初中数学基本图形生长探究微课程欢迎扫码关注课程编制：浙江省褚水林名师工作室育人?浔梦本课编制：芮国良（湖州市菱湖镇第一中学）指导教师：褚水林
（南浔教育研究培训中心） 09 对角互补型基本图形欢迎关注褚水林名师工作室09 对角互补型基本图形如图，如
果∠AOB+∠DCE=180°，对角互补模型基本图形结论1： ∠CDO+∠CEO=180°结论2： 点C、D、O、E四
点共圆你能得到哪些重要结论？ 模型一 如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB .思考(1):CD与CE之间有
什么数量关系? 解 过点C作CM⊥OA于M, CN⊥OB 于N, ∵ OC平分∠AOB, ∴CM=CN, ∵ ∠
DCE=90°, ∴ ∠DCM=∠ECN, ∵ ∠CMD=∠CNE=90°, ∴△DCM≌△ECN,∴CD=CE,思考(2):对角
互补模型还有什么结论？ ∵△DCM≌△ECN, ∴DM=EN,∴OD+OE=OM-DM+ON+EN=2OM,∴OD+OE=OC,∴
S△OCD+S△OCE=S正方形ONCM∴S△OCD+S△OCE=90°全等型作垂直，构全等∥∥ 解 作∠OCF=
∠DCE=90°, ∵ OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=∠CFO=45 °, ∵ ∠DCE=90°, ∴ ∠DCO=∠
ECF,∴△DCO≌△ECF,∴CD=CE, OD=EF,∴OD+OE=EF+OE=OF,∴OD+OE=OC,∴S△OCD+S
△OCE=S△OCF,∴S△OCD+S△OCE=.90°全等型∴ OC=CF,作等角，构全等模型一 如图,∠AOB=∠DCE=9
0°，OC平分∠AOB . 变式 如图,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，将∠DCE绕点C旋转，使CD交AO延
长线于D,CE交OB于E.思考:上述的三个结论是否仍成立？ 解 过点C作CM⊥OA于M, CN⊥OB于N, ∵ OC平分
∠AOB, ∴CM=CN, ∵ ∠DCE=90°, ∴ ∠DCM=∠ECN, ∵ ∠CMD=∠CNE=90°, ∴△DCM≌△EC
N,∴CD=CE, DM=EN,∴OE-OD=ON+EN-(DM-OM)=2OM,∴OE-OD=OC,∴S△OCE- S△OCD
= S△OCN+S△CEN-(S△DCM- S△OCM)=S正方形ONCM∴S△OCE- S△OCD=90°全等型作垂直，构全等异
曲同工90°全等型 解 作∠OCF= ∠DCE=90°, ∵ OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=∠CFO=45°, ∵
∠DCE=90°, ∴ ∠DCO=∠ECF,∴△DCO≌△ECF,∴CD=CE, OD=EF∴OE-OD=OE-EF=OF,
∴S△OCE-S△OCD=S△OCE-S△CEF =S△OCF∴ OC=CF,∴OE-OD=OC,∴S△OCE- S△OCD=作等
角，构全等 变式 如图,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，将∠DCE绕点C旋转，使CD交AO延长线于D,CE交
OB于E. 解 过点C作CM⊥OA于M, CN⊥OB 于N, ∵ OC平分∠AOB, ∴CM=CN, ∵ ∠DCE=90°,
∴ ∠DCM=∠ECN, ∵ ∠CMD=∠CNE=90°, ∴△DCM≌△ECN,∴CD=CE, DM=EN,∴OD-OE=DM+
OM-(EN-ON)=2OM,∴OD-OE=OC,∴S△OCD- S△OCE = S△OCM+S△CDM-(S△ECN- S△OC
N)=S正方形ONCM90°全等型作垂直，构全等 变式 如图,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，将∠DCE绕点
C旋转，使CD交OA于D,CE交BO延长线于E.思考:（1)CD与CE之间的数量关系如何？（2）OD、OE和OC三者之间有怎样的关
系？（3）S△OCD、S△OCEOC之间有怎样的关系？90°全等型 解 作∠OCF= ∠DCE=90°, ∵ OC平
分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=∠CFO=45°, ∵ ∠DCE=90°, ∴ ∠DCF=∠ECO,∴△DCF≌△ECO,∴C
D=CE, OE=DF∴OD-OE=OD-DF=OF,∴S△OCD-S△OCE=S△OCD-S△CDF =S△OCF∴ OC=
CF,∴OD-OE=OC,∴S△OCD- S△OCE = 变式 如图,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，将∠D
CE绕点C旋转，使CD交OA于D,CE交BO延长线于E.作等角，构全等90°全等型结论归纳CD=CEOD+OE=OCS△OCD+S
△OCE=CD=CEOE-OD=OCS△OCE-S△OCD=CD=CEOD-OE=OCS△OCD-S△OCE=作垂直作等角构全等转
化类比动中存定形变促量变 模型二 如图,∠AOB=120 °，∠DCE=60°，OC平分∠AOB .OD=EF∴ OD+OE
=EF+OE=OF=OC∴ S△OCD+S△OCE=S△OCF=120°全等型作等角，构全等思考:（1)CD与CE之间的数量关系如
何？（2）OD、OE和OC三者之间有怎样的关系？（3）S△OCD、S△OCEOC之间有怎样的关系？ 解 作∠OCF= ∠DCE=
60°, ∵ OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=60°,∴∠DCO=∠ECF，∴△OCF是正三角形 ，∴OC=CF，∠CF
E=∠COD=60°,∴ △OCD≌△FCE ，∴ CD=CE作∠OCF= ∠DCE=60° △OCD≌△FCEOE- OD=O
