一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数 从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N(
或它的有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,
其图象是无限个或有限个孤立的点. 注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.二、数列的表示1.
列举法2.图象法3.通项公式法 若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达, 即 an=
f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.4.递推公式法 如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项
与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做数列的递推公式.注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件
.如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项（ ）三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前 n 项和五、数列
的单调性 若任意一个n 都有 an+1>an(或 an+1 方法：作差、作商、函数求导.六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1); 典型例题 1.若数列
{an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2), 则当 n≥2 时, {an
} 的通项 an= . 2.定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么
这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列, 且 a1=2, 公和为 5, 那么
a18 的值为 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 .323答案 5.已知数列
{an} 的前 n 项和 Sn 满足: log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式. 6.设数列 {an
} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,…); 数列 {bn} 满足: b1=3, bk+1=ak+bk(k
=1, 2, 3,…). 求数列 {an}、{bn} 的通项公式.an=2n-1bn=2n-1+2 7.设数列 {an}
的前 n 项和 Sn=3n2-65n, 求数列 {|an|} 的前 n 项和 Tn.∴当 n<8 时, an+1>an, {
an} 单调递增；当 n>8 时, an+1a
10>a11>…, ∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项. 故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+
恒成立. ∴ f(n+1)>f(n), [评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要
途径, 因此要熟练掌握求数列单调性的程序.∴正整数 a 的最大值是3. 课后练习 1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的
一个通项公式: (2) 5, 55, 555, …. (3) -1, 7, -13, 19,…; (4) 7, 77, 777,
7777,…; (6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,…. an=(-1)n(6n-5) 2.已知下面
各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2
+n+1; (3)Sn=3n-2.解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n
-5, 故 an=4n-5(n?N). (2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-
2, (3)当 n=1 时, a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2?3n-1, 高考链接：省内模拟考链接(
1)解: ∵a1=1, an=3n-1+an-1(n≥2), ∴a2=32-1+a1=3+1=4, ∴a3=33-1+a2=9+
4=13. 故 a2, a3 的值分别为 4, 13. (2)证: ∵a1=1, an=3n-1+an-1, ∴an-an-1
=3n-1. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+3+32+…+3n-1
4.设函数 f(x)=log2x-logx2 (0 …. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)判断数列 {an} 的单调性.即 an2-2nan-1=0. ∵0 , 即 0<2an<1, ∴an<0. <1. 而an<0(n?N), ∴an+1>an. 故数列 {an} 是递增数列.
∴当 n<9 时, an+1-an>0, 即 an+1>an; 当 n>9 时, an+1-an<0, 即 an+1 列 {an} 有最大项, 其项数为 9 或 10, 其值为 当 n=9 时, an+1-an=0, 即 a10=a9; ? 9
≤n≤10. ∴数列 {an} 有最大项, 其项数为 9 或 10, 其值为 两种方法答案不一样,肯定有问题.哪种方法对呢?a
11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n … … … an1
an2 an3 … ann 6.已知 n2 个 (n≥4) 正数排成 n 行 n 列方阵, 其
中每一行的数都成等差数列, 每一列的数都成等比数列, 并且所有公比都等于 q. (2)求 a1k (1≤k≤n) 的值; (3
)记第 k 行各项和为 Ak, 求 A1 及 {Ak} (1≤k≤n) 的通项公式.解: (1)依题意可设第一行公差为 d,
各列公比为 q(q>0), 则有: 解: (1)当 n=1 时, 20?a1=S1=9-6=3, ∴a1=3; 当 n≥2
时, 2n-1?an=Sn-Sn-1=-6, (2)当 n=1 时, b1=3-log21=3, 8.已知数列 {a
n}, {bn} 满足 a1=1, a2=a(a为常数), 且 bn=anan+1, 其中, n=1, 2, 3,…. (1
)若 {an} 是等比数列, 试求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 的公式.解: ∵{an} 是等比数列, a1=1, a2
=a, ∴a?0, an=an-1.又 bn=anan+1, ∴b1=a1a2=a, 且有:∴{bn} 是以 a 为首项,
a2 为公比的等比数列.当 a=1 时, Sn=1+1+…+1=n; 当 a=-1 时, Sn=-1-1-…-1=-n;
(2)当 {bn} 是等比数列时, 甲同学说: {an} 一定是等比数列, 乙同学说: {an} 一定不是等比数列.
你认为他们的说法是否正确? 为什么? 解: 甲, 乙两个同学的说法均不正确, 理由如下: 设 {bn} 的公比为 q, 则:
又∵a1=1, a2=a, ∴a1, a3, a5,…, a2n-1, … 是以 1 为首项, q 为公比的等比数列. a2,
a4, a6,…, a2n, … 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列. 即 {an} 为: 1, a, q, aq, q
2, aq2, … .当 q=a2 时, {an} 是等比数列, 当 q?a2 时, {an} 不是等比数列.法二: 举例说明 {an} 可能是等比数列, 也可能不是: 设 {bn} 的公比为 q, 取 a=q=1, 则: an=1(n?N). 此时 bn=1, {an} 与 {bn} 都是等比数列; 此时 {bn} 是等比数列, 而{an}不是等比数列. |
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