中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．已知：如图，?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边
形AECF是平行四边形．2．已知，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）如图1，求证：四边形D
EBF是平行四边形；（2）如图2，AE＝EF＝FC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积与四边形DEBF面积相等的
三角形．3．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE∥BC，且AEBC，连结DE．（1）求证：四边形ABDE是
平行四边形；（2）作FG⊥AB于点G，AG＝4，cos∠GAF，求FG和FD的长．4．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠A
BC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2
）当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD、CE．（1）求
证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DA＝DB＝4，cosA，求点B到点E的距离．6．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，
H分别是AB，AC，CD，BD的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，CD＝
2，AD＝6，求四边形EFGH的周长．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF＝BE．（1）求证：四
边形AEFD是平行四边形；（2）若∠A＝60°，AD＝2，AB＝4，求BD的长．8．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝
90°，AD＝BC，点E在BC延长线上，AE与CD交于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAD，AB
＝13，cosB，求AD和CF的长．9．在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点
，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 ．1
0．在?ABCD中，E，F分别为对角线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，且AE∥CF．（1）如图1，求证：四边形AECF是平
行四边形；（2）如图2，若2BE＝3EF，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是△ABD面积的的四个三角形．11
．如图，已知等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，联结CF、EF．（1）求证
：四边形CDEF是平行四边形；（2）当∠DEF＝45°时，求的值．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，点E、F
在对角线AC上，且AE＝CF．（1）如图1，求证：DF∥BE；（2）如图2，延长DF、BE分别交BC、AD于点P、N，连接BF并延
长交CD于点M，连接DE并延长交AB于Q，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．13．在△ABC中，D是BC边上的
一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠
FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．14．已知点E、F分别是?ABCD的边BC、AD的中点．（1）
求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求?AECF的周长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．（1）证明：四边形DECF是平行
四边形；（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．16．已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段
BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．（1）求证：CF＝AE．（2）若AF＝CF＝4，
∠AFD＝30°，则四边形AECF的面积是 ．17．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N．
点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．（2）求t
an∠DBC的值．18．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接
BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC，求DF的长．19．如图，在△
ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）连接BE，若BE
平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC
的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．21．如图
，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，AE交BC于点E，CF交AD于点F．（1）如图1，求证：BE＝DF
；（2）如图2，连接BD分别交AE、CF于点G、H，连接AH，CG，CF，EH，AH与GF交于点M，EH与GC交于点N，请直接写出
图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD除外）．22．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得
四边形AECF为平行四边形．（1）现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：
.（填一个序号即可）（2）在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形．23．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在
的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC
．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数
量关系，不需要证明．（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ ．24．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O
A＝OC，OB＝OD，过O点的线段EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）如果∠EBD＝∠CBD，
请判断并证明四边形BEDF的形状．25．如图，E，F是?ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四
边形；（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D
，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若∠A
BC＝30°，AC的长是5cm，求四边形CDEF的周长．27．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠B＝60
°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形
；（2）当AE＝8cm时，四边形CEDF是什么样的特殊平行四边形？请写出你的理由．28．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°
，对角线AC，BD相交于点N，点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形A
MCD是平行四边形．（2）若DN，则BC＝ ，tan∠DBC＝ ．29．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．（1）
求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．30．如图，在△ABC中，∠
ABC＝90°，DF垂直平分AB，交AC于点E，连接BE、CD，且ED＝2FE．（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；（
