ：预期风险单一证券的预期风险? 如果单一证券i的
预期收益在未来有N种可能的状态（s=1, 2, …, N），状态s出现的概率为，该证券在状态s下的收益率为，该证券的预期收益率为，
那么该证券的标准差为：03认识投资组合Ⅱ：预期风险案例五：单一证券的预期风险? 假设某支股票未来一年内的收益率分布概率如表4所示，
计算其预期风险。表4：某支股票未来一年内的收益率和概率 根据预期收益率的计算公式，该股票的加权平均期望收益率为3.58%，可以计算
出该股票的期望风险为2.36%：可能状态12345收益率（%）-2.502.003.204.506.70概率0.100.150.0
50.600.1003认识投资组合Ⅱ：预期风险投资组合的预期风险? 投资组合收益率的风险可以使用其标准差表示： 其中，当i≠j时，
表示投资组合中两个成份证券i和证券j收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，、表示组合中证券i、j所占的
比例。03认识投资组合Ⅱ：预期风险案例六：投资组合的预期风险 继续沿用案例三的银行概念基金1号。基于观察期内的历史数据，其预期收益
（使用年化收益率表示）和预期风险（使用收益率的年化标准差表示）如左图所示。03认识投资组合Ⅱ：预期风险 左图是案例四中的流动性组合
的预期收益、预期风险及其持仓情况。该组合策略重仓招商、兴业和平安银行三只股票03认识投资组合Ⅱ：预期风险成份证券的相关性对投资组合
风险的影响? 投资组合的风险不仅与每种成份证券的风险有关，而且各个成份证券之间的相互关系也会对投资组合的风险产生影响。证券之间相互
影响产生的收益不确定性可以用相关系数来表示。 假设和分别为证券i和j的收益标准差，是两种证券收益率之间的协方差，则其相关系数的计算
公式为：03认识投资组合Ⅱ：预期风险成份证券之间相关系数的含义? 相关系数的范围是-1≤≤1= -1时，表示两种证券收益结果的变化
方向完全相反，称为完全负相关=1时，表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关=0时，表示两种证券收益结果的变动之间不
存在任何线性关系。必须注意，相关系数＝0时，即证券i和证券j不相关只表明证券i和证券j不存在线性相关关系，但并不能排除证券i和证券
j有其它形式（非线性的）相关关系相关系数在(-1,0)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在
一般性的负相关关系相关系数在(0,1)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相关关
系03认识投资组合Ⅱ：预期风险案例七：投资组合成份股之间的相关性 延续案例三的银行概念基金1号，其成份股收益率之间的相关系数如左图
所示。 注：每个方格表示投资组合中成份股两两之间的收益率相关系数，方格的颜色越深表示相关系数的数值越大。一般认为，相关系数超过0.
6表明相关性较强。04 认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界无差异曲线?
投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对风险收益的偏好程度，这种偏好可以使用无差异曲线进行描述。 无差异曲线可以在预期收益率－标准
差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益。左图中有三条无差异曲线：U1，U2和U3。04
认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界无差异曲线的特点? 每一个投资者都可能有无数条无差异曲线。位于上方的无差异曲线所代表的
效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高（）。这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线能够提供更高的预期收益（）04认识投资
组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界 在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险（）?04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线
、可行集与有效边界每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的。因此，如果需要投资者承担更大的风险，就必须支付更高的收益。无
差异曲线上升的速度是递增的，即无差异曲线是下凸的（曲线凸起的方向向下）。说明随着风险的增加，投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增
