2021-2022学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析）
（时间90分钟，满分100分）
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
方程x2＋2 x－3＝0的解是
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－1，x2＝－3
如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A. 1：16 B. 1：4 C. 1：6 D. 1：2
某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P=，下列说法中正确的是（ ）
A. P一定等于 B. 抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近 C. 多抛掷一次，P更接近 D. 硬币正面朝上的概率是
下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. ax2=2a C. （?y-1）（?y+2）=0 D. y=2x-3
学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛.设参加球赛的班级有x个，所列方程正确的为（ ）
A. x（x-1）=15 B. x（x+1）=15 C. x（x-1）=15 D. x（x+1）=15
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC=6，则△PMN的周长是（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
如图：在△ABC中，AB=AC，D是AC上的一点，且∠A=∠DBC=36°，则下列结论不成立的是（ ）
A. BC=AD B. 点D是AC的黄金分割点 C. D. BC2=AC?CD
某楼梯的侧面如图所示，已测得线段AB的长为3.5米，∠BAC=29°，则该楼梯的高度BC可表示为（ ）
A. 3.5sin29°米 B. 3.5cos29°米 C. 3.5tan29°米 D. 米
下列各选项不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A. ∠C=∠D=90°，∠B=32°，∠E=58° B. ∠C=∠D=90°，AB=15，BC=9，EF=5，DF=4 C. ∠C=∠D=90°，AC=15，BC=9，DE=5，DF=3 D. ∠C=∠D=90°，AC=15，BC=9，EF=5，DF=3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
化简二次根式：= ______ ，= ______ .
如图，已知平行四边形ABCD，过A做AH⊥CD于点H，AB=8，AH=4，若在平行四边形内取一点，则该点到平行四边形的四个顶点的距离均大于1的概率为______．
如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上移动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了______．（结果可含有三角函数）
如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，这时CD=2，则AB=______．
在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共55.0分）
（1）计算：0+2cos30°． （2）先化简，再求值：，其中x=-3．
解方程； （1）x2-8x+8=17x2 （2）x2+4x-2=0
如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上． （1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形； （2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）
一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．请补全该统计图并求出的值．
大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测AB大楼底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高约是45米，根据以上观测数据求AB大楼的高（精确到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）
如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）． （1）判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由； （2）在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
【发现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明． 【应用】在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：______．（只添加一个条件）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2-x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值； （3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】∵ ∴ ( x+3)(x-1)=0， ∴ x+3=0,，或 x-1=0， 解得： 故选B。
2.【答案】D
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， ∴两个相似三角形的周长比是1：2， 故选：D． 根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：随着抛掷次数的增加，P稳定在附近， 故选：B． 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的． 本题考查模拟实验，熟练掌握模拟实验的频率与概率的关系是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意． B、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意． C、由已知方程得到：y2+y-2=0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． D、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 根据一元二次方程的定义作答． 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5.【答案】C
【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，=15， 故选：C． 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=，由此可得出方程． 本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
6.【答案】B
【解析】解：∵P、M分别是AB、AC的中点， ∴PM是△ABC的中位线， ∴PM=BC=3，PM∥BC， ∴∠APM=∠CBA=70°， 同理可得，PN是△ABD的中位线， ∴PN=AD=3，PN∥AD， ∴∠BPN=∠DAB=50°， ∴∠MPN=180°-50°-70°=60°， 又∵PM=PN， ∴△PMN为等边三角形， ∴PM=MN=PN=3， ∴△PMN的周长=9， 故选：B． 根据三角形中位线定理得到PM=BC=3，PM∥BC，根据平行线的性质得到∠APM=∠CBA=70°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可． 本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：过点B作BC⊥OA于点C． BO==2， AO==2． ∵S△AOB=×2×2=2， ∴AO?BC=2． ∴BC==． ∴sin∠AOB===． 故选：B． 过点B作BC⊥OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用△AOB的面积求出BC的长，最后在直角△BCO中求出∠AOB的正弦值． 本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用△的面积求出OA边上的高是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=×（180°-36°）=72°， ∵∠DBC=36°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴BC=BD， ∵∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD， ∴BC=AD，故选项A成立； ∵∠A=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴AB：BD=BC：DC， ∴AB：AD=AD：DC， ∴点D是AC的黄金分割点，AB：BC=BD：CD，故选项B成立，选项C不成立； ∵AD2=AB?CD，AD=BC， ∴BC2=AB?CD，故选项D成立； 故选：C． 由等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：sin∠BAC=，得BC=AB?sin29°=3.5?sin29°， 故选：A． 由sin∠ABC=得BC=AB?sin29°． 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、∠C=∠D=90°，∠B=32°，则∠A=58°=∠E，则△ABC∽△EFD相似，所以A选项不符合题意； B、由勾股定理，得AC=12，DE=3，则==3，∠C=∠D=90°，则△ABC∽△FED相似，所以B选项不符合题意； C、由AC=15，BC=9，DE=5，DF=3，则=，而∠C=∠D=90°，则△ABC∽△EFD，所以C选项不符合题意； D、由∠D=90°，EF=5，DF=3，则DE=4，而=，==3，≠，则△ABC与△DEF不相似，所以D选项符合题意． 故选：D． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B、C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断． 本题主要考查了相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似． （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似．
11.【答案】?
