2021-2022学年上海市数学三模试卷（含答案）
（时间120分钟，满分150分）
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
在期末复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论：小明同学写了以下5个： ①任何无理数都是无限不循环小数； ②有理数与数轴上的点一一对应； ③在1和3之间的无理数有且只有这4个； ④是分数，它是有理数； ⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于7.295，而小于7.305的数． 其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
对于的理解错误的是（ ）
A. 是实数 B. 是最简二次根式 C. D. 能与进行合并
下列抛物线向右平移2个单位后，得到抛物线y=x2的是（ ）
A. y=（x+2）2 B. y=x2+2 C. y=（x-2）2 D. y=x2-2
下列图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，若以C为圆心，5cm为半径作圆，则斜边AB与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB=AD，CB=CD C. AB=CD，AC=BD D. ∠A=∠B，∠C=∠D
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
有理数–3的绝对值是????????? ?。
计算： （1）（1+）（1-）=______． （2）（+）2=______．
已知函数f（x）=，则f（）=______．
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠BFE的度数为______．
有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α．若AO=85cm，BO=DO=65cm．问：当α=74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为??????????cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．） ??
一组数据1，2，5，6，3，6，则这组数据的中位数是______ .
如图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，蚂蚁留在黑色瓷砖上的概率是???????????．
点P是抛物线y=-+2x上的一个动点，则点P到直线y=x+3的最短距离为______．
用换元法解方程，设y=，那么原方程可以化为关于y的一元二次方程为______
如果-2=3，那么用，表示为= ______ .
如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则θ= ______ .
我们将顶角为A，腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形[1，60°]”，那么“等腰三角形[1，90°]”的周长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
先化简，再求值：（+1）÷，其中m=-5．
（1）解方程：+1=． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7，AB的长是多少？ ???????
图中，点A，B，C，P，Q，R显示了6名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h）． （1）用有序数对表示图中点A，B，C，P，Q，R． （2）图中方格纸的对角线的左上方的点有什么共同的特点？它右下方的点呢？ （3）三角形ABC的图形经过怎样的变换后得到三角形PQR的图形？其中点A对应点P，点B对应点Q，点C对应点R． ?
如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠C=90°，直线l过C点． （1）如图1，过A点、B点作直线l的垂线段AD、BE，垂足为D、E，请你探究AD、BE、DE满足的数量关系，并进行证明； （2）当直线l绕点C旋转到如图2所示的位置时，请直接写出AD、BE和DE的数量关系（不用证明）
已知抛物线y=x2-（5+a）x+5a与x轴交于定点A和另一点C， （1）求定点A的坐标； （2）点B（1，2）是抛物线y=x2-（5+a）x+5a与以坐标原点为圆心的圆的一个交点，试判断直线AB与圆位置关系； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P（P在点A的右上方），使△PAC、△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点． （1）求证：△PQS是等边三角形； （2）若AB=8，CD=6，求△PQS的面积； （3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD：AB的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】①任何无理数都是无限不循环小数，故①正确； ②实数与数轴上的点一一对应，故②错误； ③在1和3之间的无理数有无数个，故③错误； ④是无理数，故④错误； ⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于7.295，而小于7.305的数，故⑤正确； 故选：B． 根据无理数是无限不循环小数，实数与数轴的关系，可得答案． 本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，实数与数轴的关系，注意近似数要四舍五入．
2.【答案】D
【解析】解：=3，而3与不是同类二次根式， 故不能合并， 故选：D． 根据实数的定义，最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求出答案． 本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=x2的向左平移2个单位后得到抛物线解析式为：y=（x+2）2． ∴y=（x+2）2即为所求的函数解析式． 故选：A． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 此题考查了二次函数图象与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形一定是轴对称图形，直角三角形不一定是轴对称图形． 故选D． 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5.【答案】C
