2021年山东省潍坊市诸城市中考数学一模试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）1．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）A．aB．
bC．|c|D．﹣b2．下列计算正确的是（ ）A．a3?a4＝a12B．（a2）3＝a6C．（2a）2＝2a2D．2a4÷a4＝
a43．下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）A．B．C．D．4．21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍，取
得了举世瞩目的成就，2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元，达到1016000亿元．数据1016000用科学记数法表
示为（ ）A．1.016×106B．1.016×105C．10.16×105D．1016×1035．如图，是小明绘制的他在一周内
每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）A．众数是10B．中位数是9C．平均数是9D．方差是86．已知关于x的分式方程
+2＝的解为正数，则正整数m的取值可能是（ ）A．6B．5C．4D．37．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，
再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ）A．B．C．D．8．如图，半圆O的直径A
B＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4π+8B．4π﹣8C．8π
D．8π+8二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得
0分，部分选对的得2分）9．若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为 .（多选）A．2B．﹣
2C．4D．﹣410．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确是 .（多选）A．
S△ABC：S△A′B′C′＝1：2B．AB：A′B′＝1：2C．点A，O，A′三点在同一条直线上D．BC∥B′C′11．已知抛物
线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如右表，则下列结论正确的是 .（多选）x…﹣4﹣3﹣2﹣1…y…﹣
3010…A．对称轴为直线x＝﹣2B．abc＞0C．a+b+c＜0D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个不相等的实
数解12．如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，
分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 .
（多选）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则OM＝MND．MN∥CD三、填空题（本大题共
6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）13．因式分解：a3b3+2a2b2+ab＝ ．14．使有意义的x的取
值范围是 ．15．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆
，则tan∠BAC的值为 ．16．对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5
]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是 ．17．如图，在矩形ABCD中，将△DEC沿DE折叠得到△DEC''，点C''恰好为对角线
AC的中点，则的值等于 ．18．如图，正方形ABCD边长为2，点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上的一个动点
，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为 ．四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）19．国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略．为了引导学生积极参与体育运动，增强身体素质，某校举办了一分钟跳绳比赛，
随机抽取了m名学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合
格；140≤x＜160，良好；160≤x＜180，优秀．并根据统计结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：请结合上述信息完成下列问题
：（1）m＝ ，a＝ ；（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；（3）若该校有1200名学生，根据
抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．20．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C
两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB
＝，求E点的坐标；（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 ．21．如图所示，某建筑物楼顶有信号设备EF，小明同学为了测量信号设
备EF的高度，沿直线AD出发，在A点时观测到设备最低点F的仰角∠A＝30°；向前走8米到达B点时，测得最高点E的仰角∠EBC＝60
°，若设备EF＝4米，求信号设备EF的最高点的离地高度（结果保留根号）．22．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于
点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点C．（1）求证：AB＝AC；（2）若PC＝2，OA＝5，求线段PB的长
．23．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第x天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为y1元
，y1是关于x的一次函数，其中部分对应数据如下表；第x天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为y2元，y2与x满足关系y2＝（x﹣25）
2+2．x123…y15.044.984.92…（1）求市场售价y1与上市时间x的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）若市场售价
减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？24．如图1，已知∠MBN＝90
°，四根长度相等的木棒AB，BC，CD，DA首尾相接组成四边形ABCD，点F是AB的中点，连接BD，CF交于点E，BE的垂直平分线
GH交AB于点G，交BD于点H，连接GE．（1）如图1，若BC，BA分别在BM，BN上，求证：GE⊥AB；（2）如图2，将木棒BA
固定在射线BN上，当木棒BC绕着点B由BM开始顺时针旋转时，求证：AD＝3GE；（3）在（2）的旋转过程中，设∠MBC＝α，且α满
足0°＜α＜90°．若△GEF是直角三角形，请直接写出α的值．25．如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0
）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上
的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角
