第五章三角函数§ 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型探要点·究所然情境导学生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交替四季轮回,潮涨潮落、 云卷云舒,情绪的起起落落,庭前的花开花谢,用数学语言可以说这些现象具有周期性,而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型 ,这节课我们就来通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数思考 怎样作出函数 y=|sin x|的图象,并根据图象判断其周期和单调区间?答 函数y=sin x位于x轴上方的图象不动,位于x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方即可得到函数y=|sin x|的图象,如下图所示:小结 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如:(1)由函 数y=f(x)的图象要得到y=|f(x)|的图象,只需将y=f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不动, 即“上不动,下翻上”.(2)由函数y=f(x)的图象要得到y=f(|x|)的图象,应保留y=f(x)位于y轴右侧的图象,去掉y轴左 侧的图象,再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象,即“右不动,右翻左”.例1 (1)作出函数y=|cos x|的图象,判断其奇偶 性、周期性并写出单调区间.解 y=|cos x|图象如图所示.由图象可知:T=π;y=|cos x|是偶函数;(2)作出函数y=s in|x|的图象并判断其周期性.解 ∵sin(-x)=-sin x,∴其图象如图.由图象可知,函数y=sin|x|不是周期函数.? 跟踪训练1 求下列函数的周期:探究点二 三角函数模型的应用思考1 数学模型是什么,什么是数学模型的方法?答 简单地说,数学模型就是 把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问 题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.思考2 上述的数学模型是怎样建立的?答 解决问题的一 般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系;2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型;3°求解 :对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论;4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.思考3 怎样处理搜集到的数据?答 画出散点 图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下:(1)收集数据,画出“散点图”;(2) 观察“散点图”,进行函数拟合,当散点图具有波浪形的特征时,便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决;(3)注意由第二步建立的数学模 型得到的解都是近似的,需要具体情况具体分析.探究点三 三角函数模型在物理学中的应用例2 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天6~14时的最大温差;解 由图可知:这段时间的最大温差是20℃;(2)写出这 段曲线的函数解析式.反思与感悟 ①本例中所给出的一段图象实际上只取6~14即可,这恰好是半个周期,注意抓关键.本例所求出的函数模型 只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被忽略掉.②如果实际问题中,某种变化着的现象具有 一定的周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,从而构建三角函数模型.跟踪训练2 下图表示电流I与时间t的函数关系式:I=Asin( ωt+φ) 在同一周期内的图象.(1)据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;?故最小正整数为ω=629 .例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:小时)而周期性变化,每天 各时刻t的浪高数据的平均值如下表:(1)试在图中描出所给点;解 描出所给点如图所示:(2)观察图,从y=at+b,y=Asin(ω t+φ)+b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;解 由(1)知选择y=Asin(ωt+φ )+b较合适.令A>0,ω>0,|φ|<π.故所求拟合模型的解析式为(3)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8米 时才进行训练,试安排恰当的训练时间.即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤1 9,或23≤t≤24.再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.反思与感悟 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图 ,求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A,ω,φ的具体含义,只有把握了这三个参数的含义,才可以实现符号语 言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:1.根据原始数据给出散点图.2. 通过考察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.3.根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4 .利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.跟踪训练3 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤2 4,单位:小时)的函数,下面是水深数据:据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数模型y=Asin ωt+B 的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y=Asin ωt+B的解析式;?(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米 是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最 多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)?∴t∈[1,5]或t∈[13,17],所以,该船在1∶00至5∶00或13∶00至17 ∶00能安全进港.若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.当堂测·查疑缺 12341.方程|x|=cos x在 (-∞,+∞)内( )A.没有根 B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根C12342.如图所示, 设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f( l)的图象大致是( )(1234答案 C123412344.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果 此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.1234(1)求此人相对 于地面的高度关于时间的关系式;1234(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.呈重点、现规律1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图,选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验. |
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