第四讲 几何最值探索 转化视角下的几何最值探索“停课不停学”破解中考数学几何复习难点浙江教育出版集团 | 浙江青云在线教育科技有限公
司主讲教师：骆洪灿 杭州市富阳区环山中学编制：褚水林名师网络工作室一、问题背景二、问题探究基本问题A''思考问题1：为何要作其中一
个点关于直线的对称点？思考问题2：问题解决的过程中我们用到了什么数学原理？骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短.通过对称，
折化直，化为两定点之间的距离.两点之间，线段最短..C图2-8图1二、问题探究问题生长变式生长1：如图2，等腰△ABC的底边BC=
20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为
.分离图形图4作点C关于直线EG的对称点，由垂直平分线的对称性可知，对称点即为点A，连接AF，AF的长度即为DF+CD的最小值
，如图4，在Rt△AHF中，利用勾股定理最终可得AF=13，故周长最小值为18.为什么不做点F关于直线EG的对称点？图2折化直二、
问题探究问题生长变式生长2：如图5，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只
蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．思考问题1：解
决立体几何的基本策略是什么？将立体图形的问题化为平面图形：平面展开图、三视图.思考问题2：借助变式生长1的学习经验及图6，蚂蚁从外
壁A处到内壁B处的最短距离，你能联想到什么？图7图6侧面展开图唯一吗？作出图7，我们可以求得最小值为20.为什么是16而不是32？
C.蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离可以看作是在DE上找一点C，求AC+BC的最小值.二、问题探究问题生长变式生长3：如图8，矩
形ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A''EF，则A''C的
最小值是 ．思考问题1：翻折过程中，与动点A''有关的量中有没有不变的量？图8△AEF≌△A''EFA''E∠EA''F思考问题
2：在点F运动的过程中，你能画出点A''的运动轨迹吗？思考问题3：当A''运动到何处时，A''C最小？Rt△BEC勾股定理二、问题探究问
题生长二、问题探究问题生长变式生长4：如图11，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上一个动点，PB切⊙O于点B，
则PB的最小值是 ．图11思考问题1：题目中有切线时，我们常作的辅助线是什么？线段PB的长度和哪些线段长度
有关？遇切点，连半径Rt△PBOPB的最值PO的最值PO⊥直线lRt△PBOBO定长垂线段最短勾股定理思考问题2：线段PB的最值是
否可以转化为另一条线段的最值？常见错误答案为5，想一想，哪里出错了？二、问题探究问题生长变式生长5：如图12，定长弦CD在以AB为
直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=6，OM=4，试求PM的最大值.图
12思考问题1：CP⊥AB这个条件是否让你联想到圆的某个定理？垂径定理图13思考问题2：观察图13，线段PM的最值可以转化为哪一条
可确定最值的线段？PM是中位线连接DEPM的最值可以转化为DE最值DE为直径时最长PM最小值为5构造Rt△，可求得直径为10二、问
题探究问题生长变式生长5：如图12，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP
⊥AB于点P，若CD=6，OM=4，试求PM的最大值.图12解：延长CP交⊙O于点E，连接ED,∵AB是直径，CP⊥AB，∴P是C
E中点.∵M是CD中点，∴PM是△DEC的中位线.∴ .∴要使PM最大，只需DE最大，当DE为直径时最大.连接OM
，OD，∵OM是直径一部分，M为中点，∴OM⊥CD，在Rt△ODM中易得OD=5，∴PM最大值为5.二、问题探究问题生长三、迁移拓
展拓展：如图14，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN，连接EN、AM、CM，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由.思考问题1:可以直接求解AM+BM+CM的最
小值吗？如果不能，按照前面我们所学的几何最值的解题策略，我们应该怎么办？ 图14转化成两端固定的折线之和思考问题2：由条件“△A
BE是等边三角形”、“将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN”，你可以得到什么有用的结论？△ABM≌△EBN线段AM和线段EN可以相
互转化三、迁移拓展拓展：如图14，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B
逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由.图14思考问题3：线段BM是
否可以转化，条件“旋转60°”是否可以寻找与线段BM相等的线段？等边△BMN线段BM可以和线段MN相互转化思考问题4：要求AM+B
M+CM的最小值可以转化求解图中那三条线段和的最小值，什么时候最小？AM+BM+CM的最小值可以转化EN+MN+CM的最小值当E、
M、N、C四点共线时最小，此时M是EC与BD的交点三、迁移拓展∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小.解：连接
MN，∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，∴AB=BC=BE，∠ABE=60°.∴BN=BM，∠MBN=60°，∴∠A
BE=∠MBN.∴∠EBN=∠ABM，且AB=BE，MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到
BN，∴AM=EN.∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，根
据“两点之间线段最短”，当E、N、M、C四点共线时最短，四、归纳感悟关健：转化； 本质：两点之间线段最短、垂线段最短；求解：勾股与
相似.五、自主作业1.如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为
.2.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两
点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）A.3 B.4 C.6
D.83.如图，在直角坐标系中，圆O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，直线L的表达式为y=x+3，在L上任
取一点P作圆O的切线，切点为T，则PT长的最小值是 . 第3题图第2题图第1题图五、自主作业※4.请根据拓
展迁移中提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图，A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个
城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图． 五、自主作业参考答案4.如图1，作等边△AB
Q和等边△CDP，等边△CEH，同理可证△CHP≌△CED，则CH=CE，PH=DE，∴DE+CE=PH+HE，∴点H，点P，点E
三点共线时，DE+CE的值最小值为PE，同理，AF+BF的最小值为FQ，∴DE+CE+EF+AF+BF≥PE+FE+FQ，∴点P，点E，点F，点Q共线时，并使整个公路系统的总长为最短，即最短距离为PQ，∴设计方案如图2：（∠EDC=∠ECD=∠FAB=∠FBA=30°）图2图1“停课不停学”破解中考数学几何复习难点谢谢观看！浙江教育出版集团 | 浙江青云在线教育科技有限公司 |
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