加的一单位风险必须支付更多的收益。无差异曲线是不相交的。因为，如果两条无差异曲线相交，而又由于不同的两条无差异曲线代表不同效用水平
，这就会出现矛盾。04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界无差异曲线的用途无差异曲线可以揭示投资者对待风险的厌恶程度。高度
风险厌恶者的无差异曲线更陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些。04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界投资组
合的可行集 在成份证券一定的情况下，所有可能的持仓比例组合在一起，就构成了该投资组合的可行集，也称有效集。案例八：投资组合的可行集
基于银行概念基金1号的各个成份证券，可以构造该投资组合的可行集。理论上可以构造出无限种投资组合持仓方案，出于现实考虑，这里限制在
五万种，由随机数产生持仓比例，如左图所示。04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界有效边界投资组合有效边界需要满足的条件：
面对同样的风险水平（横轴标示），该组合能够提供最大的预期收益（纵轴标示），只有图中阴影部分的上沿边界能够满足这个条件面对同样的预期
收益，该组合能提供最小的风险，只有图中阴影部分的左沿边界能够满足这个条件 同时满足这两个条件的组合被称为投资组合的有效边界（eff
icient frontier）。04认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界有效边界有效边界的实际意义： 对于同风险的情形，
只需考虑位于有效边界上的组合即可，因为在风险一定的情况下其收益最大。同理，在同样的收益下，只需考虑有效边界上的组合即可，因为在收益
一定的情况下其风险最小。 有效边界就是在收益—风险约束条件下能够以最小的风险取得最大的收益的各种证券的集合。有效边界一定是向外凸
的（曲线突起的方向向上），也称“马科维茨边界”。05 优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方
差模型 有效边界是投资组合可行集中的最优子集。然而，有效边界上仍然拥有大量的投资组合配置，究竟哪一种最优呢？ 马科维茨(1952)
提出的均值-方差模型解决了这个问题。 如左图，在同一坐标系上画出投资者的无差异曲线和有效边界，最优投资组合就是无差异曲线与有效边
界的切点P。05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型马科维茨模型的构造方法? 设一个投资组合包括N种不同的风险证券，其中第i种证
券的收益序列为，其预期收益率为，方差为，，它在投资组合中的权重为。求解最优投资组合的权重矩阵就是马科维茨均值-方差模型的目标。 投
资组合中的所有权重必须满足总和为1的约束条件：05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型 投资组合的期望收益和方差分别为： 在
上式中，当时，表示证券i和j的协方差，当时，为证券i的方差。故可把上式改为：?05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型单目标的投
资组合模型?投资组合模型Ⅰ：给定投资组合的收益时，求最小化风险 其约束条件为： 模型Ⅰ的目标是，在既定期望收益的情况下，使投资组
合的风险最小化05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型单目标的投资组合模型?投资组合模型Ⅱ：给定投资组合的风险时，求最大化收益
其约束条件为： 模型Ⅱ的目标是，在愿意承担给定的风险的条件下，使投资组合的期望收益最大05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型
求解马科维茨模型：拉格朗日乘数法# 当投资组合中的成份股较多时，很难求得模型Ⅰ/Ⅱ的解析解。因此，求解模型Ⅰ/Ⅱ时，通常采用拉格朗
日乘数法，通过构造拉格朗日函数求得数值解。05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型马科维茨模型的局限性#该模型认为预期收益和预期
风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确度量。相关系数也是对未来关系的正确反映。然而，历史数据并不一定能够准确反映未来的收益和风
险的状况该模型用证券收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。但是方差和标准差在计算中存在双向性，会将预期收益率有益于投资者的变动
