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函数与导数综合
【 2020 年】
1.（ 2020·新课标 Ⅰ） 已知函数 2( ) e xf x ax x?? ?.
（ 1）当 a=1 时，讨论 f（ x）的单调性；
（ 2）当 x≥0时， f（ x） ≥12 x3+1，求 a 的取值范围 .
2.（ 2020·新课标 Ⅱ） 已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（ 1）讨论 f(x)在区间 (0， π)的单调性；
（ 2）证明： 33()
8fx?
；
（ 3）设 n∈ N，证明： sin2xsin22xsin24x…sin 22nx≤3
4nn
.
3.（ 2020·新课标 Ⅲ） 设函数 3()f x x bx c? ? ?，曲线 ()y f x? 在点 (12 ， f(12 ))处的切线与 y 轴垂直．
（ 1）求 b．
（ 2）若 ()fx 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： ()fx 所有零点的绝对值都不大于 1．
4.（ 2020·北京卷） 已知函数 2( ) 12f x x??．
（ Ⅰ）求曲线 ()y f x? 的斜率等于 2? 的切线方程；
（ Ⅱ）设曲线 ()y f x? 在点 (, ())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ()St ，求 ()St 的最小值．
5.（ 2020·江苏 卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN
上、桥 AB 与 MN 平行， OO? 为铅垂线 (O? 在 AB 上 ).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1h (米 )
与 D 到 OO? 的距离 a(米 )之间满足关系式 2
1 140ha?
；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 2h (米 )与 F 到
OO? 的距离 b(米 )之间满足关系式 32 1 6800h b b?? ? .已知点 B 到 OO? 的距离为 40 米 .
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（ 1）求桥 AB 的长度；
（ 2）计划在谷底两侧建造平行于 OO? 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C， E 在 AB 上 (不包括端点 ).
桥墩 EF 每米造价 k(万元 )、桥墩 CD 每米造价 32k (万元 )(k>0).问 OE? 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价
最低 ?
6.（ 2020·江苏 卷）已知关于 x 的函数 ( ), ( )y f x y g x??与 ( ) ( , )h x k x b k b? ? ? R在区间 D 上恒有
( ) ( ) ( )f x h x g x??．
（ 1）若 ? ? ? ?222 2 ()f x x x g x x x D? ? ? ? ? ? ?? ??， ， ，，求 h(x)的表达式；
（ 2）若 2 1 l n ,( ) ( ) ( ) ( 0 ) x x g k x h k x k Df x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ，，求 k 的取值范围；
（ 3）若 ? ?4 2 2 2 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ≤ ，? ? , 2 , 2D m n? ? ?????，求
证： 7nm?? ．
7.（ 2020·山东卷 ）已知函数 1( ) e ln lnxf x a x a?? ? ?．
（ 1）当 ae? 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（ 2）若 f（ x） ≥1，求 a 的取值范围．
8.（ 2020·天津卷）已知函数 3( ) ln ( )f x x k x k R? ? ?， ()fx? 为 ()fx 的导函数．
（ Ⅰ）当 6k? 时，
（ i）求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（ ii）求函数 9( ) ( ) ( )g x f x f x x?? ? ?的单调区间和极值；
（ Ⅱ）当 3k ? 时，求证：对任意的 12, [1, )xx? ??，且 12xx? ，有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
122
f x f x f x f xxx????? ?．
9.（ 2020·浙江 卷）已知 12a??，函数 ? ? e xf x x a? ? ?，其中 e=2.71828… 为自然对数的底数．
（ Ⅰ）证明：函数 ? ?y f x? 在 (0 )??， 上有唯一零点；
（ Ⅱ）记 x0 为函数 ? ?y f x? 在 (0 )??， 上的零点，证明：
（ ⅰ） 01 2 ( 1)a x a? ? ? ?；
（ ⅱ） 00 (e ) (e 1)( 1)xx f a a? ? ?．
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【 2019 年】
8． 【 2019 年高考全国 Ⅰ 卷】 已知函数 ( ) sin ln (1 )f x x x? ? ?， ()fx? 为 ()fx的导数 ． 证明：
（ 1） ()fx? 在区间 ( 1, )2?? 存在唯一极大值点；
（ 2） ()fx有且仅有 2 个零点 ．
9． 【 2019 年高考全国 Ⅱ 卷】已知函数 ? ?
11ln xf x x x ????
.
（ 1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；
（ 2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x0， lnx0)处的切线也是曲线 exy? 的切线 .
10． 【 2019 年高考全国 Ⅲ 卷】已知函数 32( ) 2f x x a x b? ? ?.
（ 1）讨论 ()fx的单调性；
（ 2）是否存在 ,ab，使得 ()fx在区间 [0,1] 的最小值为 1? 且最大值为 1？若存在，求出 ,ab的所
有值；若不存在，说明理由 .
