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导数及其应用
【 2020 年】
1.（ 2020·新课标 Ⅰ） 函数 43( ) 2f x x x?? 的图像在点 (1 (1))f， 处的切线方程为（ ）
A. 21yx?? ? B. 21yx?? ?
C. 23yx?? D. 21yx??
【答案】 B
【解析】 ? ? 432f x x x??， ? ? 3246f x x x?? ? ?， ? ?11f? ?? ， ? ?12f? ?? ，
因此，所求切线的方程为 ? ?1 2 1yx? ? ? ? ，即 21yx?? ? .
2.（ 2020·新课标 Ⅲ） 若直线 l 与曲线 y= x 和 x2+y2=15 都相切，则 l 的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+12 C. y=12 x+1 D. y=12 x+12
【答案】 D
【解析】设直线 l 在曲线 yx? 上的切点为 ? ?00,xx，则 0 0x? ，
函数 yx? 的导数为 12y x?? ，则直线 l 的斜率
0
12k x? ，
设直线 l 的方程为 ? ?
00012y x x xx? ? ?
，即 0020x y x? ?，
由于直线 l 与圆 2215xy??相切，则 0
0
11 4 5x x ?? ，
两边平方并整理得 2005 4 1 0xx? ? ?，解得 0 1x? ，
0 15x ??
（舍），
则直线 l 的方程为 2 1 0xy? ? ? ，即 1122yx??.
【 2019 年】
1． （ 2019· 全国 Ⅲ 卷】 已知曲线 e lnxy a x x?? 在点（ 1， ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． e1ab? ??， B． a=e， b=1
C． 1e1ab???， D． 1ea ?? ， 1b??
【答案】 D
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【解析】 ∵ e ln 1,xy a x?? ? ?
∴ 切线的斜率 1| e 1 2xk y a??? ? ? ?， 1ea ??? ，
将 (1,1) 代入 2y x b??，得 2 1, 1bb? ? ??.
故选 D．
2． （ 2019· 天津 卷） 已知 a?R ，设函数 2 2 2 , 1 ,()
l n , 1.x ax a xfx x a x x? ? ? ?? ? ???
若关于 x 的不等式 ( ) 0fx? 在 R
上恒成立，则 a 的取值范围为
A． ? ?0,1 B． ? ?0,2
C． ? ?0,e D． ? ?1,e
【答案】 C
【解析】当 1x? 时， (1 ) 1 2 2 1 0f a a? ? ? ? ?恒成立；
当 1x? 时， 22( ) 2 2 0 2
1xf x x a x a a x? ? ? ? ? ? ?
恒成立，
令 2()
1xgx x? ?
，
则 2 2 2( 1 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1()
1 1 1x x x xgx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
111 2 2 ( 1 ) 2 0xxxx????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????
??
，
当 11 1x x??? ，即 0x? 时取等号，
∴ max2 ( ) 0a g x??，则 0a? .
当 1x? 时， ( ) ln 0f x x a x? ? ?，即 lnxa x? 恒成立，
令 ()lnxhx x? ，则
2ln 1() (ln )xhx x?? ?
，
当 ex? 时， ( ) 0hx? ? ，函数 ()hx 单调递增，
当 0ex?? 时， ( ) 0hx? ? ，函数 ()hx 单调递减，
则 ex? 时， ()hx 取得最小值 (e) eh ? ，
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∴ min( ) ea h x??，
综上可知， a 的取值范围是 [0,e] .
故选 C.
3．（ 2019 浙江 卷） 已知 ,ab?R ，函数
32
,0
() 11 ( 1 ) , 0
32
xx
fx x a x ax x
???
? ? ? ? ? ??
?
