序 我的数学观作为接受十几年国内基础教育的普通人，以本人粗浅的经历来看，所谓数学的乐趣是因人而异的。对普通学生来说多是应付的、难以理解的，甚
至是痛苦的，而少数有天赋的人看来，数学仅仅是锻炼头脑的一种游戏，至于考试学业只是顺便的事。不过默契的是，这两拨人都有各自的圈子，轻
易不会产生交集，既是有多半也与学习无关。对这一奇怪的现象，个人有亲身体会。在普通学生中，他们因自身学习数学的痛苦，时常会有对天赋学
生的偏见，心理上或羡慕或嫉妒，行为上多是疏远的。而天赋学生多乐在其中，或孤僻自处，或自成团体，谈论与思考的都是数学问题，他们的确不
关心普通人的痛苦，听他们的看法，数学即使痛苦，但思考的乐趣总大于它的痛苦。自然，天赋在这里总是绕不开的话题，不过我想，这种彼此的不
理解又何止在数学学习上呢？在更远或更近的别的地方，我们都有着不能理解或不被理解的情况发生，仔细想想，这何尝不是作为人的特有的，无奈
的孤独呢？在此，我并不想过多强调所谓天赋（泛指一切有利于自身发展的因素，如智力，家庭，长相等），这些的确客观存在，也很大程度上决定
每个人的发展前途。我所担心的是，教育上或社会上这种天才或平庸的评价，会加速双方的分歧，正如现代社会以经济财富为追求的标准，反而导致
贫富两级分化一样。回到数学上，我有必要指出一种常见且顽固的思想观念，即那些自负或自卑的以为数学是为天才的大脑所预备的想法，是极其错
误的。这既是一种人自居为智慧生物的傲慢，也是对人能够凭借自身理性认识世界的伟大精神的否定。我们需要警惕和预防这类错误观念在教育和社
会中的毒害。我并非否认天才的存在，事实上从现代数学来看，几乎就是众多天才的思想共同构成的。我们渴望天才的出现，但天才更需要我们的理
解。任何一种新的思想或创造，如果不能被人正确理解，那么纵然他真的是天才，也会被人当做是精神病的胡言乱语。纵观数学史乃至文明史，不被
理解的天才还少吗？反观国内之数学教育，思之再三，只能说一言难尽。这自然不是一蹴而就的事情，而以个人拙见，相比数学知识，应更注重数学
思想方法的阐述与传授，两者最好相互渗透。因此，作为一种尝试，本人文科生借学习大学数学的机会，以笔记形式记录学习过程中的所思所想，与
读者一起重新认识与探索数学知识的奥妙，分享数学思考带来的乐趣。更重要的是，希望借此坚定更多人，也包括自己，对人能凭借自身理性认识世
界的信念。在正式动笔之前，作为笔记也作为一本书的要求，我必须事先制定几点写作的原则，来规范今后的写作重点，也做些说明以防止读者不必
要的误解。其一，本书所作的全部工作在于理解数学，而非创造一门新的数学。这也就是说，本书并非专业的数学著作，有的只是个人在数学学习中
的片面理解，且这种理解是私人的，不专业的，甚至是带有偏见的。其二，本书主旨在于重新确立‘人是万物的尺度’的人的理性精神。我以为现代
学习的困难是不同以往的，现代社会的普通大众多是焦虑的，怀疑的，功利的，归结来说是不自信的。这是个人对社会的体会之一。越来越多的人开
始怀疑周围事物乃至工作的价值或意义，我以为这根本上是人对自身价值的怀疑（注意是怀疑，而不是好奇），这种自我怀疑是经济社会下频繁过度
进行价值判断，最终反噬自身的结果。这已经不是功利主义能解释的了，而是人的异化。在关于人的价值问题上，我的思考倾向于笛卡尔的‘我思故
我在’。即人只是一种好奇，人本身是毫无价值的，但人可以赋予世间万物以价值，这种赋予的能力就是思考的证明。因此，在进入任何一门知识之
前，首先应明确的是，所谓知识只是人的价值的外在载体，所有的知识归根到底是人的知识。知识既是人的好奇，且知识与知识之间是没有高深粗浅