2）如图2，点G是BC的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积是△BEG的面积的2倍的三角形和四边形．参考答案
与试题解析1．已知：如图，?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四
边形．【分析】根据平行四边形的性质可得到两边及夹角对应相等，根据SAS判定△AFD≌△CEB；根据有一对边平行且相等的四边形是平行
四边形可判定四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：（1）在?ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B，∵E、F分别是AB
、CD的中点，∴DFCD，BEAB．∴DF＝BE．∴△AFD≌△CEB．（2）在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．由（1），得
BE＝DF．∴AE＝CF．∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的判定等知识点的综合运
用能力．2．已知，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）如图1，求证：四边形DEBF是平行四边
形；（2）如图2，AE＝EF＝FC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积与四边形DEBF面积相等的三角形．【分析】
（1）证△ADE≌△CBF（SAS），得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，再证DE∥BF，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得S
△DEF＝S△BEF，再由三角形面积关系得S△ADE＝S△DEF＝S△DCF，S△CBF＝S△BEF＝S△ABE，则S△ADF＝S
△CDE＝S△ABF＝S△BCF＝S平行四边形DEBF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝C
B，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，∴S△DEF＝S△BEF
，∵AE＝EF＝FC，∴S△ADE＝S△DEF＝S△DCF，S△CBF＝S△BEF＝S△ABE，∴S△ADF＝S△CDE＝S△AB
F＝S△BCF＝S平行四边形DEBF，∴图2中所有面积与四边形DEBF面积相等的三角形为△ADF、△CDE、△ABF、△BCF．【
点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．3
．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE∥BC，且AEBC，连结DE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形
；（2）作FG⊥AB于点G，AG＝4，cos∠GAF，求FG和FD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得BD＝CDBC，再证AE
＝BD，然后由AE∥BC，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义求出AF＝5，再由勾股定理得FG＝3，连接CE，然后证明四边形AD
CE是矩形，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CDBC，∵AEBC，∴AE＝BD，又∵AE∥BC
，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∵AG＝4，cos∠GAF，∴AF＝5，∴FG3，如图
，连接CE，由（1）可知，AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形
ADCE是矩形，∴CF＝AF＝5，FD＝FE，AC＝DE，∴FD＝AF＝5．【点评】本题考查了平行四边形的频道与性质、等腰三角形的
性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．4．如图，在△ABC中，A
B＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．（1）求证：四边形DE
FB是平行四边形；（2）当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理
得到DE∥BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，根据勾股定理得到AB＝BC5，根据
三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝DC，∵
点E为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE∥BF，∵BD∥EF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：∵A
B＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵AD＝4，BD＝3，∴AB＝BC5，∵DE是△ABC的
中位线，∴DEBC，∵四边形DEFB是平行四边形，∴BF＝DE，∴CF＝BC+BF．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角
形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点
E，使DE＝AD，连接BD、CE．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DA＝DB＝4，cosA，求点B到点E的距离．【
分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到DE＝BC，DE∥BC，于是得到四边形BCED是平行四边形
；（2）连接BE，根据已知条件得到AD＝BD＝DE＝4，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE＝90°，AE＝8，解直角三角形即可得
到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，DE∥BC，∴四边
形BCED是平行四边形；（2）解：连接BE，∵DA＝DB＝4，DE＝AD，∴AD＝BD＝DE＝4，∴∠ABE＝90°，AE＝8，∵
cosA，∴AB＝2，∴BE．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得∠ABE＝90
°是解题的关键．6．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行
四边形；（2）如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，CD＝2，AD＝6，求四边形EFGH的周长．【分析】（1）利用三角形的中位线
定理得出EH＝FGAD，EF＝GHBC，即可得出结论；（2）由（1）得出四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
即可得出结果．【解答】（1）证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．∴EH＝FGAD，EF＝HGBC，∴四边形
EFGH是平行四边形；（2）解：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，∴BC＝2CD＝4．由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+
GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+4＝10．【点评】本题考查了平行四边形的判定与
性质，三角形的中位线定理．熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E，
F分别是AB，CD上的点，CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若∠A＝60°，AD＝2，AB＝4，求BD的长
．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证DF＝AE，即可得出结论；（2）过B作BG⊥AD于G，由含30°角
的直角三角形的性质得AGAB＝2，则AG＝AD，得G与D重合，BD⊥AD，然后由勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形AB
CD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF＝BE，∴CD﹣CF＝AB﹣BE，即DF＝AE，又∵DF∥AE，∴四边形AEFD
是平行四边形；（2）解：如图，过B作BG⊥AD于G，∵∠A＝60°，∴∠ABG＝90°﹣60°＝30°，∴AGAB＝2，∵AD＝2
