函数 单调性 与 导数之 构造
浙江省开化中学 张小臣
模型 总结：
1.关系式为“加”型
（ 1） ''( ) ''( ) 0f x g x+? 构造 ( ) ( ) ( )h x f x g x=+， ''( ) ''( ) ''( )h x f x g x=+
特别地， ''( ) ( )0f x a a??，构造 ( ) ( )h x f x ax=?
（ 2） ''( ) ( ) 0f x f x+? 构造 ( ) ( )xh x e f x= ， ''( )hx= [ ( ) ] '' [ ''( ) ( ) ]xxe f x e f x f x=+
（ 3） ''( ) ( ) 0xf x f x+? 构造 ( ) ( )h x xf x= ， ''( )hx= [ ( )] '' ''( ) ( )x f x x f x f x=+
（ 4） ''( ) ( ) 0xf x nf x+? 构造 11[ ( ) ] '' ''( ) ( ) [ ''( ) ( ) ]n n n nx f x x f x n x f x x x f x n f x??= + = +
（注意对 x 的符号进行讨论）
（ 5） ''( ) ( ) ( ) ''( ) 0f x g x f x g x+? 构造 ( ) ( ) ( )h f x g x=
2.关系式为“减”型
（ 1） ''( ) ''( ) 0f x g x?? 构造 ( ) ( ) ( )h x f x g x=?， ''( ) ''( ) ''( )h x f x g x=?
（ 2） ''( ) ( ) 0f x f x?? 构造 ()()
xfxhx e=
，
''( )hx= 2( ) ''( ) ( ) ''( ) ( )[ ] '' ()xxx x xf x f x e f x e f x f xe e e??==
（ 3） ''( ) ( ) 0xf x f x?? 构造 ()() fxhx x= ， ''( )hx=
2( ) ''( ) ( )[ ] ''f x x f x f xxx?=
（ 4） ''( ) ( ) 0xf x nf x?? 构造 ()()
nfxhx x=
，
''( )hx= 121( ) ''( ) ( ) ''( ) ( )[ ] '' ()nnn n nf x x f x n x f x x f x n f xx x x? +??==
（注意对 x 的符号进行讨论）
（ 5） ''( ) ( ) ( ) ''( ) ( ( ) )00f x g x f x g x g x? ? ? 构造 ()()
()fxhx gx=
3. 关系式为“ 商 ”型
''( ) ( ( ) )
() 00fx fxfx ??
，分类讨论：（ 1）若 ()0fx? ，则构造 ( ) ln ( )h x f x=
（ 2）若 ()0fx? ，则构造 ( ) ln[ ( )]h x f x=?
典例 精析 ：
1. 设 ( ) ( )f x g x、 是 R 上的可导函数， ''( ) ''( )f x g x、 分别为 ( ) ( )f x g x、 的导函数，且满足
''( ) ( ) ( ) ''( ) 0f x g x f x g x+?，则当 a x b??时，有（ C ）
A . ( ) ( ) ( ) ( )f x g b f b g x? B . ( ) ( ) ( ) ( )f x g a f a g x?
C . ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g b? D . ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g a?
变式 1：设 ( ) ( )f x g x、 是 R 上的可导函数， ''( ) ( ) ( ) ''( ) 0f x g x f x g x+?， ( 3) 0g?=，求
不等式 ( ) ( ) 0f x g x ? 的解集 .
变式 2：：设 ( ) ( )f x g x、 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，当 0x? 时，
''( ) ( ) ( ) ''( ) 0f x g x f x g x+?， ( 3) 0g?=，求不等式 ( ) ( ) 0f x g x ? 的解集 .
2. 已知定义在 R 上的函数 ( ) ( )f x g x、 满足 ()
() xfxagx=
，且 ''( ) ( ) ( ) ''( )f x g x f x g x? ，
(1) ( 1) 5(1) ( 1) 2ffgg?+=? ，若有穷数列 () ()()fn nNgn??????? 的前 n 项和等于 3132 ，则 n 等于 5 .
变式：已知定义在 R 上的函数 ( ) ( )f x g x、 满足 ()
() xfxagx=
，且 ''( ) ( ) ( ) ''( )f x g x f x g x? ，若
(1) ( 1) 5(1) ( 1) 2ffgg?+=? ，求关于 x 的不等式 log 1a x? 的解集 .
3. 已知定义域为 R 的奇函数 ()fx的导函数为 ''()fx，当 0x? 时， ()''( ) 0fxfx x+?，若
1 1 1( ) , 2 ( 2 ) , l n ( l n 2 )2 2 2a f b f c f= = ? ? =，则下列关于 ,,abc的大小关系正确的是（ D ）
A.a b c?? B.a c b?? C.c b a?? D.b a c??
