天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水。欢迎光临,欢迎指导！成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 空
间 角 一、异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b
′所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：
.(3)当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 .锐角直角0°＜θ≤90
°90°a⊥b 例1、在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小. 解 如图
①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠G
OA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的
角为90°. 反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线
夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角
是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 二、直线与平面所成的角1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______.
2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是_______.锐角 ∠PA
O 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 直线与平面所成的角解 ∵AB⊥平
面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1
B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.解答(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.∴∠A1BO＝30°，∴A1
B与平面BB1D1D所成的角是30°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1
O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO
就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又∵∠A1OB＝90°，跟踪训练1 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是
底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小. 例3、如图所示，在△ABC中， ∠ABC
＝45°,O在AB上，且OB=OC=2/3AB,又PO⊥平面ABC， DA∥PO,DA=AO=1/2PO. ，求直线BC与平面DC
O所成角的大小.反思与感悟 求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上
的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 从一条直线出发的
两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:2、二面角的表示方法二面角
?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角C－AB－ E1、定义二面角的平面角:
二面角的平面角必须满足：二面角的平面角的范围: [0o,180o] 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的
棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。注意:(与顶点位置无关)∠AP
B= ∠A1P1B1求二面角方法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则
∠AOB就是此二面角的平面角。例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD所成的角的余弦值。平面
与平面所成的角解答求二面角方法：2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO
，垂足 为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。例4 如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠
ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.平面与平面所成的角3、射影面积法:如图所示， AD?平面M， 设
?AHD= ?是二面角A-BC-D的平面角， 由cos ? =HD/AH可得，?ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影?DBC
以及两者所成的二面角?之间的关系：ABCDHM例5 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C
与平面ABCD所成角的余弦值。平面与平面所成的角解答3、垂面法:例6．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=
5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点∵PA⊥α ∴PA⊥
ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7∴∠P= 60
o ∴∠AOB=120o ∴这二面角的度数为120o解：O反思与感悟 求平面与平面所成角的方法：(1)定义法：
在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平
面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)三垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是
最有效的一种方法.（4）面积摄影法；射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再
用公式,这种方法避免了找平面角. 跟踪训练2如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2
)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数. (3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴
OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.空间角的计算求角度
问题时，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上，求角度的解题步骤是：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构
造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．空间角包括以下三类： 空间角的计算①两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，关键
是选取合适的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影．③求二面角关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．THANK YOU用你的智慧,使你心想事成龙游中学 邓小娟 |
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