4.2.2等差数列的前n项的和(3)选择性必修第二册 第四章 数列1)等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:一、回顾旧知2).求等
差数列前n项的最大(小)的方法方法2:利用an的符号： ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此 时所有正项的和为Sn
的最大值, 由an≥0，an+1≤0 求得n. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时
所有负项的和为Sn的最小值, 由an ≤0，an+1 ≥ 0 求得n.3)等差数列{an}前n项和的性
质性质1: Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也是等差数 列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn
,则有n2d 性质2:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前 n项的和分别为Sn和Tn,则例4 数列{an}的前n项和Sn＝1
00n－n2(n∈N).(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；三、求数列{|an|}的前n项和解 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，
适合上式，∴an＝101－2n(n∈N).又an＋1－an＝－2为常数，∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.(2)
设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和.解 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N，∴n≤50(n∈N).①当
1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，∴数列{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.②当n≥51时，an<0，此时
bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得数列{bn
}的前n项和Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.已知
等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分
析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练3 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.求{|a
n|}的前n项和Sn解 当n≤17，n∈N时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥18，n∈N时，|a
1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋a
n)已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式
入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a
2|＋…＋|a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100练习1123456789101112131415
16√ 练习21234567891011121314151615.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这
个数列的中间项是____，项数是____.117解析 设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N)，12345678910111
213141516解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项.1234567
8910111213141516解析 设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列.所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k. |
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