，∴AG＝AD，∴G与D重合，∴BD⊥AD，∴BD2．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾
股定理得知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝BC，点
E在BC延长线上，AE与CD交于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAD，AB＝13，cosB，求A
D和CF的长．【分析】（1）先证AD∥BC，再由AD＝BC，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得BC＝5，再由平行四边形的性质
得AD＝BC＝5，然后证BE＝AB＝13，则CE＝BE﹣BC＝8，进而证∠CFE＝∠BEA，得CF＝CE＝8．【解答】（1）证明：
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，
∴cosB，∴BC＝5，由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝13，∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8，∵AB∥CD
，∴∠CFE＝∠BAE，∴∠CFE＝∠BEA，∴CF＝CE＝8．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三
角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．9．在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点
，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝
EN＝5，则四边形ABCD的面积为 96 ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC，AB∥DC．根据线段中点的定义得到
BEAB，DFDC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）连接EF，根据平行四边形的性质得到DE＝BF，根据线段中点的定义得
到EN＝DN＝BM＝FMBF，求得EMBF，根据勾股定理得到EF8，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BEAB，DFDC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四边形BFDE是平行
四边形；（2）解：连接EF，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，∵M，N分别是BF，DE的中点，∴EN＝DN＝BM＝FMB
F，∵EM＝EN＝5，∴EMBF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF8，∴四边形ABCD的面
积为AB?EF＝12×8＝96，故答案为：96．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质
定理是解题的关键．10．在?ABCD中，E，F分别为对角线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，且AE∥CF．（1）如图1，求证
：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，若2BE＝3EF，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是△ABD面积
的的四个三角形．【分析】（1）先证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，则BE＝DF，再由2BE＝3EF，得BE：BD＝3：8，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEB＝∠CF
D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解
：△ABE、△CDF、△BCE、△ADF，理由如下：由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵2BE＝3EF，∴BE：BD＝
3：8，∴△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝△ABD面积的．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质
、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．11．如图，已知等边△A
BC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，联结CF、EF．（1）求证：四边形CDEF是平
行四边形；（2）当∠DEF＝45°时，求的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝CB，∠ACD＝∠B，根据全等三角形的性
质得到∠DAC＝∠FCB，求得∠BAD＝∠ACF，根据平行线的判定定理得到CF∥DE，由平行四边形的判定定理即可得到四边形CDEF
是平行四边形；（2）过F作FG⊥BC于G，根据平行四边形的性质得到∠FCB＝∠DEF＝45°，求得FG＝CG，设BG＝x，根据三角
函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠B，又CD＝BF，∴△ACD≌△CB
F（SAS），∴∠DAC＝∠FCB，∴∠BAD＝∠ACF，∵∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝120°﹣∠ADC，∠FCB＝
180°﹣∠B﹣∠CFB＝120°﹣∠CFB，∴∠EDB＝∠FCB，∴CF∥DE，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：过F作F
G⊥BC于G，∵四边形CDEF是平行四边形，∠DEF＝45°，∴∠FCB＝∠DEF＝45°，∴FG＝CG，设BG＝x，则CG＝FG
＝BG?tan60°x，CD＝BF ＝2x，∴BC＝BG+CG＝（ 1）x，∴BD＝BC﹣CD＝（ 1）x﹣2x＝（1 ）x，∴．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大．12．如图，在四边形ABC
D中，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）如图1，求证：DF∥BE；（2）如图2，延长DF、BE分
别交BC、AD于点P、N，连接BF并延长交CD于点M，连接DE并延长交AB于Q，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边
形．【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC＝∠DCA．证出AF＝CE．由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）根据平行四边形的
判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF
＝∠BCE．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE．在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠D
FA＝∠BEC，∴DF∥BE；（2）解：图中所有的平行四边形有：?ABCD，?NBPD，?QBMD，?BEDF，理由如下：∵AB∥
CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；由（1）知：△ADF≌△CBE，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行
四边形；∴DQ∥BM．∵AB∥CD，∴四边形QBMD是平行四边形；∵BN∥DQ．∵AD∥BC，∴四边形NBPD是平行四边形．∴图中
所有的平行四边形有：?ABCD，?NBPD，?QBMD，?BEDF．【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与
性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．13．在△ABC中，D是BC边上的一点，E
是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠FEA＝
2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．【分析】（1）证△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再由AE＝C
E，即可得出四边形ADCF是平行四边形；（2）先证AE＝DE，再证平行四边形ADCF是矩形，得∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，然
后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC边的中点，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CDE，在△
AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴FE＝DE，又∵AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：∵∠F
EA＝∠ADE+∠DAE，∠FEA＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，AE＝
CE，FE＝DE，∴AC＝DF，∴平行四边形ADCF是矩形，∴∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，∴AC3，∴AEAC，故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行
四边形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．14．已知点E、F分别是?ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AEC
F是平行四边形；（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求?AECF的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝B
C，再证AF＝CE，即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到AE＝CEBC＝6，再证平行四边形AECF是菱形，于是得
到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是?ABCD的边BC、AD的中点
，∴AFAD，CEBC，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵BC＝12，∠BAC＝90°，E是
BC的中点．∴AE＝CEBC＝CE＝6，∴平行四边形AECF是菱形，∴?AECF的周长＝4×6＝24．【点评】此题主要考查了平行四
边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．15．如图，在R
t△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．（1）证明
：四边形DECF是平行四边形；（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．【分析】（1）证DE是△ABC的中位线
，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论；（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DEBC＝6，然后由平行四边
形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，∴D
E是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE∥CF，∵DF∥CE，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定
理得：BC12，∵DE是△ABC的中位线，∴DEBC12＝6，∵四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF＝6，DF＝CE，∵D是边
AC的中点，∴CDAC5，∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，∴∠DCF＝90°，在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF，∴四边
形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6）＝25．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；
熟练掌握平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理是解题的关键．16．已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的
延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．（1）求证：CF＝AE．（2）若AF＝CF＝4，∠AF
D＝30°，则四边形AECF的面积是 8 ．【分析】（1）证△ADF≌△CDE（AAS），得AF＝CE，再由AF∥CE，则四边形
AECF是平行四边形，即可得出结论；（2）证四边形AECF为菱形，得AD⊥EF，EF＝2FD，再由含30°角的直角三角形的性质得A
DAF＝2，然后由勾股定理得FD＝2，则EF＝2FD＝4，即可求解．【解答】（1）证明：∵D点为AC的中点，∴AD＝CD，∵AF∥
BE，∴∠FAD＝∠ECD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF
是平行四边形，∴CF＝AE；（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，AF＝CF＝4，∴四边形AECF为菱形，∴AD⊥EF，EF＝2
FD，∵∠AFD＝30°，∴ADAF＝2，∴AC＝2AD＝4，FD2，∴EF＝2FD＝4，∴四边形AECF的面积AC?EF4×48
，故答案为：8．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟
练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADF≌△CDE是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，B
D相交于点N．点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形AMCD是平行四边
形．（2）求tan∠DBC的值．【分析】（1）要证明四边形AMCD是平行四边形，已知AM＝DC，只需要证明AM∥DC即可；由条件可
知△AMB≌△AMC（SSS），推理可得∠DCA＝∠MAC＝45°，由内错角相等两直线平行可知AM∥CD，可得结论；（2）延长AM
交BC于点E，由等腰三角形三线合一可得点E是BC的中点，ME是△BCD的中位线，则MECD，进而MEAE，设AB＝a，分别表达BC
，AE及BE，在Rt△ABE中，表达tan∠DBC的值．【解答】解：（1）证明：如图，∵点M是BD的中点，∠BCD＝90°，∴CM
是Rt△BCD斜边BD的中线，∴CM＝BM＝MD，又AB＝AC，AM＝AM，∴△AMB≌△AMC（SSS），∴∠BAM＝∠CAM，
∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAM＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB
＝45°，∴∠DCA＝∠MAC，∴AM∥CD，又∵AM＝DC，∴四边形AMCD为平行四边形．（2）如图，延长AM交BC于点E，∵A
B＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAM，∴AE⊥BC，且点E为BC的中点，∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，∴ME是△
BCD的中位线，∴CD＝2ME，又AM＝CD，∴AM＝2ME，∴MEAE，设AB＝a，则BCa，AEBCa，∴MEAEa，又BE＝
AEa，∴tan∠DBC．【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数值等内容．18．如图，在△AB
C中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF
是平行四边形；（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC，求DF的长．【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明
CF∥DB，CF＝DB即可；（2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EB
D．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED．∴CF＝BD．∴四边形CDBF是平行四边形．（2）解
：如图，作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，BC，∴，DF＝2DE．在Rt△EMB中，EM＝BE?sin∠ABC＝2
，在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DE＝2EM＝4，∴DF＝2DE＝8．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定
和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．如
图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）连接BE