11． 【 2019 年高考北京】已知函数 321() 4f x x x x? ? ?．
（ Ⅰ ）求曲线 ()y f x? 的斜率为 1 的切线方程；
（ Ⅱ ）当 [ 2,4]x?? 时，求证： 6 ( )x f x x? ? ? ；
（ Ⅲ ）设 ( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x x a a? ? ? ? R，记 ()Fx在区间 [ 2,4]? 上的最大值为 M（ a）．当 M（ a）
最小时，求 a 的值．
12． 【 2019 年高考天津】设函数 ( ) e c o s , ( )xf x x g x? 为 ??fx的导函数．
（ Ⅰ ）求 ??fx的单调区间；
（ Ⅱ ）当 ,
42x ?????????
时，证明 ( ) ( ) 0
2f x g x x???? ? ?????
；
（ Ⅲ ）设 nx 为函数 ( ) ( ) 1u x f x??在区间 2 , 2
42nn????? ? ? ?????
内的零点，其中 n?N ，证明
2
002 2 si n c s
e onnnx xx???? ? ? ? ?．
13． 【 2019 年高考浙江】 已知实数 0a? ，设函数 ( ) = ln 1 , 0 .f x a x x x? ? ?
（ 1）当 34a?? 时，求函数 ()fx的单调区间；
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（ 2）对任意
21[ , )ex? ??
均有 ( ) ,2xfx a? 求 a 的取值范围．
注： e=2.71828… 为自然对数的底数．
14． 【 2019 年高考江苏】 设函数 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,f x x a x b x c a b c? ? ? ? ? R、 ()f'' x 为 f（ x）的导函数．
（ 1）若 a=b=c， f（ 4） =8，求 a 的值；
（ 2）若 a≠b， b=c，且 f（ x）和 ()f'' x 的零 点均在集合 { 3,1,3}? 中，求 f（ x）的极小值；
（ 3）若 0, 0 1, 1a b c? ? ?，且 f（ x）的极大值为 M，求证 :M≤427 ．
【 2018 年】
20. （ 2018 年浙江卷） 已知函数 f(x)= ?lnx．
（ Ⅰ ）若 f(x)在 x=x1， x2(x1≠x2)处导数相等，证明： f(x1)+f(x2)>8?8ln2；
（ Ⅱ ）若 a≤3?4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共 点．
21. （ 2018 年天津卷） 已知函数 ， ，其中 a>1.
（ I）求函数 的单调区间；
（ II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明
；
（ III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线
22. （ 2018 年北京卷） 设函数 =[ ] ．
（ Ⅰ ）若曲线 y= f（ x）在点（ 1， ）处的切线与 轴平行，求 a；
（ Ⅱ ）若 在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
23. （ 2018 年江苏卷） 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个 “S 点 ”．
（ 1）证明：函数 与 不存在 “S 点 ”；
（ 2）若函数 与 存在 “S 点 ”，求实数 a 的值；
（ 3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间
内存在 “S 点 ”，并说明理由．
24. （ 2018 年江苏卷） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （ P 为此圆弧
的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建
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两个温室大棚，大棚 Ⅰ 内的地块形状为矩形 ABCD，大棚 Ⅱ 内的地块形状为 ，要求 均在线段 上，
均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ．
（ 1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围；
（ 2）若大棚 Ⅰ 内种植甲种蔬菜，大棚 Ⅱ 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
25. （ 2018 年全国 I 卷理数） 已知函数 ．
（ 1）讨论 的单调性；
（ 2）若 存在两个极值点 ，证明：
26. （ 2018 年全国 Ⅲ 卷理数） 已知函数 ．
（ 1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（ 2）若 是 的极大值点，求 ．
27. （ 2018 年全国 Ⅱ 卷理数） 已知函数 ．
（ 1）若 ，证明：当 时， ；
（ 2）若 在 只有一个零点，求 ．
【 2017 年】
4.【 2017 课标 1，理 21】已知函数 2( ) ( 2 )xxf x a e a e x? ? ? ?.
（ 1）讨论 ()fx的单调性；
（ 2）若 ()fx有两个零点，求 a 的取值范围 .
5.【 2017 课标 II，理】 已知函数 ? ? 2 lnf x a x a x x x? ? ?，且 ? ? 0fx? 。
(1)求 a ；
(2)证明： ??fx存在唯一的极大值点 0x ，且 ? ?220 2e f x????。
6.【 2017 课标 3，理 21】已知函数 ? ? 1 lnf x x a x? ? ? .
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（ 1）若 ? ? 0fx? ，求 a 的值；
（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n
21 1 11 1 12 2 2 n m? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
，求 m 的最小值 .
7.【 2017 山东，理 20】已知函数 ? ? 2 2 cosf x x x?? ， ? ? ? ?c o s s i n 2 2xg x e x x x? ? ? ?，其中 2.71828e?
是自然对数的底数 .
（ Ⅰ ）求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?? ?, f??处的切线方程；
（ Ⅱ ）令 ? ? ? ? ? ?? ?h x g x a f x a R? ? ?，讨论 ??hx 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 .
