2021-2022学年福建省八年级（上）期末数学试卷
（含解析）
（时间120分钟，满分150分）
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
下列等式正确的是（ ）
A. x3?x-1=x-3 B. x3?x-1=x2 C. x3÷x-1=x2 D. x3÷x-1=x-3
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，7 B. 3，4，8 C. 3，4，5 D. 3，3，7
在平面直角坐标系xOy中，若△ABC在第一象限，则△ABC关于x轴对称的图形所在的位置是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A. x≠0 B. x≠-2 C. x≥-2 D. x≤-2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边向外作正方形，过点C作CK⊥AB交ID于点K，延长EB交AG于点L，若点L是AG的中点，△ABC的面积为20，则CK的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 2 D. 4
某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块（如图所示），现要到玻璃店其配一块完全一样的玻璃，应带第（ ）块去配．
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③都不可以
运用完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2计算（x-）2，则公式中的2ab是（ ）
A. x B. -x C. x D. 2x
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工1个月完成总工程的，则可以表示“两队共同工作了半个月完成的工程量”的代数式是（ ）
A. B. C. D.
如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A. a2-b2=（a+b）（a-b） B. （a+b）2=a2+2ab+b2 C. （a-b）2=a2-2ab+b2 D. a（a+b）=a2+ab
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF=AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP=HP，NF=2，则四边形ABMN的面积为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
若a+b=3，则a2-b2+6b=______；若2x+5y-3=0，则4x?32y=______．
分解因式：m3-2m2+m=______．
如图，在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC=4，BC=3，则AE=______．
如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=______度．
如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于______．
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
化简：（1+）（1-）+-2+×-（）2．
先化简，再求值：（x-2-），其中x=．
如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
如图，△ABC的周长为20，其中AB=8， （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，连接EB；（保留作图痕迹，不要求写画法） （2）在（1）作出AB的垂直平分线DE后，求△CBE的周长．
如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，E、F是AB上的动点，且∠ECF=45°，分别过E、F作BC、AC的垂线，垂足分别为H、G，两垂线交于点M． （1）当点E与点B重合时，请直接写出MH与AC的数量关系； （2）探索AF、EF、BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，请画出坐标系并利用（2）中的结论证明MH?MG=．
元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍． （1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ （2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元/枝，玫瑰的进价是5元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的平方等于4，试求x2-（a+b+cd）x+（a+b）2009+（-cd）2008的值.
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE=a，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE； （2）当a=60°， ①如图2，求证：CE∥AB； ②探究线段CE、AB、CD之间的数量关系，请直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．x3?x-1=x3-1=x2，故本选项不合题意； B．x3?x-1=x3-1=x2，故本选项合题意； C．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不合题意； D．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不符合题意． 故选：B． 分别根据同底数幂的乘法除法法则，根据法则逐一判断即可． 本题主要考查了同底数幂的乘法除法法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系，得， A、3+4=7，不能组成三角形，不符合题意； B、3+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意； C、2+5＞5，能组成三角形，符合题意； D、3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC在第一象限， ∴△ABC关于x轴对称的图形在第四象限， 故选：D． 根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解可得． 本题主要考查关于x、y轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+2≠0， 解得：x≠-2， 故选：B． 根据分式有意义的条件即可求解． 本题考查的是分式有意义的条件的内容，根据分式有意义，分母不为零来求解．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AC=IC，BC=DC，∠ACB=∠ICD=90°， ∴△ACB≌△ICD（SAS）， ∴∠CAB=∠CIK，∠ABC=∠IDC， 延长KC交AB于点P，则KP⊥AB， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB+∠CBA=90°， 在Rt△ACP中，∠APC=90°，∠ACP+∠CAB=90°， ∴∠ACP=∠CBA=∠IDC， ∵∠ACP=∠KCD， ∴∠KCD=∠IDC， ∴KC=KD， 同理可知，IK=KC， ∴KD=IK=KC， ∴KC=ID=AB， ∵AD∥EL， ∴△ACB∽△BAL， ∴AC：BC=BA：AL=2：1， ∵△ABC的面积为20， ∴AC?BC=40， ∴BC=2，AC=4， ∴AB=10， ∴CK=5． 故选：B． 由题意可知，AC=IC，BC=DC，∠ACB=∠ICD=90°，所以△ACB≌△ICD（SAS），所以∠CAB=∠CIK，∠ABC=∠IDC，延长KC交AB于点P，则KP⊥AB，易证KD=IK=KC，所以KC=ID=AB，因为AD∥EL，所以△ACB∽BAL，则AC：BC=BA：AL=2：1，又△ABC的面积为20，所以AC?BC=40，则可得BC=2，AC=4，所以AB=10，则CK=5． 本题利用正方形性质，平行线的性质和三角形相似等，关键是根据三角形相似找出对应边成比例．
