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0-58818084。高中数学必修第二册 RJA6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【目标认知】知识点一 平面向量数量积的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于 . ?x1x2
+y1y2它们对应坐标的乘积的和【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)已知a=(-3,4),b=(5
,2),则a·b=-7. ( )√知识点二 向量模的坐标表示1.若a=(x,y),则|a|2= ,|a|= .
?2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||= .?x2+y2【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确
的打“√”,错误的打“×”)(1)若A(1,0),B(0,-1),则||=. ( )(2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3
),若|a|=|b|,则x=2.( )√×[解析] 由|a|=|b|得 =,解得x=±2.知识点三 向量垂直的坐标形式a⊥b?a
·b=0? . ?x1x2+y1y2=0【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)若a=(
x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是x1x2-y1y2=0. ( )×[解析] a⊥b的充要条件是x1x2+y
1y2=0.知识点四 两个向量的夹角公式的坐标表示设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,
则cos θ= . ?【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两个非零向量的
夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. ( )(2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一
定是锐角. ( )(3)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0
°. ( )×××1.向量数量积的运算(1)运算结果:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号决定.而线性运
算的结果为向量,不是实数.(2)写法:两个向量的数量积也称为内积,写成a·b,符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,又不能用
“×”代替,书写时要严格区分.(3)类比实数运算:在实数中,若a≠0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若a≠0,且a·b=0
,则不能推出b=0,因为其中cos θ有可能为0.(4)类比实数运算律:已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c;但是在
向量的数量积运算中,已知向量a,b,c(b≠0),由a·b=b·c?? a=c.如图所示:a·b=|a||b|cos β=|b||
|,b·c=|b||c|cos α=|b|||,故a·b=b·c,但a≠c.(5)在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是向量
中一般有(a·b)c≠a(b·c),这是因为等号左端是与c共线的向量,而等号右端是与a共线的向量,而a与c不一定共线.2.向量模的
坐标运算的实质向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系xOy中,一定存
在A(x,y),使=a=(x,y),则||=|a|=,即|a|表示点A到原点的距离.同样,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
||=,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式,由此可见,向量模的运算的实质是求平面直角坐标系中两点间的距离.3.利用平面向量数量
积的坐标表示模、夹角容易忽略的几个问题①向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0,与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0易记错
、易混淆,要通过前后联系,类比记忆.②两向量夹角的范围容易忽略,要联系平面几何中两直线的夹角、立体几何中两异面直线所成角、二面角的
平面角的范围去对比记忆.③两向量的数量积和数的乘法容易混淆,如非零向量a,b,c一般不满足(a·b)c=a(b·c).探究点一 向
量数量积的坐标运算[探索] 向量的数量积有两个公式,我们应如何选择?解:知道向量的模和夹角时用a·b=|a||b|cos θ,知道
向量的坐标时用a·b=x1x2+y1y2.例1 (1)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= ( )A
.-1 B.0 C.1 D.2[解析]∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.C(
2)如图6-3-8所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则·的值是 .?[解析]以A为原点,AB
所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=,BC=2,∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(
0,2),∵点E在边CD上,且=2,∴E(,2),∴=(,2),=(-,2),∴·=-+4=.图6-3-8变式 (1)已知a=(1
,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x= ( )A.6 B.5 C.4 D.3[解析] 由题意可
得8a-b=(6,3),∵(8a-b)·c=30,c=(3,x),∴18+3x=30,解得x=4.C(2)已知a与b同向,b=(1
,2),a·b=10.①求a的坐标;②若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c的坐标.解:①设a=λb=(λ,2λ)(λ>
0),则a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).②∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,∴a(b·c)=0(2,
4)=(0,0),(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).[素养小结]向量数量积的坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,
要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式:①|a|2=a·a.②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b
|2.③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形是规则的且易建系,则可先建立坐标系,
写出相关向量的坐标,再求数量积.探究点二 向量模的问题[探索] 如何求向量的模?解:若知道向量的坐标,则直接代入公式求模;若不知道
向量的坐标,则先求模的平方.例2 (1)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于 ( )A. B.
