球与几何体切、接问题1.球的体积2.球的表面积用一个平面α去截一个球O，截面是圆面O?球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截
面的距离为d，球的半径为R，则截面问题例1、一个球的表面积为256πcm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面
圆的面积.变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.两种情况要点：准确画图
，利用基本三角形例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径（球内切于圆柱）. 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2
)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.(3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.阿基米德的墓志铭“接”与“切”：
阿基米德(前287－前212) 是古希腊最伟大的数学家和物理学家，人们称他是“数学之神”。人们把他与牛顿、高斯并列为历史上三
个最伟大的数学家. 在公元前212年，叙拉古城失陷时，他还在潜心研究画在沙盘上的一个几何图形。当罗马士兵
闯入他的房间，举剑向他刺去的一刹那，他还在喊：“不要动我的图!”但罗马的士兵并不认识这位不起眼的数学家，还是一剑刺了下去，伟大的数
学家便倒在了血泊里…… 人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，就是在圆柱体容器里放了一个球，这
个球要顶天立地，四周碰边。以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二。两个几何体相（内）切:一个几何体的各个
面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空
间“接切”转化为平面“接切”问题类型三、“接”与“切”：例1：有三个球,一球切于棱长为a的正方体的各面, 一球切于棱长为a的正方体
各条棱,一球过棱长为a的正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.棱切球的直径等于正方体的面对角线。正方体的棱切球画出正确的截面：(1
)中截面；(2)对角面找准数量关系变式练习对角面变式练习3.长方体的共顶点的三个侧面面积分别是 求它的外接球表
面积为？典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面
体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角
形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法与正四面体各棱都相切的球的半径？思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有
变化？一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。 正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即
是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心1过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，O1 是
正△BCD的中心，且AE 为斜高解法1：作 OF ⊥ AE 于 F设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r∵ Rt △ AFO
∽ Rt △ AO1E 设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-B
CD解法2：球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶
点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 |
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