2020年中考二轮专题复习：一次函数综合题（与面积有关） 解析版

中考专题复习：一次函数综合题（与面积有关）1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，∠ABO＝30
°，OB＝3OC．（1）证明：AC⊥AB；（2）将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，求直线BD的函数解析式；（3）在（2）的条件
下，设直线BD交x轴于点E，嘉淇认为△ADE的面积与△AOB的面积相同，请判断嘉淇的观点是否正确．2．如图，直线l与x轴、y轴分别
交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系
中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．3．如
图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，
交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明
理由．4．一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心
M的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．5．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝2
x+6交x轴于点B，交y轴于点A，且AO＝BC．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设
点P的横坐标为t，△ABP的面积为S，求S与t之间的函数解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点
E，点L在BP的延长线上，连接CE、CL，若∠ABP＝2∠ACE，CL＝AC，求DL的长．6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐
标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．（1）如图2，求k的值；（2）如图3，点P是第一象限直
线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数
关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的
延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，连接MC，求四边形BOCM的面积．7．如图，直线y＝kx+b与x轴，
y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长
度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．8．如图：一次函数y＝﹣x+3的图象与坐标轴交于A、
B两点，点P是函数y＝﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面
积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．9．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与
x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB
的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折
到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演
算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．10．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA
、OC的长度满足方程|x﹣15|+＝0（OA＞OC），直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点
C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD＝（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的
速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．11．直线y＝x﹣6与x轴、y
轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作E
F∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点
E的运动时间为t秒．（1）画出当t＝2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；（2）在点E运动过程中，CD
交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF的面积为；（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函
数解析式，并求出S的最大值．12．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B．点C（0，t）是线段OB上一点，作直线AC．（
1）若BC＝2，求直线AC的函数解析式；（2）当1≤t≤4时，求△ABC面积的取值范围；（3）若AC平分∠OAB，记△ABC的周长
为m，△AOC的周长为n，求m﹣n的值．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OA在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点
重合，点C的坐标为（1，2），直线y＝﹣x+b过点C，与x轴交于点B，与y轴交于点D．（1）B点的坐标为　 　，D点的坐标为　 　
；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C的路线向点C运动，同时动点Q从点B出发，以相同速度沿BO的方向向点
O运动，过点Q作QH⊥x轴，交线段BC或线段CO于点H．当点P到达点C时，点P和点Q都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为
t秒：①设△CPH的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．14．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：定义直线y＝kx+b（kb≠0）与直线y＝bx+k（kb≠0）互为
“对称直线”．例如，直线y＝x+2与直线y＝2x+1互为“对称直线”；直线y＝kx+b中，k称为斜率，若A（x1，y1），B（x2
，y2）为直线y＝kx+b上任意两点（x1≠x2），则斜率k＝材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点（x1，y1），B（x2，y2
），定义一种新的运算：L（A，B）＝x1x2+y1y2，例如：A（﹣3，1）、B（2，4），（A，B）＝﹣3×2+1×4＝﹣2（1
）若点A（﹣3，1）、B（2，4）在直线y＝kx+b上，则k＝　 　；直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的
点，求点P的坐标．（2）对于直线y＝kx+b上的任意一点M（m，n），都有点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b的“对称直线”上：
横坐标互不相同的三个点C，D，E满足L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若