C.5 D.25[解析]∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴
5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.C(2)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,0),则|2a-
b|的最大值为 .?[解析] 2a-b=(2cos θ-,2sin θ),则|2a-b|===,所以当cos θ=-1时,|
2a-b|取得最大值2+.2+变式 若平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于 ( )A.1
3+6 B.2C. D.[解析] 依题意得a2=2,a·b=×2×cos 45°=2,所以|3a+b|=
===.D[素养小结]求向量的模的两种基本策略(1)坐标法:若向量a是以坐标形式出现的,即a=(x,y),则求向量a的模可直接利用
公式|a|=.(2)常规平方法:若向量a,b是以非坐标形式出现的,则先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.常用的求向量的模
的公式:|a|2=a2=a·a,|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.探究点三 向量的夹角和垂直问题[探索] 利用向量
的数量积求两向量夹角的一般步骤是什么?解:(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|=(a=(x,y))求两向量
的模.(3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值.例3 (1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,
若(c-b)·a=,则a与c的夹角为 ( )A. B. C. D.[解析]由题可得a·b=-10,则(c-b)·a=c·a-b·
a=c·a+10=,∴c·a=-.设a与c的夹角为θ,则cos θ===-,∵θ∈[0,π],∴θ=.C(2)已知a=(-3,2)
,b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 ( )A. B.- C. D.-[解析]由向量λa+b与a-2
b垂直,得(λa+b)·(a-2b)=0,因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以(-3λ-1,2λ)·(-1,2)=0,即3
λ+1+4λ=0,解得λ=-.B变式 (1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于 (
)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1[解析] 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),所
以由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.B(2)已
知a=(,1),b=(m,2),a·b=4,求|b|的值及a与b的夹角θ的余弦值.解:因为a·b=(,1)·(m,2)=m+2=4
,所以m=2,所以|b|==4,故cos θ===.[素养小结]1.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)若题目条件没有涉及向量的
坐标,而给出了a·b以及|a||b|等条件,则利用公式cos θ=求出cos θ.(2)若题目条件涉及向量的坐标,则利用公式cos
θ=求出cos θ.(3)无论是上述哪种类型,由三角函数值cos θ求角θ时,都应注意角θ的取值范围是[0,π].2.由垂直关系
求参数的策略已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,应根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.1.求向量数量
积的运算的常用方法进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进
行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.2.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用向量数量积的坐标表示解
决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题一致,利用坐标表示把垂直条件代数化,因此判定方法更简捷、运算更直接,体现了向量问题代数化的思
想.[例1] 已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),求·,并判断△ABC的形状.解:
由题易知=(3,-1),=(-1,-3),∴·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴⊥.又||=,||=,∴△ABC是等腰直角
三角形.3.利用数量积求两向量夹角的步骤设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a,b的夹角.(1)由公
式cos θ=直接求出cos θ的值.(2)在0≤θ≤π内,由cos θ的值求角θ.[例2] 已知向量a=(2cos α,2sin
α),b=(1,),a≠±b,那么a+b与a-b的夹角是 .?[解析] a+b=(2cos α+1,2sin α+),a-
b=(2cos α-1,2sin α-),∵(a+b)·(a-b)=4cos2α-1+4sin2α-3=0,∴a+b与a-b的夹角
是.1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于( )A.1 B.-1 C.2 D.-2[解析] ∵a=(0
,1),b=(2,-1),∴a·b=(0,1)·(2,-1)=0×2+1×(-1)=-1.B2.若平面向量a与b的夹角为60°,a
=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于 ( )A. B.2C.4 D.12[解析] ∵a=(2,0)
,|b|=1,∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1,∴|a+2b|==2.B3.已知a=(1,3),b=(-1,2),
则a与b的夹角为 ( )A. B. C.
D.B[解析] 设a与b的夹角为θ,∵|a|=,|b|=,a·b=5,∴cos θ===,又a,b的夹角的取值范围为[0,π],∴a与b的夹角为.4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,3),B(-2,k),若⊥,则实数k的值为 ( )A.4 B.3 C.2 D.1A[解析] 易知=(1,3),=(-3,k-3).因为⊥,所以·=0,即-3+3(k-3)=0,解得k=4.5.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=3,则b= ( )A.(-3,6) B.(3,-6)C.(6,-3) D.(-6,3)A[解析] 由题意设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),则|b|==|λ|=3,∵λ<0,∴λ=-3,故b=(-3,6). |
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