E- EF=OC S△OCE-S△OCD=CD=CECD=CE作∠OCF= ∠DCE=60° △OCD≌△FCEOD-OE=OD-
OE=OCS△OCD-S△OCE=认识模型构造全等学会转化任意角模型 模型三 如图,∠AOB=2α，∠DCE=180°-
2α ，OC平分∠AOB .思考:（1)CD与CE之间的数量关系如何？（2）OD、OE和OC三者之间有怎样的关系？（3）S△OCD
、S△OCEOC之间有怎样的关系？ 问题 如图，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一
条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．求证：PA＝PE；分析：本题符合对角互补模型中90°全等型，因此可以构造全等三
角形，解决问题。 解 过点P作PM⊥AB于M, PN⊥BC于N,△APM≌△EPNPA=PE 拓展一 如图
，若将上题中的正方形变为矩形，其余条件不变，且AD＝10，DC＝8，求AP：PE；分析：1.比较前面有什么不变？ 解
过点P作PM⊥AB于M, PN⊥BC于N,∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD＝∠C＝90°,∴△BPM∽△BDA，△BNP
∽△BCD,∴＝，＝, ∵∠PMB＝∠PNB＝90°，∴PM∥AD，PN∥CD,,=, ∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∠MPA＝∠
EPN，∴△APM∽△EPN，∴ ．90°相似型作垂直，构相似2.比较前面有什么改变？ 拓展二 如图，在拓展一的条件下，当
P滑动到BD的延长线上时，求AP：PE的值．分析：本题符合对角互补模型中90°相似型，因此可以构造相似三角形，解决问题．
解 过点P作PM⊥AB，交BA延长线于M, PN⊥BC,交BC延长线于N,∵四边形ABCD是矩形, ∠BAD＝∠C＝90°
,∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD,∴＝，＝, ∵∠PMB＝∠PNB＝90°，∴PM∥AD，PN∥CD,,=, ∵∠AMP
＝∠ENP＝90°，∠MPA＝∠EPN，∴△APM∽△EPN，∴.拓展模型构造相似学会类比数学思想对角互补模型90°全等型120°
全等型任意角模型90°相似型类比转化常用辅助线作垂线作等角┅1．如图，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB，OD
=1，OC=3，则OE=_________．2．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正
方形OMNP绕O点旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是（）．A. 10 B.10C. 25 D. 2
0（第3题图）3．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上，任取一点D，连接AD，BD，CD．（1）如
图1，∠BAC＝α，求∠ADB的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，求证：BD+CD＝AD；（3）如图3
，如果∠BAC＝120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明．（第4题图）4．如图示：一副三角板如图放置
，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的
交点为G、H（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，你能发现线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．（2）若在旋转过程中，两直角边
的交点G、H始终在边AB、CB上，AB＝CB＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的
取值范围．（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，三角板DEF与AB、BC延长线相交于点G、H时，（1）的结论仍然成立吗？并说明理由
．《对角互补模型》微练习《对角互补模型》微练习参考答案1．2 2．C 3．（1）解：由AB＝AC，得∠ADB＝∠ADC，
由∠BAC+∠BDC＝180°，得∠BDC＝180°﹣α，∴∠ADB＝90°﹣α；（2）证明：过A作∠DAE＝60°，交DB延长线
于E，连接AE，如图1，由条件先证得△DAE是等边三角形，再证△ACD≌△AEB（ASA），得BE＝AD，∴AD＝BD+CD；（3
）解：过A作∠DAE＝120°，交DB延长线于E，连接AE，过点A作AF⊥BD于点F，，如图2，由AB＝AC，得到∠BDA＝∠CD
A＝30°，∴DF＝AD，再证△EBA≌△DCA，∴∠E＝∠BDA ，AE＝AD，∴DF＝EF，∴DE＝BD+CD＝2×AD＝AD
．4解：（1）如图3，连接BD，由条件可得DB＝DC，∠DBG＝∠DCH＝45°∠BDG＝∠HDC，∴△BDG≌△CDH，∴BG＝CH，（2）由（1）可知△BDG≌△CDH ，∴S△BDG=S△CDH ， ∴S四边形DGBH＝S△BDH+S△GDB＝S△CBD， 由等腰直角三角形ABC，AB＝BC＝4cm，得S四边形DGBH＝S△ABC＝4cm2，∴四边形GBHD的面积不变，（3）当三角板DEF旋转至图4所示时，（1）的结论仍然成立，如图4，连接BD，先证∠BDG＝∠CDH，再证∠DBG＝∠DCH＝135°，∵BD=CD,∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH．转微课展思维欢迎扫码关注 |
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