三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每个
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各
点位置，下列数值最大的是（ ）A．aB．bC．|c|D．﹣b【分析】在数轴上分别找到|c|和﹣b，利用数轴比较大小，数轴上的数越
往右右越大，越往左越小．解：由数轴可知，|c|＝﹣c，在数轴上分别表示|c|和﹣b，∴b＜c＜a＜|c|＜﹣b，故最大数值是﹣b．
故选：D．2．下列计算正确的是（ ）A．a3?a4＝a12B．（a2）3＝a6C．（2a）2＝2a2D．2a4÷a4＝a4【分析
】A．利用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加可得；B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可得结果；C．根据积的乘方等于乘方的积，
可计算结果；D．根据单项式除单项式的运算法则进行计算即可．解：A．a3?a4＝a7≠a12，计算结果错误，不符合题意；B．（a2）
3＝a6，计算结果正确，符合题意；C．（2a）2＝4a2，计算结果错误，不符合题意；D.2a4÷a4＝2，计算结果错误，不符合题意
；故选：B．3．下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注
意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看，是一行3个小正方形，故选：B．4．21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍，取得
了举世瞩目的成就，2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元，达到1016000亿元．数据1016000用科学记数法表示
为（ ）A．1.016×106B．1.016×105C．10.16×105D．1016×103【分析】科学记数法的表示形式为a×
10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将1016000用科学记数法表示为：1.016×106．故
选：A．5．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）A．众数是10B．中位数是9C．平均数
是9D．方差是8【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．解：A．数
据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项正确，不符合题意；B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项正确，符
合题意；C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确，不符合题意；D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+
（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项不正确，符合题意；故选：D．6．已知关于x
的分式方程+2＝的解为正数，则正整数m的取值可能是（ ）A．6B．5C．4D．3【分析】解分式方程+2＝，得．因为分式方程的解是
正数，所以且，进而推断出m＜5且m≠3．那么，C符合题意．解：+2＝．方程两边同乘（x﹣1），得m+2（x﹣1）＝3．解得：．∵关
于x的分式方程+2＝的解为正数，∴且．∴m＜5且m≠3．故选：C．7．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图
中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】分别将7个空白处涂黑，
判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．解：如图①②③④⑤任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，∵共有7个空白处，将
①②③④⑤处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共5处，∴构成轴对称图形的概率是，故选：D．8．如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕
点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4π+8B．4π﹣8C．8πD．8π+8【分析
】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝
45°，弓形PB的面积是：﹣＝4π﹣8，阴影部分的面积是：﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8，故选：A．二、选择题（本题共4
小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．若直
线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为 BC .（多选）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】根据上
加下减的原则可知，将直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到直线y＝kx﹣b±3，即直线y＝kx﹣1，那么﹣b±3＝﹣1，即可求出b
的值．解：根据上加下减的原则可得：﹣b±3＝﹣1，解得b＝﹣2或4．故答案是：BC．10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为
原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确是 BCD .（多选）A．S△ABC：S△A′B′C′＝1：2B．AB：A′B′＝1
：2C．点A，O，A′三点在同一条直线上D．BC∥B′C′【分析】根据位似图形的概念相似三角形的性质判断即可．解：以点O为位似中心
，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′＝1
：4，故A选项说法错误；∴AB：A′B′＝1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，B、C、D说法正确；故答案为：
BCD．11．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如右表，则下列结论正确的是 AC .（多选）x…
﹣4﹣3﹣2﹣1…y…﹣3010…A．对称轴为直线x＝﹣2B．abc＞0C．a+b+c＜0D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c
﹣1＝0有两个不相等的实数解【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．解：A．由表
格可知，抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，故A正确；B．抛物线的顶点坐标（﹣2，1），有最大值，故抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴
x＝﹣2，∴b＜0，当x＝﹣4和x＝2时，函数值相等，故c＝﹣3＜0，∴abc＜0，故B错误；C．当x＝1时，y＝a+b+c，∵开
口向下，∴当x＝1时，y＜0，故C正确；D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，即ax2+bx+c＝1，当x＝﹣2时，等
号成立，但只有1个实数根，故D错误．故答案为：AC．12．如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心
，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作