．若函数 ()y f x ax b? ? ?恰
有 3 个零点，则
A． a<–1， b<0 B． a<–1， b>0
C． a>–1， b<0 D． a>–1， b>0
【答案】 C
【解析】当 x＜ 0 时， y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b＝ x﹣ ax﹣ b＝（ 1﹣ a） x﹣ b＝ 0，得 x ，
则 y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b 最多有一个零点；
当 x≥0时， y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b x3 （ a+1） x2+ax﹣ ax﹣ b x3 （ a+1） x2﹣ b，
2 ( 1)y x a x???? ，
当 a+1≤0，即 a≤﹣ 1 时， y′≥0， y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b 在 [0， +∞）上单调递增，
则 y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b 最多有一个零点，不合题意；
当 a+1＞ 0，即 a>﹣ 1 时，令 y′＞ 0 得 x∈ (a+1， +∞），此时函数单调递增，
令 y′＜ 0 得 x∈ [0， a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点 .
根据题意，函数 y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b 恰有 3 个零点 ?函数 y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b 在（﹣ ∞， 0）上有一个零点，在
[0， +∞）上有 2 个零点，
如图：
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∴ 0 且 ，
解得 b＜ 0， 1﹣ a＞ 0， b （ a+1） 3，
则 a>–1， b<0.
故选 C．
4． （ 2019· 全国 Ⅰ 卷） 曲线 23( )exy x x??在点 (0)0， 处的切线方程为 ____________．
【答案】 30xy??
【解析】 223 ( 2 1 ) e 3 ( ) e 3 ( 3 1 ) e ,x x xy x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
所以切线的斜率 0|3xky????，
则曲线 23( )exy x x??在点 (0,0) 处的切线方程为 3yx? ，即 30xy?? ．
5． （ 2019· 江苏 卷） 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 4 ( 0)y x xx? ? ? 上的一个动点，则点 P 到直线
0xy??的距离的最小值是 ▲ .
【答案】 4
【解析】由 4 ( 0)y x xx? ? ? ，得
241y x???
，
设斜率为 1? 的直线与曲线 4 ( 0)y x xx? ? ? 切于
00 04( , )xxx?
，
由
20411x? ??
得 0 2x ? （ 0 2x ?? 舍去），
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∴ 曲线 4 ( 0)y x xx? ? ? 上，点 ( 2,3 2)P 到直线 0xy??的距离最小，最小值为
22
2 3 2 4
11
? ?
?
.
故答案为 4 ．
6． （ 2019· 江苏 卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（ -e，
-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ .
【答案】 (e, 1)
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标 .
设点 ? ?00,A x y ，则 00lnyx? .
又 1y x?? ，
当 0xx? 时，
0
1y x?? ，
则曲线 lnyx? 在点 A 处的切线为
0001 ()y y x xx? ? ?
，
即
0 0ln 1xyx x? ? ?
，
将点 ? ?e, 1?? 代入，得
0 0e1 ln 1x x?? ? ? ?
，
即 00ln exx? ，
考察函数 ? ? lnH x x x? ，
当 ? ?0,1x? 时， ? ? 0Hx? ，当 ? ?1,x? ?? 时， ? ? 0Hx? ，
且 ? ? ln 1H x x? ??，
当 1x? 时， ? ? ? ?0,H x H x? ? 单调递增，
注意到 ? ?eeH ? ，
故 00ln exx? 存在唯一的实数根 0 ex? ，
此时 0 1y? ，
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故点 A 的坐标为 ? ?e,1 .
7． （ 2019· 北京 卷） 设函数 ? ? eexxf x a ??? （ a 为常数）．若 f（ x）为奇函数，则 a=________；若 f（ x）
是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ___________．
【答案】 ? ?1 ,0? ??
【解析】首先由奇函数的定义得到关于 a 的恒等式，据此可得 a 的值，然后利用 ( ) 0fx? ? 可得 a 的取值范
围 .
若函数 ? ? eexxf x a ??? 为奇函数，则 ? ? ? ?,f x f x? ? ? 即 ? ?e e e ex x x xaa??? ? ? ?，
即 ? ?? ?1 e e 0xxa ?? ? ?对任意的 x 恒成立，
则 10a?? ，得 1a?? .
若函数 ? ? eexxf x a ??? 是 R 上的增函数，则 ( ) e e 0xxf x a ?? ? ? ?在 R 上恒成立，
即 2exa? 在 R 上恒成立，
又 2e 0x? ，则 0a? ，
即实数 a 的取值范围是 ? ?,0?? .