4. 已知函数 ()fx为定义在 R 上的可导函数，且 ( ) ''( )f x f x? 对于任意 xR? 恒成立， e 为自然
对数的底数，则（ C ）
2013A . ( 1 ) ( 0 ) ( 2 0 1 3 ) ( 0 )、f e f f e f? ? ? ? 2013B . ( 1 ) ( 0 ) ( 2 0 1 3 ) ( 0 )、f e f f e f? ? ? ?
2013C . ( 1 ) ( 0 ) ( 2 0 1 3 ) ( 0 )、f e f f e f? ? ? ? 2013D . ( 1 ) ( 0 ) ( 2 0 1 3 ) ( 0 )、f e f f e f? ? ? ?
变式：设 ()fx是 R 上的可导函数，且 ''( ) ( )f x f x?? ， (0) 1f = ，
21(2)f e=
.求 (1)f 的值 .
提示：由 ''( ) ( )f x f x?? 得 ''( ) ( ) 0f x f x+?，所以 ''( ) ( ) 0xxe f x e f x+?，即 [ ( )]'' 0xe f x ? ，
设函数 ( ) ( )xF x e f x= ，则此时有 1 (2) (0) 1FF=?=，故 ( ) ( ) 1xF x e f x==， …
5.（ 09 天津）设函数 ()fx在 R 上的导函数为 ''()fx，且 22 ( ) ''( )f x xf x x+?，下面的不等式在 R
内恒成立的是（ A ）
A. ( ) 0fx? B. ( ) 0fx? C. ( )f x x? D. ( )f x x?
变式：已知 ()fx的导函数为 ''()fx，当 0x? 时， 2 ( ) ''( )f x xf x? ，且 (1) 1f = ，若存在
xR+? ，使 2()f x x= ，求 x 的值 .
经典精练 ：
1. 已知 )0)()((),( ?xgxgxf 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 0x? 时， ( ) ( )f x g x? ?
( ) ( )f x g x? ，且 ()30f ?=，则不等式 ()()0fxgx? 的解集为（ C ）
A． ( , ) ( , )33?? ? +? B． ( , ) ( , )30 03?
C． ( , ) ( , )3 0 3? +? D． ( , ) ( , )3 0 3?? ?
2．设函数 ( ), ( )f x g x 在 [, ]ab 上均可导，且 ( ) ( )f x g x??? ，则当 a x b??时，有（ B ）
A． )()( xgxf ? B． )()()()( afxgagxf +?+
C． )()( xgxf ? D． )()()()( bfxgbgxf +?+
3．已知 ()fx是定义在 ( , )0+? 上的单调递减函数， ''()fx是其导函数，若 ()
''( )fxxfx?
．则下列
不等关系成立的是 （ C ）
A. ( ) ( )2 2 1ff? B. ( ) ( )3 2 2 3ff? 源 :学 C. ( ) ( )2ef e f e? D. ( ) ( )23ef e f e?
4. 函数 ()y f x= ， ()xR? 为奇函数，当 ( ,0)x??? 时， ( ) ( )xf x f x? ??，若 3 ( 3)af=? ，
(lg 3) (lg 3)bf=? ， 2211(l o g ) (l o g )44cf=?， 则 a， b， c的大小顺序为（ D ）
A． a＜ b＜ c B． a＞ b＞ c C． c＜ a＜ b D． c＞ a＞ b
5. 已知偶函数 ()y f x= 对于任意的 [ , )02x ?? 满足 ''( ) c o s ( ) s in 0f x x f x x+?（其中 ''()fx是
函数 ()fx的导函数），则下列不等式中成立的有 ② ③④ .
① ( ) ( )2
34ff????
； ② ( ) ( )2
34ff??? ? ?
； ③ ( ) ( )02
4ff???
； ④ ( ) ( )3
63ff???
6. 设函 数
f
在
R
上存在导数
f?
， 对任意
?
，有
2)()( xxfxf =+?
，在
),+?
上
x?? )
，若
mmfmf 48)()4 ????
，则实数
m
的取值范围为 （ B ）
A．
]2,[
B．
)[ +?
C．
),0[
D．
, 2] [2, )?? ? +?
7． 已知函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，其导函数为 ''()fx，且 0x? 时， 2 ( ) ''( )f x xf x+
0? 恒成立，则 ( 1 ) , 2 0 1 4 ( 2 0 1 4 ) , 2 0 1 5 ( 2 0 1 5 )f f f的大小关系为（ D ）
A. 2 0 1 5 ( 2 0 1 5 ) 2 0 1 4 ( 2 0 1 4 ) (1 )f f f??
B． 2 0 1 5 ( 2 0 1 5 ) (1 ) 2 0 1 4 ( 2 0 1 4 )f f f??
C． (1 ) 2 0 1 5 ( 2 0 1 5 ) 2 0 1 4 ( 2 0 1 4 )f f f??
