1.2 空间向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．平面向量
基本定理问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？复习回顾追问2 两个不共线的向量还够用吗？ 如果两个
向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝xa＋yb．至少需要
三个向量．追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？ 三个向量共面 三个向量不共面追问3 任给三个向量都可以表示
空间中的任意向量吗？？ 空间向量的投影思考 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，向量 a 在向量 b 上的投影
如何求？向量 a 向直线 l 的投影呢？向量 a 向平面 β 的投影呢？pPQOαxipPQOyjzkα我们称 xi，yj，zk
分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．xipPQOyjzk我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向
量．α追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？OPαpacbBCAQQαO
PpacbBCAOQPpacbBCAαxaOQPpacbybzcBCAαxaOQPpacbybzcBCAα 如果 e1，e2 是
同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2．空间向量基
本定理平面向量基本定理问题2 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量 a，b，c
不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有
且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量 a，b，c 不共面，空间向量基本定理平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，空间向量基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的
两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果 e1，e2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果
三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，空间向量基本定理平面向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那
么对任意一个空间向量 p，存在唯一空间向量基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一
个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共
线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量 a，b，c
不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，空间向量基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是
同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三
个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc．空间向量
基本定理平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ
1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 那么，所有空间向量组成的集合就是 { p
| p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存
在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，
a，b，c 都叫做基向量(base vectors)．问题3 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？ 答：任意三个不共面的向量都
能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个． {a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当 a，b，c不共面．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．问题4 平面向量基本定理与
空间向量基本定理的联系与区别是什么？空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，
存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2．问题4 平面向量基本定理与空间向量基本定理
的联系与区别是什么？{a，b，c}{e1，e2}二维三维空间向量基本定理平面向量基本定理向量共线充要条件如果三个向量 a，b，c
不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的
两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2．向量 a ( a ≠ 0
)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使b＝λa.{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维{a}给我一个支点，我可以
撬起地球．——阿基米德给我一个基底，我还你一个空间！例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 O
M 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，
，用向量 表示 问：是否一定能做到？答：
不共面，空间向量基本定理保证了可行性．可以构成空间的一个基底．答：可以利用向量线性运算的 运算法则，如三角形法则、
平行四边形法则等．问：如何进行表示？例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 O
M 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，
，用向量 表示 解：Q 结合图形特征，利用三角形法
则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.用基向量表示空间向量的方法问题5 通过
这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表示空间向量的方法呢？练习1、2（课本P15习题T1，T2）练习3（课本P12练习T3
）答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到 哪些方法？向量方法．证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等．例
2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 °
，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点． 求证 MN⊥AC1．454答：可以转化为向量问题
问：如何使用向量方法解决立体几何 问题？例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA
1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．454答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何 问题？例2 如图，在平行六面体 ABCD
－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N
分别为D1C1，C1B1的中点． 求证 MN⊥AC1．454例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中
，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1
B1的中点． 求证 MN⊥AC1．向已知条件转化．454证明：这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则
所以
所以 所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)把相关向量的运算转化为基向量的运算选取基底(不共面且已知长度夹角)证明：这三个向量不共面，{a，
b，c}是空间的一个基底．则 所以
所以 所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底向量运算转化②用基向
量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题转化向量方法理论基础：空间向量基本定理答：可以取单位正交基底．例3 如图，正方
体 ABCD－A''B''C''D''的棱长为1，E，F， G分别为C''D''， A''D''， D''D的中点． （1）求证：EF∥A
C ;问：单位正方体这个条件对解题 有什么作用？单位：基向量长度为1．正交：基向量两两垂直，任意两不同基向量数量积为0．问：
如何用向量方法证明EF//AC？例3 如图，正方体 ABCD－A''B''C''D''的棱长为1，E，F， G分别为C''D''， A''D''
， D''D的中点． （1）求证：EF∥AC ;证明：则 {i，j，k} 构成空间的一个单位正交基底．ijk问：如何用向量
表示 CE 与 AG 所 成角的余弦值？例3 如图，正方体 ABCD－A''B''C''D''的棱
长为1，E，F， G分别为C''D''， A''D''， D''D的中点． （1）求证：EF∥AC ; （2）求 C
E 与 AG 所成角 的余弦值．ijk解：因为
所以 i
jk1 0
0
0 解：因为 所以 思考：是否可以用 与 所成角的余弦值来求解第2小问？例3 如图，正方体 ABCD－A''B''C''D''的棱长为1，E，F， G分别为C''D''， A''D''， D''D的中点． （1）求证：EF∥AC ; （2）求 CE 与 AG 所成角 的余弦值． 应用一个定理：空间向量基本定理 学习一种方法：向量方法 体会一种思想：转化与化归思想课堂小结 |
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