图过程及所作图形，下列结论中正确的是 ABD .（多选）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20
°，则OM＝MND．MN∥CD【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断A；根据平行线的判定可以判断D；根据CM＝CD，OM＝OD，可
得OA垂直平分MD，可以判断B；根据∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，得∠MON＝60°，由OM＝ON，可得△OMN为等边三角
形，进而可以判断C．解：由作法得CM＝CD，∴＝，∴∠COM＝∠COD，所以A选项的结论正确；连接MD，∵＝，∴∠DMN＝∠MDC
，∴CD∥MN，所以D选项的结论正确；∵CM＝CD，OM＝OD，∴OA垂直平分MD，∴点M与点D关于OA对称，所以B选项的结论正确
；∵∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，∴∠MON＝60°，∵OM＝ON，∴△OMN为等边三角形，∴OM＝MN，所以C选项的结论
错误．∴正确的是ABD．故答案为：ABD．三、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）13．因式分
解：a3b3+2a2b2+ab＝ ab（ab+1）2 ．【分析】直接提取公因式ab，再利用公式法分解因式得出答案．解：a3b3+2
a2b2+ab＝ab（a2b2+2ab+1）＝ab（ab+1）2．故答案为：ab（ab+1）2．14．使有意义的x的取值范围是
x＞2020，且x≠2021 ．【分析】根据零指数幂的底数不等于0，二次根式的被开方数非负，分母不等于0即可得出答案．解：根据题意
得：x﹣2021≠0，x﹣2020≥0，x﹣2020≠0，∴x＞2020，且x≠2021，故答案为：x＞2020，且x≠2021．
15．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则tan∠BAC
的值为 ．【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，根据正切的定义求出tanD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．解：延长
CO交⊙O于点D，连接BD，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，∴tan∠BAC＝，故答案
为：．16．对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取
值范围是 46≤x＜56 ．【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．解：根据题意得：5
≤＜5+1，解得：46≤x＜56，故答案为46≤x＜56．17．如图，在矩形ABCD中，将△DEC沿DE折叠得到△DEC''，点C''
恰好为对角线AC的中点，则的值等于 ．【分析】根据折叠的性质可得DC＝DC′，C′E＝CE，，根据矩形性质及直角三角形中线性质
可得△C′DC是等边三角形，然后根据三角形函数关系可得答案．解：∵将△DEC沿DE折叠得到△DEC''，∴△DCE≌△DC′E，∴D
C＝DC′，C′E＝CE，∵C''为对角线AC的中点，∴在矩形ABCD中，CC′＝DC′，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝DC′＝C
C′，∴△C′DC是等边三角形，∴C′DC＝60°，∴∠EDC＝×60°＝30°，∵tan∠DCE＝＝，∴＝，∵C′E＝CE，∴，
∴＝．故答案为：．18．如图，正方形ABCD边长为2，点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上的一个动点，点E是AD的
中点，则EF+FG的最小值为 ．【分析】作E点关于CD的对称点E''，连接E''O，交CD于F，交半圆O于G，此时EF+FG的值最
小，在Rt△AE''O中，E''O＝，即可求EF+FG的最小值为﹣1．解：作E点关于CD的对称点E''，连接E''O，交CD于F，交半圆O
于G，此时EF+FG的值最小，∵EF＝E''F，∴EF+FG＝E''F+FG，∴EF+FG的最小值为E''O﹣GO，∵正方形边长为2，∴
AO＝GO＝1，∵E是AD的中点，∴DE＝DE''＝1，∴EE''＝2，在Rt△AE''O中，E''O＝＝＝，∴E''O﹣GO＝﹣1，∴EF
+FG的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．国
家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略．为了引导学生积极参与体育运动，增强身体素质，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名
学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合格；140≤x
＜160，良好；160≤x＜180，优秀．并根据统计结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：请结合上述信息完成下列问题：（1）m＝
40 ，a＝ 14 ；（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 108° ；（3）若该校有1200名学生，根据抽样
调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比，求出抽取的总人数，再用总人
数减去其他人数求出a即可；（2）用360°乘以“良好”等级所占的百分比即可；（3）用该校的总人数乘以一分钟跳绳次数达到合格及以上的
人数所占的百分比即可．解：（1）m＝10÷25%＝40，a＝40﹣4﹣12﹣10＝14；故答案为：40，14；（2）在扇形统计图中
，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；故答案为：108°；（3）估计该校一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为12
00×＝1080（人）．20．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，
6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；（3）当y1＞y2时，
x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜3 ．【分析】（1）先把A点坐标分别代入y1＝﹣2x+b和y2＝中利用待定系数法即可求得k、b
；（2）设E（a，0），先求得B（3，﹣2），然后根据三角形面积公式得到）＝2CE＝2（4﹣a）＝，解方程求得a；（3）观察图象求
得即可．解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．（2）设E（a，0），将
B（m，﹣2）代入，得m＝3，∴B（3，﹣2）∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，∴E（0，）；（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值
范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．21．如图所示，某建筑物楼顶有信号设备EF，小明同学为了测量信号设备E
F的高度，沿直线AD出发，在A点时观测到设备最低点F的仰角∠A＝30°；向前走8米到达B点时，测得最高点E的仰角∠EBC＝60°，
若设备EF＝4米，求信号设备EF的最高点的离地高度（结果保留根号）．【分析】设FD的长为x，在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得
到AD＝，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到BD＝，于是得到﹣＝8，解方程求得FD，进而即可求得ED．解：设FD的长为x，依
