经典数学名题赏析——费马点求几何最值及其变式本期编辑：李松霖（路桥实验中学）人教版数学九年级（上册）（1）如图1，在△ABC中，BC＝2，将
△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′BC′，则CC′＝______；【提出问题】（2）如图2，在△ABC中，BC=4，AC=4
，∠ACB=30°点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由； 本题是一道综合性强
、极富创造性求最值的问题1.核心知识：三角形全等、最值原理、勾股定理2.核心素养：数学建模、直观想象、数学运算、数据分析3.数学思
想方法：转化与模型思想、数形结合思想4.基本活动经验：两点之间，线段最短。旋转变换2 问题：如图3，已知△ABC所在平面内求
做任意一点P，使PA+PB+PC的最小值？【最短原理】关于求几何最值问题，我们一般可以借助以下两个公理来处理：（1）定点到定点：两
点之间线段最短；（2）定点到直线：垂线段最短。图3【探究问题】从问题分析：PA+PB+PC的最小值转化将A、B、C、P在同一直线上
问题：如图3，已知△ABC所在平面内求做任意一点P，使PA+PB+PC的最小值？怎么做分析：②旋转全等转化一条边①作等边△改
变一条边位置为什么分析：构造等边和旋转改变线段的位置，不改变线段的长度图3在哪里分析：线段AB、AC分别向外做等边三角形，连接A′
B和A′′C交点。【解决问题】【问题起源】由旋转的性质可知：△CPP''是等边三角形
∴PC＝PP'' ∵PA＝P''A''
∴PA+PB+PC＝P''A''+PB+PP''
∵P''A''+PB+PP''≥BA'' 易证AC＝A''C＝4，
∠A''CB＝90° ∵Rt△A''BC中，A''C2+BC2=BA''2
∴ BA''=
.即PA+PB+PC的最小值为 ．如图：将△CBA绕点C顺时针旋转60°得到△A''P''C，连接P''P''，A''P''
．44本题源于经典数学名题费马点问题，所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题
：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。它还有个特征，这个
点跟其他三角形的三段点的连线构成的角度都是120°，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。如果存在一个点到三角形三个顶点的距离
之和为最小,则这个点称为费尔马点。图3情况一：如图4，当△ABC最大内角小于120°时， 以C点为旋转中心，将△CPA 逆时针旋转
60度到△CP′A′位置。显然当A′、P′、P、B四点共线时，距离之和最短。情况二：如图5，当△ABC有一内角不小于120°时：很
显然此时点C就是费马点，由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时，费马点就是该内角顶点。因此，把PA、PB、PC这三条分散的
线段转化为连续的折线，然后借助两点之间线段最短找到符合条件的点P。问题证明：当P′、P、B共线时，∠BPC=120°，当A′、P′
、P共线时，∠APC=∠APB=120°，所以P点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。图4图5变式1.已知正方
形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形的边长 .图形变式
：变式2.如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为___
___．原理变式：实践练习：如图，P是边长为1的等边△ABC内的任意一点，求PA+PB+PC的最小值
.变式1.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形的边长
. 图形变式：注 本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，不妨一试．原理变式：变式2.如图，已知
矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然
构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG， 易证△AM
D与△AGF全等， ∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 过
F作FH⊥BC交BC于H点， 线段FH的长即为所求的最小值． 定点到直线：垂线段最短
。 最小值 .四、实践与变式突破几何最值问题的方法：几何最
值问题核心思想:模型思想、转化思想转化基本原理：两点之间，线段最短。垂线段最短。定点与定点定点与定线基本变换：平移旋转轴对称将军饮马问题造桥选址问题费马点问题改变图形的位置，不改变图形的大小。画曲为直AP+BP最小AM+MN(定值)+NB最小PA+PB+PC最小谢谢聆听! |
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