矩形的折叠问题（复习课） 几何研究的对象是：图形的形状、大小、位置关系； 主要培养三方面的能力：思维分析能力、空
间想象能力和逻辑推理能力； 折叠型问题的特点是：折叠后的图形具有轴对称图形的性质； 两方面的应用：一、
在“大小”方面的应用；二、在“位置”方面的应用。 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的
周长与面积的变化关系等问题。一、在“大小”方面的应用1、求线段与线段的大小关系例2 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F
处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是 。解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x
，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在Rt?FCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B2
C2、求角的度数70oA3、求图形的全等、相似和图形的周长证明：（1）∵∠B=?C=?D=90o，又根据题意Rt?ADE≌Rt?A
FE,∴?AFE=90o , ∴?AFB=?FEC ,∴?AFB∽?FEC.解（2）由tan?EFC=3/4，设EC=3k，则F
C=4k，在Rt?EFC中，得EF=DE=5k。∴DC=AB=8k, 又?ABF∽?FCE,∴ BF = 6k , ∴ AF
= 10k在Rt?AEF中, AF2+EF2 = AE2 ?∴ k = ± 1 , ∴ k = 1 (取正值),∴矩形的周长为
36k，即36cm。答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△ED
F.答案：矩形的长为10，宽为8。4、求线段与面积间的变化关系例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，?B和?
C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△
AMN的面积SΔAMN。 (2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A1，ΔA1MN与四边形
BCMN重叠部分的面积为y.①试求出y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少
？解（2）①∵△A1MN≌△AMN，设△A1MN中MN边上的高为h1，△A1EF中EF边上的高为h2.∵EF∥MN,∴△A1EF∽
△A1MN. ∵△A1MN∽△ABC, ∴△A1EF∽△ABC∵△ABC中BC边上的高h=5,∴h1:x=5:10,∴h1=?
x .∴y=S△A1MN-S△A1EF=? x2-(x-5)2= - ? x2+10x – 25.综上所述，当 0 y= ? x2；当5 < x < 10 时，y = - ? x2+10 x - 25。② 当0 = ? ? 52=25∕4；当 5 0∕3，y最大=25∕3；∵ 25∕3 > 25∕4 ,∴ x=20∕3 时,y最大=25∕3 .由Rt△MOB∽
，得： ，∴BM= = =
.作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x,从而CN=BM-FM= =
。∴S梯形BCNM= 。=?(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴当x=a∕2 时，Smi
n=(3∕8 )a2.二、在“位置”方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系
重新组合。1、线段与线段的位置关系证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴ 。又
，∴四边形 是 ，∴FE与GH互相垂直平分。2、点的位
置的确定在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。条件：∠A=30o证明：由轴对称可
得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，在△ABC中，∵ ∠C=90o ，∠A=30o ，∴ BC= ? AB ，∴ BD = ? AB ，即点D为AB的中点。 |
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