DF＝6，请求出直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积．15．问题探究（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请
你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；（2）如图②，点P为?ABCD外一点，AB＝6，BC＝
12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分?ABCD的面积，并求出?ABCD的面积；问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系
中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直
的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12
）、P（3，6）．你认为直线1是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中，直线l1
：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别
交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2
，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存
在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线
段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN
．设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点Q的坐标是　 　；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与
t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．18．如图，已知△ABC的顶点坐
标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度
的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过
程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右
侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．19．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求
k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S
，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（B
Q﹣OP），求此时直线PQ的解析式．20．如图，等腰梯形OBCD中，DC∥OB，OD＝CB，∠DOB＝∠CBO，BD⊥OD，在平面
直角坐标系中，等腰梯形OBCD的下底OB在x轴正半轴上，O为坐标原点，点B的坐标为（a，0），C、D两点落在第一象限，且BD＝2a
．点P以每秒1个单位长度的速度在对角线BD上由点B向点D运动（点P不与点B、点D重合），过点P作PE⊥BD，交下底OB于点E，交腰
BC（或上底CD）于点F．（1）线段BC的长是　 　（用含a的代数式表示）；（2）已知直线PE经过点C时，直线PE的解析式为y＝2
x﹣，求a的值，并直接写出点B、C、D的坐标；（3）在（2）的条件下，设动点P运动时间为t（秒），在点P运动过程中，请直接写出△B
EF为等腰三角形时t的值（或取值范围），并直接写出等腰△BEF面积的最大值．参考答案1．解：（1）证明：∵A（﹣，0），则OA＝，
∵∠ABO＝30°，∴OB＝＝3，∵OB＝3OC，∴OC＝1，∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，﹣1），∴tan∠ACB
＝＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB．（2）∵△ABD是由△ABC折叠得到的，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，如图1，过
点D作DF⊥BC于F，则BF＝2，DF＝2，∴点D的坐标为（﹣2，1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，D
的坐标代入得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝x+3．（3）如图2，∵点E是直线BD与x轴的交点，∴令y＝x+3＝0，解得x
＝﹣3，故OE＝3，而AO＝，∴AE＝EO﹣AO＝3﹣＝2，∴S△AED＝AE?yD＝×2×1＝，∵S△AOB＝AO?OB＝××3
＝，∴S△AED≠S△AOB，∴嘉淇的观点错误．2．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线
l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△A
BC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，PA，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴
S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△
BOP＝1，∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为
或﹣3．3．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC，
∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（
4，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2
），设直线OE解析式为y＝mx，把E点坐标代入可求得m＝，∴直线OE解析式为y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H点到y轴的距离为，
又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF＝，OD＝4，则有△MOF∽△FOD，∴＝
，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此时N点坐
标为（，﹣）；②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM
＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，则OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则＝0，
＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF＝
OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．解：（1）作M
N⊥BO，由垂径定理得：点N为OB的中点，∴MN＝OA，∵MN＝3，∴OA＝6，即A（﹣6，0），∵sin∠ABO＝，OA＝6，∴
OB＝，即B（0，），设y＝kx+b，将A、B代入得：，（2）NB＝OB＝，MN＝3，tan∠BMN＝＝，则∠BMN＝30°，∴∠
ABO＝60°，∴∠AMO＝120°∴阴影部分面积为．5．解：（1）由题可求A（0，6），B（﹣3，0），∴AO＝6，BO＝3，∵
AO＝BC，∴BC＝6，∴CO＝BC﹣BO＝3，∴C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点C与A代入，可得，∴，∴y＝
