六奥三－四边形面积计算
l、三角形ABC的面积为l0平方厘米，AE=AD，BD=3DC，求阴影部分的面积
连接DF，因AE=AD 所以AE＝DE △AEF＝△DEF，△ABE＝△BDE
推出△ABF＝△BFD 因BD=3DC △ABF＝△BFD＝3△DCF
S△ABC＝7S△DCF S△BFD＝S△ABC＝10×＝4（平方厘米）
2、AE＝ED，BD＝2DC，S⊿ABC＝40cm2,求阴影部分的面积
连接DF，因AE=DE △AEF＝△DEF，△ABE＝△BDE
推出△ABF＝△BFD 因BD=2DC △ABF＝△BFC＝2△DCF
S△ABC＝5S△DCF S△BFD＝S△ABC＝40×＝16（平方厘米）
3、在三角形AFG中，三角形ABC、BCD、CDE、DEG、DFG 的面积分别是6 cm2、l0 cm2、14 cm2、9 cm2、20 cm2。求三角形DEF的面积。
解 （一） ＝＝＝
＝＝＝＝
S△DEF＝S△AEF－S△DCF＝S△AFG×－S△ADE
＝（6＋10＋14＋9＋20）×－（6＋10＋14）＝＝15 cm2
（二）以DF为底作△DEF和△DFG的高，高之比等于面积之比
＝ S△DEF＝×20＝15 cm2
4、四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为25cm2。求四边形ABCD的面积。
因三等分，△ABD＝3△AEF △CBD＝3△CEF
即四边形ABCD的面积＝3个AECF的面积
25×3＝75 cm2
5、如下图所示，AO=AC，S△BOC＝36 cm2 求梯形的面积。
解 根据题意，S△AOD：S△AOB：SDOC：S△BOC＝1：2：2：4
36÷4×（1＋2＋2＋4）＝81 cm2
6、长方形ABCD的面积是40，三角形ABE的面积是8，三角形ADF的面积是10，求三角形AEF 的面积。
解答：连接AC，S△ABC＝S△ADC＝40÷2＝20 S△AEC＝20－8＝12
S△ACF＝20－10＝10＝S△ADF 所以DF＝FC
S△ACE＝S△DCE＝20－8＝12
那么 S△ECF＝S△ECA＝12÷2＝6 所以S△AEF＝40－8－6－10＝16
7、如图所示，6FE=EC，BF=3AF，S△AEF=2 cm2 ，求三角形ABC的面积。
解答：CF＝7FE 等底等高 S△AFC=2×7＝14 cm2
BF=3AF 即AB＝4AF 即 14×4＝56 cm2
8、已知长方形ABCD的面积是24 cm2，并且BC等于CF的3倍，E是CD的中点，求阴影部分的面积。
解答：S△ADC＝S△ABC＝24÷2＝12 cm2
E是CD的中点 得DE＝CE S△ADE＝S△AEC＝12÷2＝6 cm2
BC等于CF的3倍，即 12÷3×2＝8 cm2
S△FCA＝S△FCD＝12－8＝4 cm2（等底等高）所以S△ECF＝4÷2＝2 cm2
S△AEF＝24－6－8－2＝8 cm2
9、已知S△DOC =15cm2，BO=BD，求梯形的面积。
解答：根据题意，S△AOD：S△AOB：SDOC：S△BOC＝1：3：3：6
15÷3×(1＋3＋3＋9)=45cm2
10、长方形ABCD的面积为20，S△ABE = S△ADF=5，求三角形AEF的面积。
S△ABC = S△ADC=20÷2＝10 S△AFC=10－5＝5 得DF＝FC
S△ABE= S△DEC＝5 S△CEF=5÷2＝2.5 S△AEF=20－5－5－2.5＝7.5
11、四边形ABCD是一个边长为20cm的正方形，AM=5cm，AN=4cm，求三角形CMN的面积。
解答：正方形20×20＝400 cm2 △AMN：5×4÷2＝10 cm2
△BNC：20×（20－4）÷2＝160 cm2
△DCM：20×（20－5）÷2＝150 cm2
S△CMN＝400－10－160－150＝80 cm2
12、如图，在三角形ABC中，AE=2EC，D为BC的中点，三角形ADC的面积是cm2，三角形BCE的面积的cm2，求阴影部分的面积。
解答 作EFBC??则AG＝2GD???GHHD＝23?即3GH＝2HD
AH＝AG+GH＝2GD+GH＝2﹙GH+HD﹚+GH＝3GH+2HD＝2HD+2HD＝4DH
SBHD＝S⊿ABD＝S⊿ACD＝S⊿ACD