，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．【分析】（1）先证四边形BDEF是平行四边形，得EF＝BD，再证出＝BD＝
CD，即可得到结论；（2）先由平行四边形的性质得BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，再证∠FBE＝∠BEF，得BF＝EF，则BD＝
EF＝BF＝ED，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是
BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴B
D＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝C
D＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的
判定，平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的判定是解题的关键．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠
BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证
：四边形ACED是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB
，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等
三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝
CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；（2）∵B
E＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知
识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21．如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，AE交BC于
点E，CF交AD于点F．（1）如图1，求证：BE＝DF；（2）如图2，连接BD分别交AE、CF于点G、H，连接AH，CG，CF，E
H，AH与GF交于点M，EH与GC交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD除外）．【分析】（1）证△ABE≌△
CDF（ASA），即可得出结论；（2）先证四边形AECF是平行四边形，得AE∥CF，AE＝CF，再证△DAG≌△BCH（ASA），
得AG＝CH，又∵AG∥CH，则四边形AGCH是平行四边形，然后证四边形EGFH是平行四边形，最后得四边形MGNH是平行四边形即可
．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠
BCD，∴∠BAE∠BAD，∠DCF∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴B
E＝DF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，由（1）得：∠DAE＝∠BCF，BE＝DF，∴CE＝A
F，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF，AE＝CF，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CBH，在△DAG和△BCH中，，∴△DA
G≌△BCH（ASA），∴AG＝CH，又∵AG∥CH，∴四边形AGCH是平行四边形，∴AH∥CG，∵AE＝CF，∴AE﹣AG＝CF
﹣CH，即EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EH∥GF，又∵AH∥CG，∴四边形MGNH是平行四边形，∴图中所有的平行四
边形（平行四边形ABCD除外）为平行四边形AECF、平行四边形AGCH、平行四边形EGFH、平行四边形MGNH．【点评】本题考查了
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题
的关键．22．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形．（1）现有四
个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是： ①BE＝DF，②AF∥CE，④∠BAE＝
∠DCF .（填一个序号即可）（2）在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可
；（2）根据平行四边形的判定解答即可．【解答】解：（1）填①②④的任意一个都正确；故答案为：①BE＝DF，②AF∥CE，④∠BAE
＝∠DCF；（2）以①BE＝DF为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，
在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴
四边形AECF是平行四边形．以②AF∥CE为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四
边形；以④∠BAE＝∠DCF为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DC
F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF
，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．23．在
△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边
BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别
写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ 2或10 ．【分析】（1）证明四
边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；（2）与（1）的证明方法相同；（3）根据（1）（2）中的结论直
接求解．【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠
C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B∴DF＝BF∴DE+DF＝AB＝AC；（2）图②中：AC+DE＝DF．图③中：AC
+DF＝DE．（3）当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；当如图②的情况，DF＝AC+DE＝6+4＝10．故答案是：2或1
0．【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．24．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点的线段EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）如果∠EB
D＝∠CBD，请判断并证明四边形BEDF的形状．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△CO
F；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴A
D∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：四边形BEDF是菱形，证明：∵
△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵∠EBD＝∠
DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝ED，∴平行四边形BFDE是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和
性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，E，F是?ABCD对角线BD上两点，且
BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．【分
析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝OF，则即可得出结论；（2）由勾股定理求
出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝
2.4，得AC＝2OA＝4.8．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，
OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵∠BAF
＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF5，∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，解得：OF＝1.8，∴OA2.4，∴