【 2018 年】
1． （ 2018· 全国 Ⅰ 卷） 设函数 32( ) ( 1)f x x a x a x? ? ? ?.若 ()fx为奇函数，则曲线 ()y f x? 在点 (0,0) 处
的切线方程为
A． 2yx?? B． yx??
C． 2yx? D． yx?
【答案】 D
【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ，
，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 .
故选 D.
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2． （ 2018· 全国 Ⅱ 卷） 函数 ? ?
2ee
xxfx x ??? 的图像大致为
【答案】 B
【解析】 ? ? ? ? ? ?
2ee0 , ,
xxx f x f x f xx? ?? ? ? ? ? ?为奇函数，舍去 A；
? ? 11 e e 0f ?? ? ?，∴ 舍去 D；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 43e e e e 2 2 e 2 e ,x x x x xxxx xxfx xx?? ?? ? ? ? ? ???? 2x??时 ， ? ? 0fx? ? ， ()fx单调递增，
舍去 C.
因此选 B.
3． （ 2018· 全国 Ⅲ 卷） 函数 422y x x? ? ? ?的图像大致为
【答案】 D
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【解析】函数图象过定点 (0,2) ，排除 A， B；
令 42( ) 2y f x x x? ? ? ? ?，则 32( ) 4 2 2 ( 2 1 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?，
由 ( ) 0fx? ? 得 22 (2 1) 0xx??，得 22x?? 或 20 2x?? ，此时函数单调递增，
由 ( ) 0fx? ? 得 22 (2 1) 0xx??，得 22x? 或 2 02 x? ? ? ，此时函数单调递减，排除 C.
故选 D.
4． （ 2018· 全国 Ⅱ 卷） 曲线 2ln( 1)yx??在点 (0,0) 处的切线 方程为 __________．
【答案】
【解析】
则所求的切线方程为 .
5． （ 2018· 全国 Ⅲ 卷） 曲线 ? ?1exy ax??在点 ? ?0,1 处的切线的斜率为 2? ，则 a? ________．
【答案】 -3
【解析】 ? ?e 1 exxy a a x? ? ?? ，则 0| 1 2xya?? ? ? ? ?，所以 .
6． （ 2018· 全国 Ⅰ 卷） 已知函数 ? ? 2 sin sin 2f x x x??，则 ??fx的最小值是 _____________．
【答案】
【解析】 ，
所以当 时函数单调 递 减，当 时函数单调 递 增，
从而得到函数的 递 减区间为 ? ?5 π π2 π ,2 π
33k k k??? ? ????? Z
，
函数的 递 增区间为 ? ?π π2 π ,2 π
33k k k??? ? ????? Z
，
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所以当 π2 π ,3x k k? ? ? Z时，函数 取得最小值，
此时 ，
所以 ，
故答案是 .
7． （ 2018· 江苏 卷） 若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ________．
【答案】 –3
【解析】由 ? ? 26 2 0f x x a x? ? ?? 得 0x? 或 3ax? ，
因为函数 ??fx在 ? ?0,?? 上有且仅有一个零点且 ? ?0 =1f ，所以 0, 0
33aaf ????????
，
因此 322 1 0 ,
33aaa? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
解得 3a? .
从而函数 ??fx在 ? ?1,0? 上单调递增，在 ? ?0,1 上单调递减，所以 ? ? ? ?max 0,f x f?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?m in m in 1 , 1 1f x f f f? ? ? ?，
则 ? ? ? ?m ax m inf x f x??? ? ? ?0 + 1 1 4 3 .ff ? ? ? ? ?
故答案为 -3.
【 2017 年】
1． （ 2017· 全国 Ⅲ 卷） 已知函数 2 1 1( ) 2 ( e e )xxf x x x a ? ? ?? ? ? ?有唯一零点，则 a=
A． 12? B． 13
C． 12 D． 1
【答案】 C
【解析】函数 ()fx的零点满足 ? ?2 1 12 e exxx x a ? ? ?? ? ? ?，
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设 ? ? 11eexxgx ? ? ???，则 ? ? ? ?211 1 1
111 e 1e e e ee
xx x x
xxgx
?? ? ? ?