﹣2x+6；（2）过点P作PM⊥x轴交于点M，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣2t+6），∴PM＝﹣2t+6，∴S△PBC＝BC?
PM＝×6×（﹣2t+6）＝﹣6t+18，S△ABC＝BC?AO＝18，∴S＝S△ABC﹣S△PBC＝6t；（3）过点B作BF平分
∠ABD，且BF＝CE，连接AF∵∠ABD＝2∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE∵BO＝CO，AO⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABF≌△
ACE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵AE平分∠OAC，∴∠OAE＝∠CAE，∵∠BAO＝∠CAO，∴∠BAF＝∠
FAO，过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥BD于点H，∵AF平分∠BAD，∴FG＝FK，∵BF平分∠ABD，∴FG
＝FH，∴FH＝FK，∴DF平分∠ADB，∴∠BDF＝∠ADF，∵AF＝AE，∠FAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AED
（SAS），∴∠ADF＝∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝∠BDF＝60°，∴∠CDP＝∠CDO＝60°，过点C作CN⊥BP于点N，
∵CO⊥AO，∴CN＝CO＝3，∵CA＝CL，∴△AOC≌△LNC（HL），∴NL＝AO＝6，∵tan∠NDC＝，∴＝，∴DN＝，
∴DL＝6+．6．解：（1）把x＝0代入y＝kx+4，y＝4，∴OB＝4，∵△ABO的面积为8，∴＝8，∴AO＝4，∴A（﹣4，0
），把x＝﹣4，y＝0代入y＝kx+4，∴k＝1；（2）把x＝t代入y＝x+4，∴P（t，t+4），如图1，过点P作PD⊥x轴，垂
直为D过点C作CE⊥x轴，垂直为E；∴∠PDO＝∠CEO＝90°，∴∠POD＝∠OPD＝90°，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°至
线段OC，∴∠POC＝90°，OP＝OC，∴∠POD+∠EOC＝90°，∴∠OPD＝∠EOC，∴△OPD≌△OCE，∴OE＝PD，
m＝t+4；（3）如图2，过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，由（1）知，AO＝BO＝4，∴∠BOA＝
90°，∴△ABO为直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BOT＝90°﹣∠ABO＝45°＝∠ABO，∴BT＝TO，∵∠BT
O＝90°，∴∠TPO+∠TOP＝90°，∵OP⊥BM，∴∠BNO＝90°，∴∠BQT＝∠TPO，∴△QTB≌△PTO，∴QT＝T
P，PO＝BQ，∴∠PQT＝∠QPT，∵OP＝PK+KB，∴QB＝KP+KB，QK＝KP，∴∠KQP＝∠KPQ，∴∠PQT﹣∠KQ
P＝∠QPT﹣∠KPQ，∠TQB＝∠TPK，∴∠KPB＝∠BPN，设∠KPB＝x°，∴∠BPN＝x°，∵∠PMB＝2∠KPB，∴∠
PMB＝2x°，∠POM＝∠PAO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，∴∠PMO＝∠PMB+∠NM
O＝45°+x°＝∠POM，∴PO＝PM，过点P作PD⊥x轴，垂直为点D，∴OM＝2OD＝2t，∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝45
°﹣x°＝∠BMO，∴tan∠OPD＝tan∠BMO，∴，，∴t＝4或t＝﹣2（舍），∴OM＝8，由（2）知：m＝t+4＝8＝OM
，∴CM∥y轴，∵∠PNM＝∠POC＝90°，∴BM∥OC，∴四边形BOCM是平行四边形，∴四边形BOCM的面BO×OM＝4×8＝
32；7．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入
y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝
6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．8．解：（1）
令点P的坐标为P（x0，y0）∵PM⊥y轴∴S△OPM＝OM?PM＝将代入得S△OPM＝＝﹣（x﹣2）2+∴当x0＝2时，△OPM
的面积，有最大值Smax＝，即：PM＝2，∴PM∥OB，∴即∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，∴A（0，3），B（4，0），∴O
A＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴AP＝；（2）①在△BOP中，当BO＝BP时BP＝BO＝4，AP＝1∵PM∥OB，∴∴，将代入代入
中，得∴P（，）；②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，过点P作PN⊥OB于点N∵OP＝BP，∴ON＝将ON＝2代入中得，NP＝∴
点P的坐标为P（2，），即：点P的坐标为（，）或（2，）．9．解：（1）在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13
，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A
（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）由（1）知，E（﹣
5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD
＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，（3）由（2
）知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝＝32.5，∴S≠S△AOC，理由：由（1）知，直线
AB的解析式为y＝x+5，令y＝0，则0＝x+5，∴x＝﹣≠﹣13，∴点C不在直线AB上，即：点A，B，C不在同一条直线上，∴S△
AOC≠S．10．解：（1）∵|x﹣15|+＝0，∴x＝15，y＝13，∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝13，∴B（15，13）；
（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD＝BC＝15，∠BDN＝∠BCN＝90°，∵tan∠CBD
＝，∴＝，且BF2+DF2＝BD2＝152，解得BF＝12，DF＝9，∴CF＝OE＝15﹣12＝3，DE＝EF﹣DF＝13﹣9＝4
，∵∠CND+∠CBD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，且∠ONM+∠CND＝180°，∴∠ONM＝∠CBD，∴＝，∵DE∥O
N，∴＝＝，且OE＝3，∴＝，解得OM＝6，∴ON＝8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y＝kx+b可得，解得，∴直线BN的解析
式为y＝x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形
BNN′B′为平行四边形，且NN′＝t，∴S＝NN′?OA＝15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴
于点G，如图3，∵NN′＝t，∴可设直线B′N′解析式为y＝x+8﹣t，令y＝0，可得x＝3t﹣24，∴OG＝3t﹣24，∵ON＝
8，NN′＝t，∴ON′＝t﹣8，∴S＝S四边形BNN′B′﹣S△OGN′＝15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）＝﹣t2+39t﹣96
