§9.2.4 总体离散程度的估计 把一组数据按大小顺序排列,处在最中间的一个数据(或两个数据的平均数); 从频率分布直方图中估
计中位数左右两边的直方图的面积相等. 一组数据中重复出现次数最多的数; 从频率分布直方图中估计众数是最高的矩形的中点.
1.众数2.中位数复习回顾:3.平均数从频率分布直方图中估计平均数,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底
边中的横坐标之和.样本的数字特征：众数、中位数和平均数根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们选择适合的统计量来表示数据的集中趋势
: 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类
型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.平均数、中位数和众数提供了一组数据的集中趋势的信息,这是概括
一组数据的特征的有效方法. 但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我们做出有效的决策.复习回顾:有两名射击队员在一次射击测试中
各射靶10次,每次命中的环数如下:甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9
5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是
一场选拔性考核，你应当如何做出选择？问题3:计算得，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.由条形图直观的看出,甲的
成绩比较分散,乙的成绩相对集中.可见，甲乙的射击成绩是存在差异的. 如何度量成绩的这种差异呢?有两名射击队员在一次射击测试中各射
靶10次,每次命中的环数如下:甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9
5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一场
选拔性考核，你应当如何做出选择？问题3:计算得，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.甲命中环数的极差=10-4=
6, 乙命中环数的极差=9-5=4.甲的成绩波动范围比乙大.求极差但极差涉及的数据只有最大值和最小值,所含信息量很少.极差在一
定程度上刻画了数据的离散程度.求“平均距离”我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.“平均距
离”的定义：为了避免式中含有绝对值,从数学角度考虑通常改用平方来代替，即由于方差的单位是原始数据的单位的平方，为了单位一致，我们取
方差的算术平方根，即一、 方差 、标准差计算公式(1)方差和标准差都是刻画数据的离散程度和波动幅度的特征数. 方差、标准差越大,
波动越大, 数据的离散程度越大; 标准差、方差越小, 波动越小, 数据的离散程度越小, 稳定性越好.(2)方差和标准差的取值范围
:标准差、方差为0时, 样本各数据全相等, 表明数据没有波动没有离散性.(3)因为方差与原始数据的单位不同, 且平方后可能夸大了偏
差的程度, 所以在解决实际问题时, 一般多采用标准差.(4)在实际问题中，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差. 在随机抽样中，
样本标准差依赖于样本的选取具有随机性.有两名射击队员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲 7 8 7
9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6
7 7如果你是教练如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一场选拔性考核，你应当如何做出选择？问题3:计算得，甲、乙两名
运动员射击成绩的平均数、中位数众数都是7.即乙比甲的射击成绩稳定.如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所
有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手,否则可以选甲. 样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数
和标准差一起能反映数据取值的信息. 例如：根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据,可以计算出样本平均数和样本标准差分
别为标准差刻画了数据的 或 , 标准差越大,数据的离散程度越 ;标准差越小,数据的离散程度越 .?平均数和标准差
一起能反映数据取值的信息.一般情况下数据中大部分落在区间 内,绝大部分数据落在 内.?离散程度波动幅度大小[-
s,+s][-2s,+2s]例题1:解: 在对树人中学高一学生身高的调查中,采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样
本数据，只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38
.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗? 例题2:二、 分层抽样总样本方差的计算公式
练习：已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有二、三、四线城市房产均价为1.2万元/平
方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方
差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.解:(1)不
能,不知道男、女生抽取比例.(2)能,总样本均值为总样本方差为(课本214页练习5) 某学校有高中学生500人，其中男生320人，
女生180人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息， 采用分层抽样的方法抽样样本,并观察样本的指标值(单位:cm),计算得男生样
本的均值为173.5,方差为17，女生样本的均值163.83,方差为30.03.(1)根据以上信息，能够计算出总体的均值和方差吗?
为什么?(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总体的均值和方差各为多少吗?(3)如果已知男、女样本量都是25，你能计算出
总体的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?(3)能,总样本均值为总样本方差为不能,每个个体被抽取的概率不完全相同1.用定义计算样本方差和样本标准差2.分层抽样总样本方差的计算3.用频率分布直方图估计样本方差方差的估计值等于每一个小矩形底边中点值减去平均数的平方乘小矩形的面积的和.课堂小结 |
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