【解析】解：==， =． 故答案为：，． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 此题主要考查了二次根式乘除，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】1-
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠B+∠C+∠D=360°，CD=AB=8， 分别以点A、B、C、D为圆心，1为半径作圆，如图所示： 则所求概率对应的面积为阴影部分的面积， 则四个圆在平行四边形内的扇形面积之和为：π×12=π， ∵AH⊥CD， ∴平行四边形ABCD的面积=CD×AH=8×4=32， ∴阴影部分的面积=32-π， ∴在平行四边形内取一点，则该点到平行四边形的四个顶点的距离均大于1的概率为=1-； 故答案为：1-． 分别以点A、B、C、D为圆心，1为半径作圆，求出平行四边形ABCD的面积和阴影部分的面积，由概率公式即可得出答案． 本题考查了平行四边形的性质、圆面积以及概率公式等知识；求出平行四边形和阴影部分的面积是解题的关键．
13.【答案】6tan15°
【解析】解：设木桩上升了x cm， 则tan15°=， 解得：x=6tan15°， 则木桩上升了6tan15°cm， 故答案为：6tan15°． 根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：∵OA=3OD，OB=3CO， ∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC， ∴=， ∴AB=3CD， ∵CD=2， ∴AB=6， 故答案为6． 首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】6
【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9， ∴CA2+CB2=AB2， ∴CA=CB=9， ∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=3， ∴BD=BC-CD=9-3=6． 故答案为：6． 根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC-CD，代入数据计算即可求解． 综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大．
16.【答案】解：（1）0+2cos30° =（-8）+2--1+2× =（-8）+2--1+ =-7； （2） = = = =2（x+3）， 当x=-3时，原式=2（-3+3）=2．
【解析】（1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
17.【答案】解；（1）x2-8x+8=17x2 整理得：2x2+x-1=0 ∵△=1-4×2×（-1）=9， ∴x==， ∴x1=-1，x2= （2）x2+4x-2=0， 配方得：x2+4x+4=6，即（x+2）2=6， 解得：x1=-2+，x2=-2-．
【解析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 此题考查了解一元二次方程-公式法、配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：（1）如图所示，△BCD即为所求． （2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求， 相似比； 相似比．
【解析】（1）根据三角形的面积公式及全等三角形的概念作图可得； （2）根据相似三角形的判定和性质作图即可得． 本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定．
19.【答案】解：球的总数：4÷0.2=20（个）， 2+4+6+b=20， 解得：b=8， 摸出白球的概率：2÷20=0.1， 摸出红球的概率：6÷20=0.3， ===0.4．
【解析】首先根据黑球数÷总数=摸出黑球的概率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得答案． 此题主要考查了概率和条形统计图，关键是掌握概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
20.【答案】解：如图，过点D、E分别作DM⊥AB，EN⊥AB，垂足分别为M、N， 由题意可知，CD=45米，EC=1.5米=AN，∠MDA=30°，∠NEB=72°， 在Rt△MAD中，AM=CD=45米，∠MDA=30°， ∴MD==45（米）=NE， 在Rt△BNE中，EN=MD=45米，∠BEN=72°， ∴BN=EN?tan72°≈45×3.08≈239.8（米）， ∴AB=AN+BN=1.5+239.8=241.3（米）， 答：大楼AB的高度约为241.3米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△MAD中，根据边角关系可求出MD=45米，在Rt△BEN中，根据边角关系可求出BN，进而求出AB即可． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】解：（1）结论：△ABC∽△DEF． 理由：∵AB=2，BC=2，DE=，EF=2， ∴==， ∵∠ABC=∠DEF=135°， ∴△ABC∽△DEF． （2）如图，△D′E′F′即为所求．S△D′E′F′=×5×=5．
【解析】（1）结论：△ABC∽△DEF．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可． 本题考查作图-相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】AC=BD
【解析】解：【探究】平行四边形． 理由：如图2，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， 综上可得：EF∥HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形． 【应用】添加AC=BD， 理由：连接AC，BD，同（1）知，EF=AC， 同【探究】的方法得，FG=BD， ∵AC=BD， ∴EF=FG， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴?EFGH是菱形； 故答案为AC=BD． 【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状； 【应用】同【探究】的方法判断出EF=AC，即可判断出EF=FG，即可得出结论； 此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．
23.【答案】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2-8mx+4m+2=0的两根， ∴x1+x2=8， 由 解得： ∴B（2，0）、C（6，0） 则4m-16m+4m+2=0， 解得：m=， ∴该抛物线解析式为：y=； （2）可求得A（0，3） 设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵ ∴ ∴直线AC的解析式为：y=-x+3， 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论： ①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，-）， ∵P（t，）， ∴PF=， ∴S△APC=S△APF+S△CPF = = =， 当t=3时，S△APC取最大值，最大值为：， ②当6＜t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，-）， ∵P（t，）， ∴PM=， ∴S△APC=S△APM-S△CPM= = =， 当t=8时，S△APC取最大值，最大值为：12， 综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12； （3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2， Q（t，3），P（t，）， ①当2＜t≤8时，AQ=t，PQ=， 若：△AOB∽△AQP，则：， 即：， ∴t=0（舍），或t=， 若△AOB∽△PQA，则：， 即：， ∴t=0（舍）或t=2（舍）， ②当t＞8时，AQ′=t，P''Q''=， 若：△AOB∽△AQ''P''，则：， 即：， ∴t=0（舍），或t=， 若△AOB∽△P''Q''A，则：， 即：， ∴t=0（舍）或t=14， 综上所述，当t=或t=或t=14时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
【解析】本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结． （1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式； （2）分0＜t＜6时和6＜t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形面积的最大值； （3）以点D为分界点，分2＜t≤8时和t＞8时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
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