阴影部分面积＝SACD+S⊿BHD＝S⊿ACD＝×＝﹙cm2﹚做DFAC ∵D是BC中点,AE=2EC即EC=1/2AE DF=1/2EC=1/4AE即AF/AE=1/4 DF∥AE ∴△DOF∽△AOE ∴OD/OA=DF/AE=1/4 即OD/AD=1/5 D是BC的中点 S△ABD=S△ACD=1/4 ∴S△BOD=1/5S△ABD=1/5×1/4=1/20 ∴阴影面积=SACD+S△BOD=1/4+1/20=6/20=3/10
（三）BD=DC，所以三角形BD0和三角形CDO的面积相等，因为等底等高 AE=2EC，所以三角形AEO的面积是三角形CEO面积的2倍，因为高相等，底是2倍 设三角形OEC面积为S1,三角形CDO面积为S2 三角形ADC面积=3S1+S2=1/4 所以6S1+2S2=1/2 三角形BCE面积=2S2+S1=1/6 6S1+2S2-2S2-S1=1/2-1/65S1=1/3 S1=1/15 所以S2=1/20 阴影部分面积=3S1+2S2=1/5+1/10=3/10 12－1如图，在ABC中，AE=2EC，D为BC的中点，ADC的面积是45c㎡，BCE的面积是30c㎡，求阴影部分的面积。
过点E做EHAD交BC于点H
AE：EC=DH：HC=2：1，CD：CH=1：3
SΔACD=45 ∴SΔECH=45/32=5
∵BD：DC=1：1BD：DH=3：2，BD：BH=3：5
SΔBCE=30 ∴SΔBEH=SΔBCE-SΔCEH=30-5=25
∴SΔBDO=25×(3/5)2=9
∴S四边形DOEC=SΔBCE-SΔBDO=30-9=21
S阴影=SΔACD+SΔBCE-S四边形DOEC
? ? ? ? ? ? ?=45+30-21=54
阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE＝ED， 连接DF．可知S△AEF＝S△EIW（等底等高）．采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积．
连接DF，因AE=AD 所以AE＝DE △AEF＝△DEF，△ABE＝△BDE
推出△ABF＝△BFD 因BD=DC △ABF＝△BFD＝3△DCF
S△ABC＝5S△DCF S△BFD＝S△ABC＝8×＝3.2（平方厘米）
14、 如图18-2所示，AE=ED，BC=3BD，S△ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
解答：因AE=ED 得△ACE＝△BCE △AEF＝△DEF§§△ACF＝△DCF
因BC=3BD 得△CDF＝△ACF＝2△DBF 角ABC分5份 阴影得2份
即 30÷5×2＝12平方厘米
15、 如图18-3所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
解答：因AE=ED 得△ABE＝△BDE △AEF＝△DEF§§△ABF＝△BDF
因DC＝BD 得BD是3份，DC是1份 △CDF＝△ACF＝3△DBF
角ABC共分7份 阴影得3份
即 21÷7×3＝9平方厘米
16、 如图18-4所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD=5平方厘米。求三角形ABC的面积。
解答：因DE＝AE 得△ABE＝2△BDE
△ABD＝3△BDE＝5×3＝15平方厘米
因BD＝2DC，得△ACD＝△ABD
即△ABC 15＋15÷2＝22.5平方厘米
17、 如图，在三角形ABC中，三角形BDE、DCE、ACD的面积分别是90平方厘米,30平方厘米,28平方厘米。那么三角形ADE的面积是多少？
三角形 底相等，高之比＝面积之比 高相等 底之比＝面积之比
解答：（一） △ADC：△BDC＝△ADE：△BDE
即△ADE＝＝＝21平方厘米
（二）三角形ADC面积：三角形BDC面积=28：（90+30）=7:30 AD：BD=7:30
ADE面积：三角形BDE面积=AD：BD=7:30 90÷30×7=21（平方厘米）
答：三角形ADE的面积是21平方厘米。
（（三）因为S△BDE=90平方厘米，S△DCE=30平方厘米， 则BE：EC=90：30=3：1， 又因S△ABC=90+30+28=148平方厘米， 三角形ABE的面积为：148×=111（平方厘米）， 三角形ADE的面积=111-90=21（平方厘米）． 答：三角形ADE的面积是21平方厘米
18、如图18-6所示，在三角形ADE中，三角形ABC，BCE，CDE的面积分别是50cm2，24cm2，37cm2。求三角形BDC的面积。