6.【答案】C
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：C． 已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
7.【答案】B
【解析】解：（x-）2=x2-2x×+=x2-x+，所以公式中的2ab是-x． 故选：B． 利用完全平方公式计算（x-）2即可得到答案． 本题考查了完全平方公式，属于基础题，熟记公式（a-b）2=a2-2ab+b2即可解题．
8.【答案】D
【解析】解：∵甲队单独施工1个月完成总工程的，乙队单独施工1个月完成总工程的， ∴两队共同工作了半个月完成的工程量=（+）=+， 故选：D． 由题意甲队单独施工1个月完成总工程的，乙队单独施工1个月完成总工程的，求出两队共同工作了半个月完成的工程量即可． 本题考查了列代数式，熟知甲队和乙队的工作效率是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：从图中可知：阴影部分的面积是（a-b）2和b2，剩余的矩形面积是（a-b）b和（a-b）b， 即大阴影部分的面积是（a-b）2， ∴（a-b）2=a2-2ab+b2， 故选：C． 根据图形得出阴影部分的面积是（a-b）2和b2，剩余的矩形面积是（a-b）b和（a-b）b，即大阴影部分的面积是（a-b）2，即可得出选项． 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．
10.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，∠F=90°， ∴∠ADC=∠F=90°， ∵AN⊥AC，∠DAF=90°， ∴∠FAN+∠DAN=∠DAC+∠DAN=90°， ∴∠FAN=∠DAC． 在△ADC和△AFN中， ， ∴△ADC≌△AFN（ASA）， ∴CD=FN=2，AC=AN． ∵AN⊥AC，MN⊥AN， ∴∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ACMN是矩形， ∴四边形ACMN是正方形， ∵∠CDB=∠DBE=90°， ∴CG∥BE， 又∵NP=PH， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则FG=2+x=AD，DB=GE=x， ∵Rt△ACB中，CD⊥AB， ∴△ADC∽△CDB， ∴． ∴CD2=AD×DB， ∴22=（2+x）x， 即x2+2x=4． 四边形ABMN的面积=S正方形ACMN-S△ABC =AC2- =（AD2+CD2）- =（2+x）2+22- =x2+2x+6 =4+6 =10， 故选：C． 依据条件可判定△ADC≌△AFN（ASA），即可得到CD=FN=2，AC=AN，再根据四边形ACMN是矩形，即可得到四边形ACMN是正方形；设NG=GE=x，则FG=2+x=AD，DB=GE=x，根据△ADC∽△CDB，可得CD2=AD×DB，即可得出x2+2x=4，再根据四边形ABMN的面积=S正方形ACMN-S△ABC进行计算，即可得出结论． 本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质以及相似三角形、全等三角形的综合运用，解决问题的关键是先判定四边形ACMN是正方形，四边形ABMN的面积=S正方形ACMN-S△ABC，然后利用整体代入方法求解．
11.【答案】9? 8
【解析】解：∵a+b=3， ∴a2-b2+6b=（a+b）（a-b）+6b=3（a-b）+6b=3（a+b）=3×3=9； ∵2x+5y-3=0， ∴2x+5y=3， ∴4x?32y=22x?25y=22x+5y=23=8． 故答案为：9，8． 把a2-b2+6b写成（a+b）（a-b）+6b=3（a-b）+6b=3（a+b），再把a+b=3代入即可求解； 4x?32y=22x?25y=22x+5y，再把2x+5y=3代入即可求解． 本题主要考查了平方差公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】m（m-1）2
【解析】解：m3-2m2+m=m（m2-2m+1）=m（m-1）2． 故答案为m（m-1）2． 先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】1
【解析】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5， ∵△ABC≌△EDB， ∴BE=AC=4， ∴AE=5-4=1， 故答案为：1． 根据勾股定理求出AB，根据全等得出BE=AC=4，即可求出答案． 本题考查了全等三角形的性质和勾股定理的应用，能求出BE的长是解此题的关键，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
14.【答案】40
【解析】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC ∵∠ACD=110° ∴∠ACB=∠BAC=70° ∴∠B=∠40°， ∵AE∥BD， ∴∠EAB=40°， 故答案为40． 首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可． 本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴点E关于AD的对应点为点F， ∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点， ∴F是AB的中点， ∴CF是△ABC的中线， ∴CF=AD=4， 即EP+CP的最小值为4， 故答案为：4． 要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解． 本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：∵∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，∠A=90°， ∴△ABD≌△EBD， ∴AB=BE，AD=DE． 又∵AB=AC， ∴CD+DE=CD+AD=AC=AB=BE， ∴△DEC的周长=CD+DE+CE=BE+CE=BC=10． ∴△DEC的周长=10． 故填10． 从已知条件开始思考，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行相等线段的转移，可得答案． 本题考查了角平分线的性质；解题时主要利用了角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明三角形全等，然后利用和差关系求值．
17.【答案】解：原式=1-2+5-8+6-3×2 =-1-3+6-6 =-1-3．