AC＝2OA＝4.8．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是
解题的关键．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长
线于点F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝30°，AC的长是5cm，求四边形CDEF的周长．【分析】（1
）证DE是Rt△ABC的中位线，得DE∥FC，进而得出结论；（2）由平行四边形的性质得CD＝EF，DE＝CF，证出AB＝2CD，B
C＝2DE，由直角三角形的性质和勾股定理求出AB和BC，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是
Rt△ABC的中位线，∴DE∥FC，又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴CD＝
EF，DE＝CF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD，由（1）知，DE是Rt△ABC的中位线，∴BC＝2DE在R
t△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝10（cm），∴BC5（cm），∴四边形DCFE的周长＝2CD+
2DE＝AB+BC＝（10+5）cm．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股
定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．27．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠B＝60
°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形
；（2）当AE＝8cm时，四边形CEDF是什么样的特殊平行四边形？请写出你的理由．【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝E
G，根据平行四边形的判定推出即可；（2）证明△ABP≌△CDE（SAS），推出∠CED＝∠APB＝90°，即可得出结论．【解答】（
1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，∠CDE＝∠DCF，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，∴
△EDG≌△FCG（AAS），∴ED＝FC．∵ED∥CF，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：当AE的值为8cm时，四边形CE
DF是矩形．理由如下：∵BC＝AD＝12cm，AE＝8cm，∴ED＝4cm，过C作CH⊥AD交AD于H，∵∠B＝∠ADC＝60°，
CD＝AB＝8cm，∴HDCD＝4cm，∵ED＝HD，∴E与H重合，∴∠CED＝90°，∴平行四边形CEDF为矩形．【点评】本题考
查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明△G
ED≌△GFC是解题的关键，属于中考常考题型．28．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N，点M是
对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．（2）若DN，则
BC＝ 12 ，tan∠DBC＝ ．【分析】（1）要证明四边形AMCD是平行四边形，已知AM＝DC，只需要证明AM∥DC即可；由
条件可知△AMB≌△AMC（SSS），推理可得∠DCA＝∠MAC＝45°，由内错角相等两直线平行可知AM∥CD，可得结论；（2）如
图，延长AM交BC于点E，根据等腰直角三角形的选择得到AE⊥BC，且点E为BC的中点，根据三角形中位线的性质定理得到CD＝2ME，
设AB＝a，则BCa，求得AEBCa，根据平行四边形的性质得到MN＝DN，设DC＝x，BC＝3x，根据勾股定理即可得到结论．【解答
】（1）证明：如图，∵点M是BD的中点，∠BCD＝90°，∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，∴CM＝BM＝MD，又AB＝AC，A
M＝AM，∴△AMB≌△AMC（SSS），∴∠BAM＝∠CAM，∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAM＝45°，又∵AB＝A
C，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝45°，∴∠DCA＝∠MAC，∴AM∥CD，又∵AM＝DC，∴四
边形AMCD为平行四边形；（2）解：如图，延长AM交BC于点E，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAM，∴AE⊥BC，
且点E为BC的中点，∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，∴ME是△BCD的中位线，∴CD＝2ME，又AM＝CD，∴AM＝2ME，
∴MEAE，设AB＝a，则BCa，AEBCa，∴MEAEa，又BE＝AEa，∴tan∠DBC，∵四边形AMCD为平行四边形，DN，
∴MN＝DN，∴BD＝4，在Rt△BCD中，∵tan∠DBC，∴设DC＝x，BC＝3x，∴BDx，∴x＝4，∴x＝4，∴DC＝4，∴BC12，故答案为12，．【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数值等内容．29．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．【分析】（1）由全等三角形的性质得BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，再由等腰三角形的性质得∠B＝∠AEB，则∠EAD＝∠AEB，得BC∥AD，即可得出结论；（2）设∠B＝3x，则∠CAD＝2x，由平行四边形的性质得∠ADC＝∠B＝3x，∠ACB＝∠CAD＝2x，再由全等三角形的性质得∠ADE＝∠ACB＝2x，然后由∠ADC﹣∠ADE＝∠EDC得3x﹣2x＝25°，解得x＝25°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAD＝∠AEB，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：设∠B＝3x，则∠CAD＝2x，由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝3x，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD＝2x，∵△ABC≌△EAD，∴∠ADE＝∠ACB＝2x，∵∠ADC﹣∠ADE＝∠EDC，∴3x﹣2x＝25°，解得：x＝25°，∴∠ADE＝2x＝50°，∠EAD＝∠B＝3x＝75°，∴∠AED＝180°﹣50°﹣75°＝55°．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，DF垂直平分AB，交AC于点E，连接BE、CD，且ED＝2FE．（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）如图2，点G是BC的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积是△BEG的面积的2倍的三角形和四边形．【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，可得BC＝2EF，由ED＝2EF，可得ED＝BC，进而可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证；（2）根据点G是BC的中点，可得△BEC，△ECD，△AEB的面积相等，都等于△BEG的面积的2倍，四边形BGEF等于△BEG的面积的2倍．【解答】（1）证明：∵DF垂直平分AB，交AC于点E，∴∠AFE＝90°，EA＝EB，AF＝FB，∴∠A＝∠ABE，∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝∠ABC，∴FD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠A+∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC，∴EA＝EB＝EC，∴EF是△ABC的中位线，∴EFBC，∴BC＝2EF，∵ED＝2EF，∴ED＝BC，∵ED∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）∵点G是BC的中点，∴△BEC，△ECD，△AEB的面积相等，都等于△BEG的面积的2倍，四边形BGEF等于△BEG的面积的2倍．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． |
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