解答：S△BDC：S△ACB＝ S△DCE：S△ACE 高后相等，
S△BDC＝＝＝25 cm2。
19、如图18-7所示，在三角形AGH中，三角形ABC、BCD、CDE、DEF、EFG、FGH的面积分别是19 cm2,21 cm2,23 cm2,25 cm2,28 cm2,29 cm2。求三角形EFH的面积
解答：S△EFH：S△AFE=S△FHG：S△AFG
即△EFH＝＝＝22平方厘米
解：∵S△ABC：S△BCD=19:21，且两三角形同高， ∴AB：BD=19：21. 如此类推可知：AC：CE=40：23，AD：DF=63：25，AE：EG=88：28，AF：FH=116：29. ∵△EFH与△AEF等高， ∴S△EFH:S△AEF=29：116，即1：4， ∴S△EFH=S△AEF÷4=(19+21+23+25)÷4=22平方厘米
20、如图18－8所示，在三角形ABC中，三角形ADE、DEF、EFG、FGH，CGH，BCH的面积分别是5 cm2, 7 cm2, 11 cm2, 15 cm2,,20 cm2, 12 cm2,求三角形BGH的面积。
解答：三角形内：高相等 底之比＝面积之比
S△BGH=S△HGA＝S△BCH=S△HCA
S△BGH＝＝＝7 cm2,
21、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知二个三角形面积，求另两个三角形的面积各是多少？
解答（一）因为S△ABD与△ACD等底等高 所以S△ABO=6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△A00＝6÷2=3。 答：△AOD的面积是3
（二）等底等高 △ADB＝△ADC 得△ABO＝△BCO＝6
高相等 底之比＝面积之比 DO：OB＝12：6＝2：1
即△ADO＝6÷2＝3
答：△ABO是6，△ADO是3
22、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图18-6所示），已知两个三角形的面积，求另外两个三角形的面积是多少？
等底等高 △ADB＝△ADC 得△ABO＝△BCO＝4
高相等 底之比＝面积之比 CO：AO＝8：4＝2：1
即△ADO＝4÷2＝2
答：△ADO是2，△DOC是4
23、 求梯形ABCD的面积（如图18-7所示）。
解答： 等底等高 △ADB＝△ADC 得△ABO＝△DOC＝8
高相等 底之比＝面积之比 CO：AO＝8：4＝2：1
即△BOC＝8×2＝16 梯形ABCD的面积4＋8＋8＋16＝36
答：形ABCD的面积是36
24、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3 倍。求梯形ABCD的面积。（如图18-8所示）。
解答：等底等高 △ADB＝△ADC 得△AOB＝△DOC＝15平方厘米
高相等 底之比＝面积之比 OD：OB＝3：1
即△AOD＝15÷3＝5平方厘米 △BOC＝15×3＝45平方厘米
梯形ABCD的面积5＋15＋15＋45＝80平方厘米
答：梯形ABCD的面积是80平方厘米
25、 四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18-9所示）。
三等分：△ABD＝3△AEF △BCD＝3△CEF
即SABCD＝3SAECF＝3×15＝45平方厘米
【思维导航】由于E、F三等分BC，所以三角形ABE. AEF. AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，
三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形
CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3 -45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
26、 如图18－9所示，四边形ABCD的对角线BD被E、F、G的三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积。（如图18-10）。
解答：四等分：△ABD＝2△AEG △BCD＝2△CEG
即SABCD＝2SAECG＝15×2＝30平方厘米