8.【 2017 北京，理 19】已知函数 ( ) e cosxf x x x??．
（ Ⅰ ）求曲线 ()y f x? 在点 (0, (0))f 处的切线方程；
（ Ⅱ ）求函数 ()fx在区间 π[0, ]2 上的最大值和最小值．
9.【 2017 天津，理 20】设 a?Z ，已知定义在 R 上的函数 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a? ? ? ? ?在区间 (1,2) 内
有一个零点 0x ， ()gx为 ()fx的导函数 .
（ Ⅰ ）求 ()gx的单调区间；
（ Ⅱ ）设 00[1, ) ( , 2]m x x? ，函数 0( ) ( ) ( ) ( )h x g x m x f m? ? ?，求证： 0( ) ( ) 0h m h x ? ；
（ Ⅲ ）求证：存在大于 0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 ,pq，且
00[1, ) ( , 2],p xxq ?
满足
0 41||p xq Aq??
.
10.【 2017 浙江， 20】（本题满分 15 分）已知函数 f(x)=（ x– 21x? ） ex? （ 12x? ）．
（ Ⅰ ）求 f(x)的导函数；
（ Ⅱ ）求 f(x)在区间 1[ + )2 ?， 上的取值范围．
【 2017江苏， 2 0】 已知函数 32( ) 1 ( 0 , )f x x a x b x a b? ? ? ? ? ? R有极值 ,且导函数 ()fx? 的极值点是 ()fx
的零点 .（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（ 1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（ 2）证明： 2 3ba? ;
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（ 3）若 ()fx , ()fx? 这两个函数的所有极值之和不小于 7
2?
，求 a 的取值范围
【 2016 年】
5.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? 221xf x x e a x? ? ? ?有两个零点 .
(I)求 a 的取值范围；
(II)设 x1,x2 是 ??fx的两个零点 ,证明： 122xx??.
6.【 2016 高考山东理数】 (本小题满分 13 分 )
已知 ? ?
221( ) l n , Rxf x a x x ax ?? ? ? ?
.
（ I）讨论 ()fx的单调性；
（ II）当 1a? 时，证明 ? ? 3( ) '' 2f x f x ?＞ 对于任意的 ? ?1,2x? 成立 .
7.【 2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）
已知函数 ( ) ( 0 , 0 , 1 , 1 )xxf x a b a b a b? ? ? ? ? ?.
设 12, 2ab??.
（ 1）求方程 ( ) 2fx? 的根 ;
（ 2）若对任意 xR? ,不等式 (2 ) f( ) 6f x m x??恒成立，求实数 m 的最大值；
（ 3）若 0 1, 1ab??＞ ，函数 ? ? ? ? 2g x f x??有且只有 1 个零点，求 ab 的值。
8.【 2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）
设函数 3( ) ( 1)f x x ax b? ? ? ?, Rx? ， 其中 Rba ?,
(I)求 )(xf 的单调区间；
(II) 若 )(xf 存在极值点 0x ，且 )()( 01 xfxf ? ，其中 01 xx? ，求证： 1023xx??；
（ Ⅲ）设 0?a ，函数 |)(|)( xfxg ? ，求证： )(xg 在区间 ]1,1[? 上的最大值 不小于 ． ． ． 41 .
9.【 2016 高考新课标 3 理数】设函数 ( ) c o s 2 ( 1 ) ( c o s 1 )f x a x a x? ? ? ?，其中 0a? ，记 | ( )|fx 的最大值
为 A ．
（Ⅰ）求 ()fx? ；
（Ⅱ）求 A ；
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（Ⅲ）证明 | ( )| 2f x A? ? ．
10.【 2016 高考浙江理数】（本小题 15 分）已知 3a? ，函数 F（ x） =min{2|x?1|， x2?2ax+4a?2}，
其中 min{p， q}=
,>p p qq p q.???? ， ，
（ I）求使得等式 F（ x） =x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围；
（ II）（ i）求 F（ x）的最小值 m（ a）；
（ ii）求 F（ x）在区间 [0,6]上的最大值 M（ a） .
11.【 2016 高考新课标 2 理数】
(Ⅰ )讨论函数 xx2f (x) x2?? ? e 的单调性，并证明当 0x? 时， ( 2) 2 0xx e x? ? ? ?；
(Ⅱ )证明：当 [0,1)a? 时，函数
2x = ( 0 )
xe a x agxx?? ?（ ） 有最小值 .设 ()gx的最小值为 ()ha ，求函数 ()ha
的值域．
12.【 2016 年高考北京理数】 （ 本小题 13 分）
设函数 () axf x xe bx???，曲线 ()y f x? 在点 (2, (2))f 处的切线方程为 ( 1) 4y e x? ? ? ， [来源 :学 ,科 ,网 ]
（ 1） 求 a ， b 的值；
（ 2）求 ()fx的单调区间
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