2020年安阳市九上数学五校联考期中试卷（二十中出卷）一．选择题（共10小题）1．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）A．1B．﹣1C
．1或﹣1D．3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）A．40°B．50°C．60°D．80
°4．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）A．有两个不
相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至
2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程
为（ ）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5
000（1+x）+5000（1+x）2＝75006．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数是（ ）A．
11.5°B．112.5°C．122.5°D．135°7．如图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转
角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝110°，则α＝（ ）A．20°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O的弦AB垂直平分
半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（ ）A．B．C．D．9．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于
点O，A1；将C2绕点A2；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若P（2013，m）在这条曲线上，则m的值为（ ）A．4B．3C
．﹣4D．﹣3二．填空题（共5小题）11．点A（﹣2，1）关于原点对称点为点B，则点B的坐标为 ．12．有一块长30m、宽20
m的矩形基地，准备修筑同样宽的三条直路．如图，把基地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植硫菜面积为基地面积的．设道路的宽度为xm
，所列方程为 ．13．把抛物线y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的顶点坐标是 ．14．
如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ cm．15．如
图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连
接AE，则AE长的最小值为 ．三．解答题（共8小题）16．解方程．（1）2x2﹣5x+1＝0（2）（x+1）2＝（2x﹣3）2
17．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1
2x22﹣10＝0，求m的值．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1
，4）．（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．19．
如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：A
P是⊙O的切线；（2）求PD的长．20．在2020年中国足球超级联赛前夕，大连赛区某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单
价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，销售单价每提高5元，销售量相应减少20套。（1）当销售单价为多少元时，才能
在一个月内获得6000元的利润？（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？21．一块三角形材料如图所
示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中D、E、F分别在BC、AB、AC上．（1）若设AE
＝x，则AF＝ ；（用含x的代数式表示）（2）要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？22．如图1，在Rt△ABC中
，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观
察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连
接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直
接写出△PMN周长的最小值．23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛
物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长
度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．（3）点E是直线AB上方抛物线
上的一动点，当△ABE的面积最大时，请直接写出点E的坐标和△ABE面积的最大值。2020年九上数学五校联考期中试卷（二十中出卷）答
案一．选择题（共10小题）1．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称
图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴
对称图形，但不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．若关于x的一元二
次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【分析】把x＝0代入方程（a+
1）x2+x+a2﹣1＝0得出a2﹣1＝0，求出a＝±1，再根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）
x2+x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，解得：a＝±1，∵方程为一元二次方程，∴a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a＝1，故选：A．【点评
】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程a2﹣1＝0和a+1≠0．3．如图，AB是⊙O的弦
，点C在圆上，已知∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】利用圆周角定理可知∠AOB＝
2∠ACB，可求得∠ACB＝50°．【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝100°
，∴∠ACB＝50°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．4．
定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的
实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．【解答】解：由题意可知：1☆
x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是
正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务
收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．5000
（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+50
00（1+x）2＝7500【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量
关系列出方程即可．【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500
，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平
均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．6．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数
是（ ）A．11.5°B．112.5°C．122.5°D．135°【分析】由条件可求得∠AOB＝135°，在优弧AB上任取点E，
则可求得∠AEB，再由圆内接四边形对角互补可求得∠ACB．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝
135°，在优弧AB上任取点E，连接AE、BE，则∠AEB＝∠AOB＝67.5°，又∵∠AEB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝1
12.5°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆心角和圆周角之间的关系是解题的关键．7．如图所示，
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝110°，则α＝（ ）A．20
°B．30°C．40°D．50°【分析】根据矩形的性质得∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，根据旋转的性质得∠D′＝∠D＝90°，∠4＝
α，利用对顶角相等得到∠1＝∠2＝110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3＝70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【
解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠
D′＝∠D＝90°，∠4＝α，∵∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，∴∠4＝90°﹣70°＝
20°，∴∠α＝20°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的
连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．8．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（ ）A．B
．C．D．【分析】连接OC，由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出AD的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB
的长度．【解答】解：连接OA，∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD＝，∴OC＝，∴OA＝，∵OC⊥AB，∴AD＝，∵AB＝2AD，
∴AB＝．故选：D．【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．9．一次
函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】先由二次函数y＝
ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，
b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，
由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0
，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B
．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0
≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C2绕点A2；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若P（2013，m）在这条曲线上
，则m的值为（ ）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（4
，0），再利用旋转的性质得到图象C2与x轴交点坐标为：（4，0），（8，0），则抛物线C2：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8）
，于是可推出抛物线C504：y＝（x﹣4×503）（x﹣4×504）（2012≤x≤2016），由于2013＝4×503+1，则可
判断P（2013，m）在抛物线y＝（x﹣4×503）（x﹣504）（2012≤x≤2016）上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征
计算m的值．【解答】解：∵一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），∵
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；，∴抛物线C2：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8），将C2绕点A2旋转180