D． ( 1 ) 2 0 1 4 ( 2 0 1 4 ) 2 0 1 5 ( 2 0 1 5 )f f f
8. 【 2015高考福建，理 10】若定义在 R上的函数 满足 ，其导函数 满
足 ，则下列结论中一定错误的是（ C ）
A. B. C. D.
9．【 2015 高考新课标 2，理 12】设函数 是奇函数 的导函数， ，
当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
10.定义在 R上的函数 ()fx满足 ( ) ( )1 1 2 1f f x?=?， 且 ，当 ? ?0,2x ?? 时，不等 (2cos )fx
2 12cos 22x??的解集为 ______ 5[0, ) ( , 2 ]33???_______.
()fx ( )01f =? ()fx?
( ) 1f x k? ??
11f kk??????? 111f kk????? ??? 11f kk????????? 1 11kf kk?????????
''()fx ( )( )f x x R? ( 1) 0f ?=
0x? '' ( ) ( ) 0xf x f x?? ( ) 0fx? x
( , 1) (0,1)?? ? ( 1,0) (1, )? +? ( , 1) ( 1, 0)?? ? ? (0,1) (1, )+?
11． 设函数 ()fx是定义在 ( , )0?? 上的可导函数，其导函数为 ''()fx，且有 ( ) ''( ) 22 f x xf x x+?，
则不等式 ( ) ( ) ( )22 0 1 4 2 0 1 4 4 2 0x f x f+ + ? ? ?的解集为 （ C ）
A. ( , )2012??? B. ( , )20120? C. ( , )2016??? D. ( , )20160?
12.函数 ()fx的定义域为 R ， ()02f = ，对任意 , ( ) ''( ) 1x R f x f x? + ?，则不等式 ()xe f x??
1xe+ 的解集为（ A ）
A.{ | }0xx? B.{ | }0xx? C.{ | }或1 0 1x x x? ? ? ? D.{ | }或11x x x? ? ?
13.已知一函数满足 0x? 时，有 ()''( ) 22 gxg x x x=?，则下列结论一定成立的是（ B ）
A. () ()2 132g g?? B. () ()2 122g g?? C. () ()2 142g g?? D. () ()2 142g g??
14.定义在区间 ( , )0+? 上的函数 ()fx使不等式 ( ) ''( ) ( )23f x x f x f x??恒成立，其中 ''()fx为
()fx的导数，则（ A ）
A. ()
()2481ff??
B. ()
()28 161ff??
C. ()
()2341ff??
D. ()
()2231ff??
15.已知函数 ()fx的定义域为 ( , ) ( , )00?? +?，图象关于 y 轴对称，且当 0x? 时， ''( )fx?
()fxx 恒成立，设 1a? ，则 () , ( ) , ( ) ( )4 1 4 2 2 111a f a aa f a a faa+ +++的大小关系为（ B ）
A. () ( ) ( ) ( )4 1 42 2 111a f a aa f a a faa+ ? ? +++
B. () ( ) ( ) ( )4 1 42 2 1a f a aa f a a f+ ? ? +
C. ()( ) ( ) ( )4 1 42 2 111a f a aa f a a faa+? ? +++
D. ()( ) ( ) ( )4 1 42 2 111a f a aa f a a faa+? ? +++
16.函数 ()fx的导数为 ''()fx，对任意 xR? ，都有 ''( ) ( )2f x f x? 成立，若 (ln )42f = ，则
不等式 () 2xf x e? 的解是（ A ）
A. ln4x? B. ln04x?? C. 1x? D.01x??
17.已知定义在 R上的可导函数 ()fx的导函数 为 ''()fx，满足 ''( ) ( )f x f x? ，且 ()2fx+ 为偶
函数， ()41f = ，则不等式 ()xf x e? 的解集为（ B ）
A.( , )2? +? B.( , )0+? C.(, )1+? D.( , )4+?
18.已知函数 ()fx对定义域 R内的任意 x 都有 ( ) ( )4f x f x=?，且当 2x? 时，其导函数 ''()fx
满足 ''( ) ''( )2xf x f x? ，若 24a??，则（ C ）
A. ( ) ( ) ( lo g )223af f f a?? B. ( ) ( lo g ) ( )232af f a f??
C. ( lo g ) ( ) ( )2 32af a f f?? D. ( lo g ) ( ) ( )2 23af a f f??
19.已知函数 ()fx的导函数为 ''()fx，对任意 ( , )0x? +? ，都有 ''( ) ( )2xf x f x? 成立，则（ D ）
A. ( ) ( )2 3 3 2ff? B. ( ) ( )2 1 3 2ff? C. ( ) ( )4 3 3 2ff? D. ( ) ( )4 1 2ff?
20.已知定义在 R上的函数 ()fx满足 ()21f = ，且 ()fx的导函数 ''( ) 1f x x??，则不等式 ()fx
21 12xx? ? + 的解集为（ C ）
A.( , )22? B.( , )2+? C.( , )2?? D. ( , ) ( , )22?? ? +?
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