据题意得在Rt△ADF中，∠A＝30°，∴AD＝，在Rt△EDB中，∠EBD＝60°，EF＝4，∴BD＝，∵AB＝8，∴AD﹣BD
＝8，即﹣＝8，解得x＝，∴ED＝＝+6．22．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B
，连接BP并延长，交直线l于点C．（1）求证：AB＝AC；（2）若PC＝2，OA＝5，求线段PB的长．【分析】（1）根据切线的性质
得到∠ABO＝90°，然后证明∠ABC＝∠ACB，从而得到AB＝AC；（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OP＝r，PA＝5﹣r，利用
勾股定理得到52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，解得r＝3，所以OP＝3，PA＝2，过O点作OH⊥PB，如图，根据垂径定理得到PH
＝BH，再证明△OPH∽△CPA，利用相似比求出PH，从而得到BP的长．【解答】（1）证明：∵直线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥A
B，∴∠ABO＝90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠OBC+∠ABC＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，而∠APC＝∠
OPB＝∠OBP，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OP＝r，PA＝5﹣r，在Rt△OAB中
，AB2＝52﹣r2，在Rt△PAC中，AC2＝（2）2﹣（5﹣r）2，∵AB＝AC，∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，解得r
＝3，∴OP＝3，PA＝2，过O点作OH⊥PB，如图，则PH＝BH，∵∠OPH＝∠APC，∠OHP＝∠CAP，∴△OPH∽△CPA
，∴＝，即＝，解得PH＝，∴PB＝2PH＝．23．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第
x天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为y1元，y1是关于x的一次函数，其中部分对应数据如下表；第x天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为
y2元，y2与x满足关系y2＝（x﹣25）2+2．x123…y15.044.984.92…（1）求市场售价y1与上市时间x的函数表
达式，并写出x的取值范围；（2）若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利
润是多少？【分析】（1）y1函数是分段函数，写出各定义域的解析式，y2是二次函数，（2）由市场售价减去种植成本为纯利润列出函数关系
式，求出最大值．解：（1）设y1＝kx+b，∵函数图象过点（1，5.04），（2，4.98），∴，解得：，∴y1＝﹣x+5.1（0
＜x≤50，x取正整数）；（2）设纯利润为w，由题意得：w＝y1﹣y2＝＝，∵a＝＜0，且0≤x≤50，∴x＝22时（符合题意），
每千克利润最大，最大值为1.69元；∴第22天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是1.69元．24．如图1，已知∠MBN＝9
0°，四根长度相等的木棒AB，BC，CD，DA首尾相接组成四边形ABCD，点F是AB的中点，连接BD，CF交于点E，BE的垂直平分
线GH交AB于点G，交BD于点H，连接GE．（1）如图1，若BC，BA分别在BM，BN上，求证：GE⊥AB；（2）如图2，将木棒B
A固定在射线BN上，当木棒BC绕着点B由BM开始顺时针旋转时，求证：AD＝3GE；（3）在（2）的旋转过程中，设∠MBC＝α，且α
满足0°＜α＜90°．若△GEF是直角三角形，请直接写出α的值．【分析】（1）先证明四边形ABCD是正方形，推得∠ABD＝∠ADB
＝45°，再由HG垂直平分BE，得∠GEB＝∠GBE＝45°，则∠BGE＝90°，推导出GE⊥AB；（2）由菱形对边平行的性质证明
△BFE∽△DCE，由F是AB的中点，可得到＝，再证明△GEB∽△ADB，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接AC，在0°＜
α＜90°的范围内，△GEF是直角三角形只存在∠EFG＝90°一种情况，根据线段垂直平分线的性质证明△ABC是等边三角形，即可求出
α的值．【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∵∠MBN＝90°，BC，BA分别在BM，B
N上，∴∠CBA＝90°，四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵HG垂直平分BE，∴GE＝G
B，∴∠GEB＝∠GBE＝45°，∴∠BGE＝90°，∴GE⊥AB．（2）证明：如图2，由（1）得，四边形ABCD是菱形，∴AB∥
CD，∴FB∥CD，∴△BFE∽△DCE，∴，∵点F是AB的中点，∴FB＝AB＝CD，∴＝，∴＝；∵HG垂直平分BE，∴GE＝GB
，∴∠GEB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠GEB＝∠ADB，∴GE∥AD，∴△GEB∽△ADB，∴＝，∴AD＝3GE．（3
）如图3，连接AC，∵∠MBC＝α，且0°＜α＜90°，△GEF是直角三角形，∴∠EFG＝90°，∵AF＝BF，CF⊥AB，∴AC
＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠MBC＝90°﹣∠ABC＝30°，∴α＝30°．25．
如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．（1）求抛物
线的解析式及点D的坐标；（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点D的坐标；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点N坐标为N（x，x+2），设M坐标为M（x，x2﹣x+2），可求出△MAD的面积，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种情况：①当点P为直角顶点时，②当点A为直角顶点时，③当点D为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式，∵当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴m＝2，即直线解析式为：，∴抛物线与直线交于A、D两点，∴，解得，，∴D（12，10）；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点M的坐标为，则点N的坐标为（x，），∴＝﹣，∴S＝，∵a＝﹣1＜0，∴S有最大值，∵当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；（3）①当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则△PDH∽△APO，∴，∴，∴x2﹣12x+20＝0，∴x1＝2，x2＝10，∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．②当点A为直角顶点时，如图，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），则△OPA∽△AOG．∴，∴，∴x＝，∴点P的坐标为（，0）；③当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，则△PDH∽△DGH，∴，∴＝，∴x＝∴点P的坐标为（，0），∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）． |
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