之分的，只是好奇的程度不同而已。这也就是说，只要你足够的好奇，你就越能理解你所学的知识。其三，人尽管有各式各样的好奇，但并非所有的
好奇都能发展为知识学问，换句话说，知识都是有根据的，或者说是经过人的理性检验的。我的观点是，任何已经发展成熟且体系完整的学科，如同
大厦一样都有着自己的基石。这个基石即知识的根据，我称之为学科假设。为什么是假设而不是事实，这就涉及到哲学上物质与意识谁是世界本源的
千古讨论了，这里不做详细展开，简单解释的话，科学上尽管我们相信这世上有真理（即客观规律在人脑的正确反映），但人的认识与客观事实之间
似乎总是存在一定差距，而且有的时候这个差距相当的大。可是人类并不因此放弃对世界的探索认识，最终，人们凭借自身的理性精神找到一条合适
的途径，即假设-检验的方式来开展认识世界的工作。通常来说，这个假设是直觉的，先验的，不可论证的，但基于假设之上所有知识的发生是可以
推理的，论证的。此外假设只能建立在有的基础上，而非无的基础上，因为在无的基础上不会再有新的东西产生，称不可知。在检验方面则会有三种
情况发生，如果在假设有的基础上没有发现与现有认知矛盾，且进一步促进了现有认知，我们称这里必然有新的知识的诞生，称理性可知；如果发现
与现有事实相矛盾，要么假设偏离实际，需要适当调整假设来符合实际（矛盾较小时），要么抛弃旧的假设，重新建立新的假设来符合实际（矛盾较
大时），这两种都称事实可知。还有一种特殊情况，就是在现有知识水平或技术手段下无法对假设进行有效检验，称未可知。在数学上通常以猜想形
式体现，比如著名的哥德巴赫猜想，3n+1猜想，千禧年七大数学难题等，我们固然相信若谁能证明或解开这些数学难题中的一个，都将是人类理
性又一次进步的表现。但就目前来说，我以为人的理性尽管伟大，但不是万能的，它也有自己适用的范围。根据历史的经验来说，在超出理性的范围
使用理性，不是疯狂就是死亡。而对于这些不能由我们理性证明，也不能由理性否定的理念，只要我们不把它当做知识就行了。正因为理性的有限，
在除科学以外的领域，也存在一些建立在超越理性假设基础上的学科，尽管这些假设本身足够丰富多彩，引人入胜，但却难以用理性检验。比如世界
各地的宗教信仰，不同社会的道德伦理和各国实行的政治体制等。在涉及这类超理性假设时，我以为最好保留理性的使用权利，只用好奇的心态去对
待。而一旦越过理性，人就会被某种信仰所支配。这不是在贬低信仰，信仰本身可以是很崇高的，但若没有相适应的人性去支撑它，这种信仰就会成
为毁灭人性的力量。历史上那些口口声声宣扬信仰的时代，恰恰是人类战争最激烈的时代。因此对于大多数人来说，我鼓励做理性的人，而非信仰的
人。说到数学的学科假设，一个著名的数学假设是‘万物皆数’，尽管在毕达哥拉斯那里这个数指的是有理数，现在广义来看，这个数便可以表示已
知的所有数系。再具体严格的现代数学学科假设在数理逻辑和几何公理体系中已经详尽给出，最为熟悉的如集合论与欧几里得几何公设。在公理化假
设体系下，数学各命题之间能够合理推断，相互论证，逻辑自洽，这完全符合人的理性，也是数学学科区别于其他任何学科的巨大魅力之一。自科学
时代兴起以来，数学对人的精神征服是远超以往的，同样是征服，武力难免会让人口服心不服，而数学却是运用我们自身的理性征服自己。除了这些
显然公理化的假设体系，数学中其实有很多隐性假设并不直接表示出来，而是蕴含在以定义，定理等规定化的语言中，如果不加以说明，人们对相关