；综上可知S与t的函数关系式为S＝．11．解：（1）如图1：（2）如图2：，由折叠的性质，得∠C＝∠A＝∠COA＝45°，AF＝B
E＝CF＝t，S△CFG＝CF?FG＝t2＝，解得t＝，t＝﹣（不符合题意，舍）；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，如图2：
四边形DCFE落在第一象限内的图形是△DFG，∴S＝t2，∵S＝t2，在t＞0时，S随t增大而增大，∴t＝3时，S最大＝；②当3＜
t＜6时，如图3：，四边形DCFE落在第一象限内的图形是四边形CHOF，∴S四边形CHOF＝S△CGF﹣S△HGO，∴S＝t2﹣2
（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18＝﹣（t﹣4）2+6，∵a＝﹣＜0，∴S有最大值，∴当t＝4时，S最大＝6，综上所述，当t＝4
时，S最大值为6．12．解：（1）将A（6，0）代入y＝﹣x+b，得：0＝﹣×6+b，解得：b＝8，∴点B的坐标为（0，8）．∵B
C＝2，点C在线段OB上，∴点C的坐标为（0，6）．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），将点A（6，0），C（0，6）
代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+6；（2）∵点C的坐标为（0，t），∴OC＝t，BC＝OB﹣OC
＝8﹣t，∴S△ABC＝OA?BC＝×6×（8﹣t）＝﹣3t+24．∵1≤t≤4，∴12≤﹣3t+24≤21，∴△ABC面积的取值
范围是12≤S△ABC≤21；（3）在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝10．过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．∵A
C平分∠OAB，∴CD＝CO＝t．∵∠CBD＝∠ABO，∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BCD～△BAO，∴＝，即＝，解得：t＝3
，∴BC＝5，∴m＝AB+BC+AC＝15+AC，n＝AC+OC+OA＝AC+9，∴m﹣n＝（15+AC）﹣（AC+9）＝6．13
．解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）∴﹣1+b＝2∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x
＝0时，y＝3∴B（3，0），D（0，3）故答案为：（3，0）；（0，3）．（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2
）∴A（0，2），OA＝2，AC＝1∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°∴0≤t＜3，且t≠
2i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1∴OP＝BQ＝t∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣
t∵HQ⊥x轴于点Q∴∠BQH＝90°∴△BQH是等腰直角三角形∴HQ＝BQ＝t∴HQ∥OP且HQ＝OP∴四边形OPHQ是平行四边
形∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t∴S＝S△CPH＝PH?AP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3ii）当2＜t＜3时，点P在线段
AC上，点H在线段OC上，如图2∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，xH＝OQ＝3﹣t∵直线OC解析式为：y＝2x∴QH＝yH＝2（3
﹣t）＝6﹣2t∴点H到CP的距离h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4∴S＝S△CPH＝CP?h＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣
6综上所述，S关于t的函数关系式为S＝②存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．i）当0≤t＜2时，如图3∵S△CPH＝S△
QPH，两三角形有公共底边为PH∴点C和点Q到PH距离相等，即AP＝OP∴t＝2﹣t∴t＝1ii）当2＜t≤2.5时，如图4，延长
QH交AC于点E∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t∴S△QPH
＝QH?PE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15∵S△CPH＝S△QPH∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15解得：
t1＝3（舍去），t2＝iii）当2.5＜t＜3时，如图5，延长QH交AC于点E∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣
5∴S△QPH＝QH?PE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15解得：t1＝
t2＝3（舍去）综上所述，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．14．解：（1）把A（﹣3，1）、B（2，4）分别
代入y＝kx+b，得．解得．∵直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，∴点P（x，y）是直线y＝2x+3与
直线y＝3x+2的交点．∴．解得．∴P（1，5）故答案是：；（2）∵点M（m，n）是直线y＝kx+b上的任意一点，∴km+b＝n①
，∵点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b的“对称直线”上，即N（2m，6n﹣34）在直线y＝bx+k上∴2bm+k＝6n﹣34②
，将①代入②得，2bm+k＝6km+6b﹣34，整理得：（2b﹣6k）m＝6b﹣k﹣34，∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，∴
，解得，∴y＝2x+6．∴B（﹣3，0）．设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵L（C，D）＝L（
D，E），且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1＝2x2+2y2，即x1+y1＝x2+y2，由材料一可知：直线CE的斜率为kC
E＝﹣1，故设直线CE的解析式为：y＝﹣x+d（c≠0）∵DF＝6，DF∥y轴，∴F（2，﹣4）．∴﹣2+d＝﹣4．则d＝﹣2．故
直线CE的解析式是：y＝﹣x﹣2．易得A（﹣2，0）．由得到：，即G（﹣，）．∴S△ABG＝AB?|yG|＝×1×＝；同理，当直线
C′E′的解析式为：y＝﹣x+10时，B′（12，0），G′（，），此时S△AB′F＝AB′?|yG|＝×13×＝；综上所述，直线
CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积是或．15．解：（1）如图1，点D为BC的中点，作直线AD，直线AD则平分△ABC的
面积；（2）如图2，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，直线OP即为所求；如图3
，过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝＝＝3，∵BC＝12，∴?ABCD的面积＝BC?A
E＝12×3＝36；（3）∵A（8，8），∴直线OA的解析式为：y＝x，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，