也划入风险的范畴。这并不能真正反映投资者对其真正面临风险损失时进行回避的需要该模型假设所有投资者有一个共同的单一投资期，所有的证券
组合有一个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏一个共同的衡量尺度，造成投资组合
求解有效边界的困难05优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型马科维茨模型的局限性#该模型运用的条件要求较高，为了在投资组合构建中利
用马科维茨的均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协方差的估计，计算量相当大该模型并未考虑成份证券本
身的特点，例如规模效应、季节性效应以及流动性风险等。这些既是使用马科维茨模型本身的风险，也是进一步改进该模型的机会。06 认识投
资组合Ⅱ：风险偏好06认识投资组合Ⅱ：风险偏好基于风险偏好的投资组合策略 投资者的风险偏好是指投资者对待收益和风险的态度。基于风险
调整收益的指标，可以根据投资者对待投资组合的风险偏好对投资组合的构造策略进行如下的分类 ：进取型：追求最高收益的投资组合配置，为此
愿意承担相应的风险。在这种风险偏好下，投资组合只需要在有效边界中选择预期收益最高的配置策略即可。这种不顾风险的做法并不为多数投资者
所接受最高夏普比率策略：使用投资组合的风险溢价作为收益指标，使用投资组合收益率的全部标准差作为风险指标。将最高的夏普比率作为投资组
合的配置策略，强调收益与全部风险的最高“性价比”。这是最为常见的一种稳健的策略06认识投资组合Ⅱ：风险偏好基于风险偏好的投资组合策
略最高索梯诺比率策略：使用投资组合的风险溢价作为收益指标，使用投资组合收益率的下偏标准差作为风险指标，强调的是投资组合收益率的损失
风险。将最高的索梯诺比率作为投资组合的配置策略，强调收益与损失风险的最高“性价比”。由于索梯诺比率在牛市和熊市时的固有不足，这种做
法常常作为辅助策略存在最高阿尔法指数策略：使用投资组合风险溢价对市场大盘风险溢价回归的截距项（相当于市场大盘的超额收益）作为收益指
标；使用投资组合的贝塔系数作为风险指标，强调的是投资组合相对于市场大盘的超额收益。基于将最高的詹森阿尔法指数作为投资组合的配置策略
，强调获取最大化的超额收益。这种做法常常作为辅助策略存在06认识投资组合Ⅱ：风险偏好基于风险偏好的投资组合策略保守型：不愿承担风险
，追求风险最小化，在此基础上追求收益与风险的“性价比”。在这种风险偏好下，投资组合只需要在有效边界中选择预期风险最低的配置即可。这
种投资组合的配置策略称为全局方差最小化策略（GMVS，Global Minimum Variance in Sharpe rati
o）。这种做法虽然风险较小，但收益实在偏低，对许多投资者的吸引力有限06认识投资组合Ⅱ：风险偏好投资组合策略的共同点随着待入选成份
证券个数的增加，投资组合可行集的数量将呈几何级数增加，模型计算量将迅速增加投资组合收益预期和风险预期完全基于投资组合过去观察期的表
现，借此估计投资组合未来的收益和风险表现。但证券市场的未来变化具有高度的不确定性，基于风险调整收益得到的最优组合未来不一定还具有最
高的收益-风险性价比，基于最低风险指标得到的组合未来也不一定仍具有最低的风险。由于股价不断发生变化，在不同的时间点进行配置，得到的
结果可能也不同。如果投资组合的成份股未来发生分红，进而影响其前（后）复权股价，即使在相同的时间点重新进行优化也可能得到不同的结果。07 投资组合的最优策略07投资组合的最优策略案例九：投资组合配置优化：MSR与GMVS策略 继续沿用银行概念基金1号成份股，构造MSR与GMVS配置策略。 MSR（最高夏普比率策略）。左图使用不同颜色深度表示了投资组合可行集中各个组合的夏普比率，右侧专门设置了颜色条显示夏普比率数值。图中可见，夏普比率最高的组合主要分布在有效边界的上沿中部。07投资组合的最优策略上图描述了迄今各个投资组合策略的收益-风险排名情况。07投资组合的最优策略 左图描述了最优收益-风险性价比的MSR点的持仓比率、预期收益和预期风险。07投资组合的最优策略 左图展示的是GMVS策略重仓持有中信、上海、建设和浦发银行股票的持仓比率、预期收益和预期风险。。07投资组合的最优策略 左图对于MSR优化组合（划线虚线）、流动性组合（划线虚线）、银行概念基金1号和GMVS组合（图中的实线）的持有收益率进行了对比。现代投资组合理论概述认识投资组合Ⅰ：预期收益 认识投资组合Ⅱ：预期风险 030205060104总结认识投资组合Ⅲ：无差异曲线、可行集与有效边界优化投资组合Ⅰ：马科维茨均值-方差模型认识投资组合Ⅱ：风险偏好投资组合的最优策略07谢谢！ |
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