数学定义与定理的认可理解就会产生一定隔阂，这是一个在具体教学中很容易忽略的地方。有的时候，人们不是不理解一个定义，而是不理解其中的
假设由来，尽管假设本身不需要任何理由，它完全可以是直觉的先验的，但人们接受和认可假设是需要一个理由解释的，而不是依赖数学的权威迫使
学者无条件接受。我以为进入一个数学概念的前提是先找到形成它的假设，只有接受这个假设，人们才有真正理解这个概念的可能。尤其在学习更高
级抽象的数学知识时，人们花费在理解它的建立假设的时间往往超过专业知识本身，而一旦理解其基础假设，往后的学习通常是事半功倍的。其四，
我们还注意到一个事实，即数学语言和我们习惯所用的日常语言的差别。这种差别有时反映在中西方文字语法和语义上的歧义上（主要是命题逻辑用
语），有时反映在对同一概念的解释不一致上（或翻译问题，或限定不清），无论哪种差别，客观上导致人们在学习与理解数学上出现一知半解问题
，虽说对具体解题技巧影响不大，但对其中数学思想的精髓却难有领悟了。自然语言与数学语言很明显是两套不同的形式逻辑结构。语言文字追求的
是完备性，凡人所思所想的都可以由它记述传达，文字具有非凡的创造力，所以自由，灵魂等虚幻的，不合理性的词也会为人所相信和使用；而数学
语言必须所指明确一致，符合理性与相对固定，他是逻辑的链条，词语的准绳，两个语言在一定条件下可以转化但必须符合理性。因此在数学笔记中
如何兼顾文字与数理内容的合理搭配，既体现数理逻辑的严谨性，又具有文学丰富性，确实是件值得思考的问题。论语有曰，质胜文则野，文胜质则
史，文质彬彬，然后君子。此句虽是写读书做人的道理，其实也可看做写作准则，若把文学性比作文，说理性比作质，我以为国内数学教材多是质胜
文，而国外是文胜质了，相信广大读者也有自己的亲身体会。其实，个人以为现代数学既是一门学科，更是一门语言。注重文学语言在讲解数理的补
充运用，对大多数人在学习和理解数学思想上，具有重要启发引导作用。可惜国内普遍少有文理皆备的数学教师或教材，食材是好食材，只是缺乏用
心的厨师。以我对语言的理解，我以为语言的本质就是比喻。为什么是比喻呢，我有两点解释。其一，以中华历史文化来说，人们所使用的文字经常
随时代变化而推陈更新，无论从字体本身还是文学题材来说均发生很大改变，同时那些曾经存在的诸多事物也消失不见了，那么今天的人们如何了解
已经消亡的事物呢？靠的就是比喻，比喻能够借今天事物的形象唤起对过去事物的想象；其二，以人的知识学习而言，总是由已知向未知不断扩大，
如何建立新旧知识的沟通联结呢？靠的还是比喻，比喻能够缩短对新知识的距离，让其更易接受。因此本书在写作中会以个人对知识的理解，大量采
用比喻形式加以深入记忆。当然，我必须承认，比喻不是好事，是不得已之事，是苦中作乐。不过我料想必定有人看不惯数学语言夹杂文学语言的笔
记方式，尤其对于那些宣称只能通过严谨的数学定义了解并把握数学概念的学院派，无疑是一种反感。关于此点的争议，我个人倒是不以为意，毕竟本书不是数学书籍，只是劝告广大读者，比喻只是说理的必要补充，真正会阅读的人应该做到得意忘言，得鱼忘筌，而不是紧盯着比喻不放。最后再次强调本书是学习数学的个人笔记，好比是自己烧的家常菜，客人不喜欢吃的话还请多多包涵。综上，我提出任何知识学习的前提假设，如果不能较好的理解以下假设，则个人对知识学习这件事始终会存在潜在的阻碍问题。 假设世上的确存在真理（客观规律）假设人能凭借自身理性认识客观规律假设真理能被人类语言文字正确表达2022年9月13日星期二 |
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