°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，∴抛物线C504：y＝（x﹣4×503）（x﹣4×504）（2012≤x≤2016），∵
2013＝4×503+1，∴P（2013，m）在抛物线y＝（x﹣4×503）（x﹣504）（2012≤x≤2016）上，∴当x＝2
013时，m＝（2013﹣2012）（2013﹣2016）＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后
的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析
式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．填空题（共5小题）11．点A（﹣2，1）关于原点对称点为点B，则点B的坐标为
（2，﹣1） ．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形
记忆．【解答】解：∵点A（﹣2，1）关于原点对称点为点B，∴点B的坐标为（2，﹣1）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识
记的基本问题．12．有一块长30m、宽20m的矩形基地，准备修筑同样宽的三条直路．如图，把基地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种
植硫菜面积为基地面积的．设道路的宽度为xm，所列方程为 （30﹣2x）（20﹣x）＝30×20× ．【分析】设道路的宽度为xm，则
六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植硫菜面积为基地面积的，即可得出关于x的一元
二次方程，此题得解．【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据题意得：（
30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×．故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元
二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．把抛物线y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣2） ．【分析】先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移，纵坐标减解答即
可．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），∵向右平移2个单位，向下平移1个单位
，∴所得抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“
左加右减，上加下减”是解题的关键．14．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等
于10cm，则PA＝ 5 cm．【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长
，然后再进行求解．【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得
：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB
＝5cm，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．15
．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E
，连接AE，则AE长的最小值为 ．【分析】由旋转的性质可知BD＝DE，∠C＝90°，则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全
等，即过E点作EH⊥AD于点H，设CD＝x，则可用x表示AE的长，从而判断什么时候AE取得最小值．【解答】解：设CD＝x，则AD＝
5﹣x，过点E作EH⊥AD于点H，如图：由旋转的性质可知BD＝DE，∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠
ADE＝∠CBD，又∵∠EHD＝∠C，∴△BCD≌△DHE，∴EH＝CD＝x，DH＝BC＝3．∵AD＝5﹣x，∴AH＝AD﹣DH＝
5﹣x﹣3＝2﹣x，∵在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣x）2+x2＝2x2+4x+4＝2（x﹣1）2+2，所以当x
＝1时，AE2取得最小值2，即AE取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质和勾股定理等知识点，
能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．三．解答题（共8小题）17．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x
1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x12x22﹣10＝0，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判
别式的意义得到△＝32﹣4（m﹣1）≥0，然后解不等式即可得到m的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1?x
2＝m﹣1，则有2×（﹣3）+（m﹣1）2﹣10＝0，解得m1＝5，m2＝﹣3，然后根据（1）的范围确定m的值．【解答】解：（1）
根据题意得△＝32﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤，所以m的取值范围为m≤；（2）根据题意得x1+x2＝﹣3，x1?x2＝m﹣1，∵，
∴2×（﹣3）+（m﹣1）2﹣10＝0，解得m1＝5，m2＝﹣3，∵m≤，∴m＝﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+
c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．18．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在
第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．【分析】
（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点
A2、B2即可得到△A2B2C．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C为所作；【点评】本题考查了作
图﹣位似变换：利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系写出所求图形各顶点坐标，然后描点即可．也考查了旋转变换．19．如图，点A
、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的
切线；（2）求PD的长．【分析】（1）首先连接OA，由∠B＝60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA＝OC，即可求
得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP＝AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO＝
90°，则可证得AP是⊙O的切线；（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求
得PD的长．【解答】（1）证明：连接OA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30
°，∴∠AOP＝60°，∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连
接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC?tan30°＝3×＝，∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠PAD＝∠ADC
﹣∠P＝60°﹣30°＝30°，∴∠P＝∠PAD，∴PD＝AD＝．【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质
以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．21．一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，
∠C＝90°，AB＝12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中D、E、F分别在BC、AB、AC上．（1）若设AE＝x，则AF＝ x
；（用含x的代数式表示）（2）要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？【分析】（1）在直角三角形中，利用30度所对的直
角边等于斜边的一半表示出EF，再利用勾股定理表示出AF即可；（2）利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出BC，进而利用勾股定理
表示出AC，由AC﹣AF表示出CF，根据CF与EF乘积列出S与x的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时x的
值即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AE＝x，∴EF＝x，根据勾股定理得：AF＝x；故答案为：
x；（2）∵四边形CDEF是矩形，∴∠AFE＝90°，∵∠A＝30°，∴EF＝AE＝x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12
，∴BC＝AB＝6，根据勾股定理得：AC＝＝6，∴CF＝AC﹣AF＝6﹣x，∴S矩形CDEF＝CF?EF＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣6
）2+9，∴当x＝6时，矩形CDEF的面积最大，即当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大．【点评】此题考查了相似三角形的应用
，二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．22．如图1，在Rt△AB
C中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1
）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向
旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝
4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，
即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，
得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出M
N最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最
大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝
BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+
∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝
AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝B
D，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥
BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB
+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°
，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是
等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△AD
E中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△P
MN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面
积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝【点评】此题是几何变换综合
题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出BD最大时，△PMN的面积最大，是一道中考常考题．23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G的坐标为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． |
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