27、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18-11所示）。
解答：四等分：等底等高 △ABC＝4△AEF △ACD＝4△DEF
即SABCD＝4SBEDF＝15×4＝60平方厘米
28、 如图18-12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
BE交CD于O点，三角形ODE相似于三角形OCB OD：OC=DE：BC DE＝（6－4）×6÷4＝3
求阴影部分的面积：（6＋3）×6÷2＝27
29、正方形ABDC的边长为24cm，E、F分别是BD、CD的中点，CE与BF交于G（如图）．求阴影部分的面积．
解答： E、F分别是BD、CD的中点，△CFG＝△BEG，
连接DG得 △CFG＝△BEG＝△FDG＝△DEG
S△CFG＝24×12÷2÷3＝48 cm2
答：阴影部分的面积是48平方厘米
解答：△ADC＝△ADB △ODC＝△ABO＝4平方厘米
△BCO＝4×2＝8平方厘米，△ADO＝4÷2＝2平方厘米
梯形ABCD＝4＋4＋8＋2＝18平方厘米
答：梯形ABCD的而积是18平方厘米。
31、 如图18-14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形ABCD的面积。
解答：△ADC＝△ADB △ODC＝△ABO＝4×2＝8平方厘米
△BCO＝8×2＝16平方厘米，
梯形ABCD＝4＋8＋8＋16＝36平方厘米
答：梯形ABCD的而积是36平方厘米。
32、 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形ABCD的面积（如图18-15所示）。
解答：△ADC＝△ADB △ODC＝△ABO＝4×2＝8平方厘米
OC＝2AO得S△DOC＝S△AOB＝14÷2＝7平方厘米
S△ADO＝7÷2＝3.5平方厘米
梯形ABCD＝14＋7＋7＋3.5＝31.5平方厘米
答：梯形ABCD的而积是31.5平方厘米。
33、 已知S△AOB=6平方厘米。OC＝3AO，求梯形ABCD的面积（如图18-16所示）。
解答：据题意得 S△COB=6×3＝18 cm2 S△DOC=6 cm2 S△ADO=6÷3＝2 cm2
梯形ABCD＝18＋6＋6＋2＝32 cm2
34 如图18-17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
连接AE，得S△ADE=S△AFE=16÷2＝8
因△＝4 那么△ACE＝4即C是EF的中点
因△ADB＝3 那么△ABE＝5 △ABE与△CBE等底
即S△BEC＝5÷2＝2.5
S△ABC＝16－3－4－2.5＝6.5
35、 如图18-18所示，长方形ABCD 的面积为20 平方厘米，三角形ADF 的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
解答：连接AC，得S△ADC=S△ADC=20÷2＝10平方厘米
因S△ADF＝5平方厘米 那么S△ACF＝5平方厘米 即F是DC的中点
因S△ABE＝7平方厘米 那么S△ABE＝3平方厘米 △AFE与△CBE等底
即S△FEC＝3÷2＝1.5
S△AEF＝20－7－5－1.5＝6.5平方厘米
36、 如图18-19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE=4平方厘米，又S△AFD =6平方厘米，求三角形AEF的面积。
解答：连接AC，得S△ABC=S△ADC=20÷2＝10平方厘米
因S△AFD＝6平方厘米 那么S△ACF＝4平方厘米 即DF：FC＝6：4＝3：2
因S△ABE＝4平方厘米 那么S△ACE＝6平方厘米 △AFE与△CBE等底
即S△FEC＝6×＝2.4平方厘米
S△AEF＝20－4－6－2.4＝7.6平方厘米
37、图18-20所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积
解答：连接AC，得S△ABC=S△ADC=24÷2＝12平方厘米
因S△AFD＝4平方厘米 那么S△ACF＝8平方厘米 即DF：FC＝4：8＝1：2
因S△ABE＝4平方厘米 那么S△ACE＝8平方厘米 △AFC与△CEF等底
即S△AEF＝8×＝5平方厘米
S△AEF＝24－4－4－5＝10平方厘米
|
|
