2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海?数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 函数的最小正周期为 .
【答案】
【解析】据题意可得，所以
2. 设全集，若集合，则 .
【答案】
【解析】根据题意，可得，故
3. 若复数满足，其中为虚数单位，则 .
【答案】
【解析】设，根据题意，有，可把化简成
，对于系数相等可得出，为的反函数，则 .
【答案】
【解析】利用反函数与原函数的性质求解即可. 令，解得，即.
5. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 .
【答案】16
【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组
把代入，可得，
6. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 .
【答案】4
【解析】根据正三棱柱的体积计算公式.
7. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .
【答案】2
【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点时，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有.
8.方程的解为 .
【答案】2
【解析】由题意可得
，所以或，符合.
9. 若满足，则目标函数的最大值为 .
【答案】3
【解析】根据题意作出可行域，如图所示：
由图可知，当直线过时有
的最大值为.
10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示）
【答案】120
【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，
所以有.
11. 在的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）
【答案】240
【解析】的二项展开式的通项公式，
令，即，所以常数项为.
12. 已知双曲线、的顶点重合，的方程为.若的一条渐近线的斜率是放入一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .
【答案】
【解析】设的方程为，可得的一条渐近线方程为，的一条渐近线方程为. 由题意可知，故的方程为.
13.已知平面向量满足，且，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令，，如图所示，
当与方向相同时有取最大值，又，
经计算可知，当，时有的最大值为.
14.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 .
【答案】8；
【解析】对任意的，，
欲使取最小值，尽可能多的让取最值点，考虑到，，按照下图所示取值可以满足条件
所以的最小值为8；
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.
15.设，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】A；
【解析】充分性成立，“、均为实数”可以推出“是实数”；
必要性不成立，采用反证法，若是实数，可设，，显然、均为虚数，选择A.
16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为恒成立，
所以由不等式的性质可得，选择B.
17.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针转至，则的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，所以、，
由任意角三角比的定义可知：
，
选择D.
18.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】采用极限思想求解
【法一】当时，直线趋向于，直线与圆的交点趋向于，可以理解为过点所作的圆的切线的斜率，设切线方程为，结合，即，解之，即.
【法二】在上，可得，
同【法一】可得趋向于，所以选择A.
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）
如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点. 已知，. 求三棱锥的体积，并求异面直线与所成的角的大小.
【答案】，异面直线与所成的角为.
【解析】
（1）∵为半圆弧的中点， ∴，
∴，∴；
（2）由题意可知，∴，
∴的大小即为异面直线与所成的角或其补角的大小，
易知，，
，
在中，由余弦定理可得：
，
即异面直线与所成的角为.
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数，其中为常数.
（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数. （2）增函数.
【解析】
（1）由题意可知，关于原点对称.
①为偶函数对任意
恒成立，
显然，∴不可能为偶函数；
②为奇函数
对任意恒成立，
显然有时，对任意恒成立，
∴当时，为奇函数；
综上可知，当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数.
（2）在上为增函数，理由如下：
任取，
则，
由和，
∴，又，
∴，
故在上为增函数.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，三地有直道相通，千米，千米，千米. 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米），甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地；时，乙到达地.
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米，当时，
求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由.
【答案】（1），；（2），；最大值没有超过3.
【解析】
（1），
此时，设甲所在位置为，则，如图所示
∴ ；
（2）在上的最大值不超过，理由如下：
设甲、乙所在位置分别为、. 易知，.
如图所示：，，
当即时，
，
即，
而函数的对称轴，且，
∴当时有，
∴所以在上的最大值没有超过3.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记的面积为.
（1）设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设，，，求的值；
（3）设与的斜率之积为，求的值，并使得无论与如何变动，面积保持不变.
【答案】（1）到直线的距离为；证明见解析；
（2）或；（3）时，此时面积为定值.
【解析】
（1）由题意可知，的一个法向量，
∴，
∴点到直线的距离，
故.
（2）由（1）可得：，即，又
∴，
由此可得，即，
解之或；
（3）易知两直线的斜率分别为：，，由与的斜率之积为可得：
，又，，
所以，
即，
而
化简得，
将代入得：
欲使面积为定值，只需即可，此时面积.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知数列与满足.
（1）若，且，求的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；
（3）设，求的取值范围，使得对任意，且.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）；
【解析】
（1）由可得：，又，
所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，
即有.
（2）
【法一】由可得：
将上述式子累加可得：，当时，左式也成立，
所以，
由此可得，
由于为常数，
所以当的第项是最大项时，最大，
即的第项是最大项；
【法二】任取，不妨设，
由可得
即，
∴，
同理可证当时，.
所以故对任意的，可得对任意的都有，
故的第项是其最大项.
（3）由和累加法可得，
即，
结合可得，
若对任意，且，则要求数列各项符号相同，且的最大项与最小项之比属于，分三种情况进行讨论：
①当时，则为偶数时，为奇数时，此情况不满足条件“数列各项符号相同”；
②当时，当足够大时，中奇数项为负，偶数项为正，不满足条件“数列各项符号相同”；
③当时，
此时为奇数时，为负，据题意要求为偶数时的也要恒为负，
由于中偶数项单调递减，所以只需最大项即可，解之；
又，
当为奇数时，上式为正；当为偶数时，上式为负，
即中数项递增，偶数项递减，
又和可得：，
故数列中小项为，最大项为，
∴的最大项与最小项之比为，
解之，
综上可得符合条件的.
P
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