【解析】先利用平方差公式、二次根式的性质计算、化简，再计算加减即可． 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、平方差公式．
18.【答案】解：原式=（）÷ =（）÷ =÷ = =2x-4 当x=时， 原式=
【解析】先化简分式，然后将x=代入求值即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】证明：如图，∵BC∥DE， ∴∠ABC=∠BDE． 在△ABC与△EDB中， ， ∴△ABC≌△EDB（SAS）， ∴∠A=∠E．
【解析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20.【答案】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点． ? 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠BPD+∠PBD=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠AQP+∠ABQ=90°． ∵∠ABQ=∠PBD， ∴∠BPD=∠AQP． ∵∠BPD=∠APQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴AP=AQ．
【解析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键． 根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质及对顶角得出可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
21.【答案】解：（1）如图，BE为所作； （2）∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴EB+EC=EA+EC=AC， ∵△ABC的周长为20， ∴AC+BC=20-AB=20-8=12， ∴△CBE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=12．
【解析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用基本作图作AB的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得到EA=EB，则EB+EC=AC，然后利用△ABC的周长为20得到AC+BC=12，从而得到△CBE的周长．
22.【答案】解：（1）如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH， 即MH=AC． （2）AF、EF、BE之间的数量关系是EF2=AF2+BE2，证明如下： 如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， 即EF2=AF2+BE2； （3）如图，以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 设M（a，b）， ∵OA=OB=1， ∴∠GAF=∠AFG=∠MFE=∠HEB=∠HBE=45°， ∴△AGF和△EFM和△BEH都是等腰直角三角形， ∴AG=GF=1-b，BH=EH=1-a，FM=ME=a+b-1， ∴AF2=2（1-b）2，EF2=2（a+b-1）2，BE2=2（1-a）2， 由（2）可知EF2=AF2+BE2， ∴2（a+b-1）2=2（1-b）2+2（1-a）2， ∴2ab=1， ∴ab=， 即MH?MG=．
【解析】（1）当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而得出结论； （2）根据SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得出答案； （3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设M（a，b），可得出AG=GF=1-b，BH=EH=1-a，FM=ME=a+b-1，由（2）的结论可得出a，b的等式，整理即可得出结论． 此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元， 根据题意得：=×1.25， 解得：x=8， 经检验，x=8是原方程的解． 答：降价后每枝玫瑰的售价是8元． （2）设购进玫瑰y枝，则购进康乃馨（180-y）枝， 根据题意得：5y+6（180-y）≤1000， 解得：y≥80． 答：至少购进玫瑰80枝．
【解析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据数量=总价÷单价结合降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）设购进玫瑰y枝，则购进康乃馨（180-y）枝，根据总价=单价×数量结合总价不多于1000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：∵a，b互为相反数， ∴a+b=0， ∵c，d互为倒数， ∴cd=1， ∵x的平方等于4， ∴x=±2， ∴x2-（a+b+cd）x+（a+b）2009+（-cd）2008=22-（0+1）×2+02009+（-1）2008=4-2+0+1=3， x2-（a+b+cd）x+（a+b）2009+（-cd）2008=（-2）2-（0+1）×（-2）+02009+（-1）2008=4+2+1=7， 综上所述，代数式的值为3或7．
【解析】根据相反数的定义求出a+b，根据倒数的定义求出cd的值，再根据有理数的乘方求出x，然后代入代数式进行计算即可得解． 本题考查了代数式求值，相反数的定义，倒数的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=a， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）①∵∠BAC=∠DAE=a， ∴∠BAD=∠CAE， 由（1）同理可证△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵α=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABC+∠BCE=60°+120°=180°， ∴CE∥AB； ②当点D在BC延长线上时， ∵△BAD≌△CAE， ∴CE=BD=BC+CD=AB+CD； 当点D在BC上时， ∵△BAD≌△CAE， ∴CE=BD=BC-CD=AB-CD； 当点D在线段CB的延长线上时， ∵△BAD≌△CAE， ∴CE=BD=CD-AB． 综上所述：当点D在BC延长线上时，CE=AB+CD； 当点D在BC上时，CE=AB-CD； 当点D在线段CB的延长线上时，CE=CD-AB．
【解析】（1）利用SAS即可证明△BAD≌△CAE； （2）①当α=60°，AB=AC，得△ABC是等边三角形，由（1）同理可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC+∠BCE=60°+120°=180°，即可证明结论； ②分三种情形：当点D在BC延长线上时，当点D在BC上时，或当点D在线段CB的延长线上时，分别根据全等三角形的性质得出CE=BD，从而解决问题． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明△BAD≌△CAE是解题的关键，注意分三种情况．
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