?? ?? ? ? ? ? ?
，
当 ? ? 0gx? ? 时， 1x? ； 当 1x? 时， ? ? 0gx? ? ，函数 ??gx单调递减 ；
当 1x? 时， ? ? 0gx? ? ，函数 ??gx单调递增，
当 1x? 时，函数 ??gx取得最小值 ，为 ??12g ? .
设 ? ? 2 2h x x x??，当 1x? 时，函数 ??hx取得最小值 ，为 1? ，
若 0a??，函数 ??hx与函数 ? ?ag x? 没有交点 ；
若 0a??， 当 ? ? ? ?11ag h??时，函数 ??hx和 ? ?ag x? 有一个交点，
即 21a? ? ?? ，解得 12a? .故选 C.
2． （ 2017· 全国 Ⅱ 卷） 若 2x?? 是函数 21( ) ( 1)e xf x x a x ?? ? ?的极值点，则 ()fx的极小值为
A． 1? B． 32e??
C． 35e? D． 1
【答案】 A
【解析】由题可得 1 2 1 2 1( ) ( 2 ) e ( 1 ) e [ ( 2 ) 1 ] ex x xf x x a x a x x a x a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
因为 ( 2) 0f???，所以 1a?? ， 21( ) ( 1)e xf x x x ?? ? ?，故 21( ) ( 2 )e xf x x x ?? ? ? ?，
令 ( ) 0fx? ? ，解得 2x?? 或 1x? ，
所以 ()fx在 ( , 2),(1, )?? ? ??上单调递增，在 ( 2,1)? 上单调递减 ，
所以 ()fx的极小值为 11( ) (1 1 1) e 11f ?? ? ? ? ?.
故选 A．
3． （ 2017· 浙江 卷） 函数 y=f(x)的导函数 ()y f x?? 的图 象 如图所示，则函数 y=f(x)的图 象 可能是
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【答案】 D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且 0x? 位于增区间内，因此选 D．
11． （ 2017· 江苏 卷） 已知函数 3 1( ) 2 e ex
xf x x x? ? ? ?
， 其中 e 是自然对数的底数 ． 若
( 1)fa?? 2(2 ) 0fa? ， 则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 1[ 1, ]2?
【解析】因为 3 1( ) 2 e ( )e x
xf x x fxx? ? ? ? ? ? ? ?
，所以函数 ()f x 是奇函数，
因为 22( ) 3 2 e e 3 2 2 e e 0x x x xf '' x xx ??? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以函数 ()f x 在 R 上单调递增，
又 21 )02( ) (ffaa?? ?，即 2( ) )2 (1aaff??，
所以 22 1aa?? ，即 2 12 0aa? ? ? ，
解得 11 2a? ? ? ，
故实数 a 的取值范围为 1[ 1, ]2? ．
12． （ 2017· 山东 卷） 若函数 e ( )xfx （ e 2.71828? 是自然对数的底数）在 ()fx的定义域上单调递增，
则称函数 ()fx具有 M 性质 .下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 .
① ( ) 2 xfx ?? ② ( ) 3 xfx ?? ③ 3()f x x? ④ 2( ) 2f x x??
【答案】 ①④
【解析】 ① ee ( ) e 2 ( )2x x x xfx ?? ? ?在 R 上单调递增，故 ( ) 2 xfx ?? 具有 ? 性质；
② ee ( ) e 3 ( )3x x x xfx ?? ? ?在 R 上单调递减，故 ( ) 3 xfx ?? 不具有 ? 性质；
③ 3e ( ) exxf x x??，令 3( ) exg x x??，则 3 2 2( ) e 3 e e ( 3 )x x xg x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ?当 3x?? 时， ( ) 0gx? ? ，
当 3x?? 时， ( ) 0gx? ? ， ? 3e ( ) exxf x x??在 ( , 3)??? 上单调递减，在 ( 3, )? ?? 上单调递增，故 3()f x x?