【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12； 由勾股定理，得：AB2=52+122=169， ∴AB=13； ∴C到斜边AB的距离是＜5， ∴斜边AB与⊙O的位置关系是相交． 故选：C． 由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出结果． 本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，
6.【答案】A
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确； B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； 故选：A． 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得答案． 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
7.【答案】3
【解析】试题分析：本题考查绝对值的概念。数轴上一个数所对应的点与原点（点零处）的距离叫做该数绝对值。 -3到原点的距离为3，故有理数–3的绝对值是3。 考点：正数与负数
8.【答案】-2? 8+2
【解析】解：（1） = =1-3 =-2， 故答案为：-2； （2） = = =， 故答案为：8+2． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式展开，再计算乘方和乘法，最后计算加法即可． 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
9.【答案】2+
【解析】解：∵f（x）=， ∴f（）===2+， 故答案为：2+． 将x=代入f（x）=即可得． 本题主要考查求函数值，将未知数的值代入函数解析式，根据解析式中的运算顺序计算即可得．
10.【答案】72°
【解析】解：如图，连接OE、OB， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BOE=×2=144°， ∴∠BFE=∠BOE=72°， 故答案为：72°． 连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可． 考查了正多边形和圆、圆的有关性质及定义等知识，解题的关键是构造圆心角，难度不大．
11.【答案】120
【解析】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF， ∵BO=DO， ∴OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠BOD=×74°=37°， ∴∠FAB=∠BOE=37°， 在Rt△ABF中，AB=85+65=150cm， ∴h=AF=AB?cos∠FAB=150×0.8=120cm， 故答案为：120 过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可． 此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：将这组数据从小到大排列为1，2，3，5，6，6， 最中间的两个数是3，5， 则这组数据的中位数是（3+5）÷2=4． 故答案为：4． 根据中位数的定义求解即可． 此题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】
【解析】先由图得：黑色瓷砖与白色瓷砖的面积相等，停在黑色和白色瓷砖上的概率是相同的，由此可知停在黑瓷砖上的概率为．
14.【答案】
【解析】解：设过点P平行直线y=x+3的解析式为y=x+b， 当直线y=x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y=x+3的距离最小， 由，消去y得到：x2-2x+2b=0， 当△=0时，4-8b=0， ∴b=， ∴过P点的直线的解析式为y=x+， 如图设直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（-3，0），B（0，3），C（-，0） ∴OA=OB=3，OC=，AC=， ∴∠DAC=45°， ∴=， ∴CD=， ∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB， ∴PE=CD=， 故答案为． 设过点P平行直线y=x+3的解析式为y=x+b，当直线y=x+3与抛物线只有一个交点时，点P到直线y=x+3的距离最小，如图设直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，想办法求出CD的长即可解决问题； 本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】2y2+y-6=0
【解析】解：把代入方程得：， 方程两边同乘-2y，整理得2y2+y-6=0． 故答案为2y2+y-6=0 换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，换元后整理即可求得． 本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
16.【答案】-
【解析】解：由-2=3，得2=-3，所以=-． 故答案是：-． 通过移项、化系数为1解答． 考查了平面向量，实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．
17.【答案】45°
【解析】解：设大正方形的边长为a， 则直角三角形的长直角边为asinθ，短直角边为acosθ， ∴小正方形的边长为asinθ-acosθ， ∵图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半， ∴=， 解得θ=45°， 故答案为：45°． 根据题意和图形，可以用锐角三角函数表示出小正方形的边长，再根据小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，即可求得θ的值． 本题考查正方形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数，解答本题的关键是表示出大小正方形的边长，求出θ的值．
18.【答案】2+
【解析】解：∵等腰三角形[1，90°]， ∴腰长为1，顶角为90°， 由勾股定理得：底边（斜边）长为=， 即三角形的周长为1+1+=2+， 故答案为：2+． 先读懂题目，再根据勾股定理求出等腰三角形的底边长，即可求出答案． 本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，能根据题意得出腰长为1和顶角为90°是解此题的关键．
19.【答案】解：原式=÷ =， 将m=-5代入， ∴原式==-1．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：（1）去分母得：2x-4+x-1=-2， 解得：x=1， 经检验x=1是增根，分式方程无解； （2）， 由①得：x≥-1， 由②得：x＜4， ∴不等式组的解集为-1≤x＜4，