6），∵B（6，12），点P（3，6），∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P是平
行四边形OEBC的对称中心，∴过点P的直线平分平行四边形OEBC．∴过点P的直线PF只要平分△BEA的面积即可．设直线PF的表达式
为y＝kx+b，且过点P（3，6），∴3k+b＝6，即b＝6﹣3k，∴y＝kx+6﹣3k．设直线AB的表达式为y＝mx+n，且过点
B（6，12），A（8，8），则，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+24．∴，解得：x＝，∴F的横坐标为，把x＝6代入y
＝kx+6﹣3k得y＝3k+6，∴G（6，3k+6）同理得直线AP的解析式为y＝x+，当x＝6时，y＝，∴＜3k+6＜12，解得＜
k＜2，∵S△BFG＝BG?（Fx﹣6）＝（12﹣3k﹣6）（﹣6）＝（8﹣6）（12﹣6），解得k＝或k＝4（舍去），∴直线l的
表达式为y＝x+4．16．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把
A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴
于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥
AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝
k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF
（xC﹣xD）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是
以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△Q
NC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即
﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同
理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣
ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过
C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1
，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图
5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6
）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存
在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．17．解：（1）令y
＝0，∴﹣x+4＝0，∴x＝6，∴A（6，0），当t＝秒时，AP＝3×＝1，∴OP＝OA﹣AP＝5，∴P（5，0），由对称性得，Q
（4，0）；故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OA＝6，∴AP＝OA＝3，∴t＝3÷3＝1，①当0＜t≤1时，如图1，令
x＝0，∴y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，由运动知，AP＝3
t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ＝AP＝3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，在R
t△APD中，tan∠OAB＝＝＝，∴PD＝2t，∴DN＝t，∵MN∥OA∴∠DCN＝∠OAB，∴tan∠DCN＝＝＝，∴CN＝t
，∴S＝S正方形PQMN﹣S△CDN＝（3t）2﹣t×t＝t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN＝t，CN＝t，∴S＝S
矩形OENP﹣S△CDN＝3t×（6﹣3t）﹣t×t＝﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝（2t+4）（6
﹣3t）＝﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQ
MN的对角线交点，∴T（6﹣t，t），∴点T是直线y＝﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），∵A（6，0）∴点N是直线AG：y＝
﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG＝6，∵A（6，0），∴AG＝6，在Rt△AOG中，OA＝6＝OG，∴
∠OAG＝45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN＝90°，∴∠ANP＝45°，∴∠TNA＝90°，即：TN⊥AG，∵T正方形PQMN的对
角线的交点，∴TN＝TP，∴OT+TP＝OT+TN，∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最
小，即：OT+TN最小，∵S△OAG＝OA×OG＝AG×ON，∴ON＝＝3．即：OT+PT的最小值为3．18．解：（1）设直线BC
的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图，连接AD交MN于点O′．由题意：四边形AMDN是菱形
，M（3﹣t，0），N（3﹣t，t），∴O′（3﹣t，t），D（3﹣t，t），∵点D在BC上，∴t＝×（3﹣t）+4，解得t＝．∴t＝s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣，）．（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S＝?t?t＝t2．如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．S＝×6×4﹣×（6﹣t）?[4﹣（t﹣5）]＝﹣t2+t﹣12．19．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝?OQ?Py＝（1﹣2t）?t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ?Py＝（2t﹣1）?t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝?，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．20．解：（1）如图1中，∵BD⊥OD，∴∠BDO＝90°，∵BD＝2a，AB＝a，∴OD＝＝a，∵四边形ODCB是等腰梯形，∴BD＝OD＝a．故答案为a．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，CN⊥OB于N．∵∠DOB＝∠CBO，BC＝a，∴sin∠CBO＝sin∠DOB＝＝a＝，∴CN＝a，BN＝＝a，∴ON＝OB﹣BN＝a，∴C（a，a），∵直线y＝2x﹣经过点C，∴a＝a﹣，∴a＝1．∴B（，0），C（，），D（，）．（3）如图3﹣1中，当点F在线段BC上时，∵EF⊥BD，OD⊥BD，∴EF∥OD，∴∠FEB＝∠DOB，∵∠DOB＝∠CBO，∴FEB＝∠FBE，∴FE＝FB，∴△FEB是等腰三角形，如图2中，当直线EF经过点C时，E（，0），此时EB＝，∴PB＝EB?cos∠EBP＝?＝，共线图形可知当0＜t≤时，△BFE是等腰三角形．如图3﹣2中，当点F在线段CD上，EF＝BE时，1＝t，∴t＝．如图3﹣3中，当点F在线段CD上，BF＝BE时，易证：PE＝PF，∴t＝，∴t＝1，综上所述，t的值为0＜t≤或或1时，△BEF是等腰三角形．当t＝1时，△BEF的面积最大，最大值＝××＝．