不具有 ? 性质；
④ 2e ( ) e ( 2)xxf x x??，令 2( ) e ( 2)xg x x??，则 22( ) e ( 2 ) 2 e e [ ( 1 ) 1 ] 0x x xg x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 则
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2e ( ) e ( 2)xxf x x??在 R 上单调递增，故 2( ) 2f x x??具有 ? 性质．
【 2016 年】
1. 【 2016 高考山东理数】若函数 ()y f x? 的图象上存在两点 ， 使得函数的图象在这两点处的切 线互相垂直 ，
则称 ()y f x? 具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是（ ）
（ A） sinyx? （ B） lnyx? （ C） exy? （ D） 3yx?
【答案】 A
【解析】当 sinyx? 时， cosyx?? ， cos 0 cos 1? ???，所以在函数 sinyx? 图象存在两点 ， 使条件成立，
故 A 正确；函数 3ln , e ,xy x y y x? ? ?的导数值均非负，不符合题意，故选 A。
2.【 2016 年高考四川理数】 设直线 l1， l2 分别是函数 f(x)= ln , 0 1,
ln , 1,xxxx? ? ??? ??
图象上点 P1， P2 处的切线， l1
与 l2 垂直相交于点 P，且 l1， l2 分别与 y 轴相交于点 A， B，则△ PAB 的面积的取值范围是 ( )
（ A） (0,1) （ B） (0,2) （ C） (0,+∞ ) （ D） (1,+∞ )
【答案】 A
【解析】 设 ? ? ? ?1 1 1 2 2 2, l n , , l nP x x P x x?（不妨设 121 , 0 1xx? ? ?），则由导数的几何意义易得切线 12,ll
的斜率分别为
121211,.kkxx? ? ?
由已知得
1 2 1 2 2 111 , 1 , .k k x x x x? ? ? ? ? ? ?
切线 1l 的方程分别为
? ?1111lny x x xx? ? ?，切线 2l 的方程为 ? ?2221lny x x xx? ? ? ?，即 11 11lny x x x x??? ? ? ?????.分别令
0x? 得 ? ? ? ?110 , 1 l n , 0 , 1 l n .A x B x? ? ?又 1l 与 2l 的交点为 211
12221, ln11xxPx??????????
， 1 1x? ，
211
22211 12 1 1P A B A B P xxS y y x? ?? ? ? ? ? ? ???
， 01PABS?? ? ? ．故选 A．
3.【 2016 高考新课标 2 理数】若直线 y kx b??是曲线 ln 2yx??的切线，也是曲线 ln( 1)yx??的切线，
则 b? ．
【答案】 1 ln2?
【解析】对函数 ln 2yx??求导得 1y x?? ，对 ln( 1)yx??求导得 11y x?? ? ，设直线 y kx b??与曲线
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ln 2yx??相切于点 1 1 1( , )P x y ，与曲线 ln( 1)yx??相切于点 2 2 2( , )P x y ， 则 1 1 2 2ln 2 , ln ( 1 )y x y x? ? ? ?，
由点 1 1 1( , )P x y 在切线上得 ? ?
1111ln 2 ( )y x x xx? ? ? ?
，由点 2 2 2( , )P x y 在切线上得
222 1ln ( 1 ) ( )1y x x xx? ? ? ??
，这两条直线表示同一条直线，所以 12
2
21
2
11
1
21ln ( 1 ) ln
1
xx
xxx
x
? ?
? ??
? ?
? ? ? ?
? ??
，解得
11111, 2 , l n 2 1 1 l n 22x k b xx? ? ? ? ? ? ? ? ?
.
4.【 2016 高考新课标 3 理数】已知 ??fx为偶函数，当 0x? 时， ( ) ln( ) 3f x x x? ? ?，则曲线 ? ?y f x? 在
点 (1, 3)? 处的切线方程是 _______________．
【答案】 21yx?? ?
【解析】当 0x? 时， 0x??，则 ( ) ln 3f x x x? ? ?．又因为 ()fx为偶函数，所以 ( ) ( ) ln 3f x f x x x? ? ? ?，
所以 1( ) 3fx x? ??，则切线斜率为 (1) 2f? ?? ，所以切线方程为 3 2( 1)yx? ?? ? ，即 21yx?? ? ．
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