【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
21.【答案】解：在Rt△AOB中，AB===2.5．
【解析】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理列式计算，得到答案．
22.【答案】解：（1）由题意A（2，4），B（1，8），C（5，8），P（7，1），Q（6，5），R（10，5）； （2）图中方格纸的对角线的左上方的点表示阅读课外书的时间大于看电视的时间，右下方的点表示阅读课外书的时间小于看电视的时间； （3）三角形ABC的图形向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形PQR的图形．
【解析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）图中方格纸的对角线的左上方的点表示阅读课外书的时间大于看电视的时间，右下方的点表示阅读课外书的时间小于看电视的时间； （3）根据平移规律解决问题即可．
23.【答案】解：（1）DE=AD+BE． 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， ∴AC=BC． ∵AD⊥直线l，∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°， ∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE． 在△ACD和△CBE中，， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴DC=EB，AD=CE， ∴DE=DC+CE=AD+BE． （2）DE=BE-AD． 证明：同（1）可证出△ACD≌△CBE（AAS）， ∴DC=EB，AD=CE， ∴DE=DC-CE=BE-AD．
【解析】（1）由△ABC是等腰直角三角形可得出AC=BC，由同角的余角相等可得出∠CAD=∠BCE，结合∠ADC=∠CEB=90°即可证出△ACD≌△CBE（AAS），由全等三角形的性质可得出DC=EB、AD=CE，再结合DE=DC+CE即可得出DE=AD+BE； （2）同理可得出△ACD≌△CBE（AAS），由全等三角形的性质可得出DC=EB、AD=CE，再结合DE=DC-CE即可得出DE=BE-AD． 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理AAS证出△ACD≌△CBE；（2）同（1）证出△ACD≌△CBE．
24.【答案】解：（1）y=0，则（x-5）（x-a）=0， 解得x1=5，x2=a， ∴定点A的坐标为（5，0）； （2）如图， 连接OB，由（1）A（5，0）， ∴OA=5， ∵B（1，2）， ∴直线AB解析式为y=-x+， ∴D（0，）， ∴OD=， 在Rt△AOD中，AD==， ∴sin∠OAD==， 方法一，（判断∠ABO） ∵B（1，2）， ∴OB=， ∴=， ∴ ∵∠OAD=∠BAO， ∴△AOD∽△ABO， ∴∠ABO=∠AOD=90°， 方法二，（判断∠ABO） ∵B（1，2）， ∴OB=， ∵A（5，0）， ∴AB=2，OA=5， ∵AB2+OB2=25=AB2， ∴△ABO为直角三角形， ∴∠ABO=90°， ∵点B在⊙O上， ∴直线AB是⊙O的切线； （3）存在点P（，）． 理由：∵抛物线y=（x-5）（x-a）过点B， ∴（1-5）（1-a）=2， ∴a=， ∴y=（x-5）（x-a）=（x-5）（x-）； ∴C（，0） 如图， ， ∵△PAC、△PBC的面积相等， ∴S△PEB+S△BEC=S△PAE+S△AEC， ∴BE=AE， ∵B（1，2），A（5，0）， ∴E（3，1）， ∵C（，0）， ∴直线CE的解析式为y=x-1， 联立抛物线解析式y=（x-5）（x-）和直线CE的解析式y=x-1， 可得，或， ∵P在点A的右上方， ∴P（，）．
【解析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到顶点A的坐标； （2）连接OB，确定出直线AB解析式，求出与y轴的交点D，进而求出=，再求出=，即，得出△AOD∽△ABO，即∠ABO=∠AOD=90°，即可； （3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据同底等高的三角形的面积相等，确定出线段AB的中点E和点C的直线解析式，与抛物线的交点即为所求的点P，然后联立抛物线与直线的解析式求解即可． 本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与x轴的交点问题，勾股定理的应用，直线与圆相切，相似三角形的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，（3）是本题的难点，考虑到点E是线段AB的中点求解是解题的关键．
25.【答案】（1）证明：连接CS． ∵ABCD是等腰梯形，且AC与BDBD相交于O， ∴AO=BO，CO=BO， ∵∠ACD=60°， ∴△OCD与△OAB均为等边三角形． ∵S是OD的中点， ∴CS⊥DO． 又∵SP是△OAD的中位线， ∴SP=AD=BC， ∴SP=PQ=SQ， 故△SPQ为等边三角形． （2）解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，则四边形CFED是矩形， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴CB=DA，∠CBF=∠DAE， ∵∠CFB=∠DEA=90°， ∴△CFB≌△DEA（AAS）， ∴BF=AE， ∵四边形CFED是矩形， ∴CD=EF=6， ∵AB=8， ∴AE=BF=1，BE=8-1=7， ∴DE=BE?tan60°=7， 在Rt△ADE中，AD===2， ∴PS=PQ=SQ=， ∴S△PQS=． （3）解：设CD=a，AB=b（a＜b）， BC2=SC2+BS2=a2+b2+ab， ∴S△SPQ=（a2+ab+b2）， 又△PQS与△AOD的面积比为4：5，S△AOD=S△BOC=ab， ∴5×（a2+ab+b2）=4×ab， 即5a2-11ab+5b2=0， 故a=b或a=b（舍弃）， ∴=．
【解析】（1）由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CS，BP根据等边三角形的性质可知△BCS与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP=BC，由中位线定理可知，QS=QP=PS=BC，故△PQS是等边三角形． （2）根据等腰梯形的性质及∠AOD=120°可求出等边三角形的边长，从而可得出答案． （3）设CD= a，AB= b（a＜b），根据题意表示出两面积的比，从而可得出答案． 本题属于四边形综合题，考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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