专题4 平面向量的线性运算【知识精讲】1、平面向量的相关概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的长度：向量的大小也叫做向
量的长度（或向量的模）；(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量
；(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2、平面
向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是
向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．(1)如果，且，那么的长度；的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．(
2)如果k = 0或，那么．4、实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则(1)； (2)； (3)．5、平行向量定理如果向量与非零
向量v平行，那么存在唯一的实数m，使．6、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的
单位向量，是指它们的方向不同．2、向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都
是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x
、y是实数．3、向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量
，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【历
年真题】【考点1】平面向量的基本概念1．（2021秋?长宁区、崇明区期末）如果向量与向量方向相反，且，那么向量用向量表示为（ ）
A．B．C．D．2．（2021秋?松江区期末）已知，那么下列判断错误的是（ ）A．B．C．D．3．（2021秋?徐汇区期末）已知
点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．4．（2021秋?杨浦区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确
的是（ ）A．B．C．D．5．（2021秋?宝山区期末）已知为非零向量，，，那么下列结论中，不正确的是（ ）A．B．C．D．6
．（2021秋?普陀区期末）已知与是非零向量，且，那么下列说法中正确的是（ ）A．B．C．D．7．（2021秋?虹口区期末）已知
，下列说法中不正确的是（ ）A．B．与方向相同C．D．8．（2021秋?青浦区期末）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是（
）A． B．C．D．与方向相同9．（2021秋?嘉定区期末）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（
）A．B．C．D．10．（2021秋?浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．11．（
2021秋?黄浦区期末）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定的是（ ）A．，B． C． D．，12．（2021秋?闵行区期末）
如果，，且，下列结论正确的是（ ）A． B． C．与方向相同D．与方向相反13．（2021秋?杨浦区期末）已知的长度为2，的长度
为4，且和方向相反，用向量表示向量＝ ．14．（2021秋?普陀区期末）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么 ．（
用向量表示）15．（2021秋?闵行区期末）（2021秋?闵行区期末）为单位向量，与方向相同，且长度为2，那么 ．【考点2】向
量的线性运算12．（2021秋?金山区期末）点G是△ABC的重心，设，，那么关于和的分解式是（ ）A．B．C．D．2．（2021
秋?徐汇区期末）计算：＝＝ ．3．（2021秋?青浦区期末）计算： ．4．（2021秋?奉贤区期末）计算： ．5．（2021秋
?金山区期末）计算：＝ ．6．（2021秋?崇明区期末）计算：＝ ．7．（2021秋?浦东新区期末）计算： ．8．（202
1秋?虹口区期末）如果向量、、满足，那么 （用向量、表示）．9．（2021秋?嘉定区期末）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那
么 ．10．（2021秋?松江区期末）如图1，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设，，那么可以用，表示为 ．
图1 图2 图311．（2021秋?徐汇区期末）如图2，已知点是的重心，记向量，，则向量 ．（用向量的形式表示，其中，为
实数）12．（2021秋?静安区期末）如图3，在中，中线、相交于点，如果，，那么 ．（用含向量、的式子表示）13．（2021秋?浦
东新区期末）如图4，已知平行四边形的对角线与交于点．设，，那么向量关于向量、的分解式是 ． 图4 图5 图614．（2021
秋?黄浦区期末）如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果，那么向量＝ （用向量
表示）．15．（2021秋?崇明区期末）如图6，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设，，那么可用、表示
为 ．【考点3】平面向量的线性综合题1．（2021秋?长宁区期末）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，．（1
）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）2．（2021秋?普
陀区期末）如图，已知，、相交于点，过作交于点，．（1）求的值；（2）设，，那么 ， （用向量，表示）3．（2021秋?杨浦区期末）
如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且．（1）如果AC=6，求AE 的长；（2）设，，试用、的线性
组合表示向量．4．（2021秋?徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=6，对角线BD，AC相交于
点E，过点A作AF//DC，交对角线BD于点F．（1）求的值；（2）设，，请用向量、表示向量．5．（2021秋?宝山区期末）如图，
已知在四边形中，是边上一点，，交于点，又．（1）设，，用向量、表示向量 ， ．（2）如果，，，求的长．6．（2021秋?奉贤区期末
）如图，在△ABC中，AC=5，cotA=2，cotB=3，D是AB边上的一点，∠BDC=45°．（1）求线段BD的长；（2）如果
设，，那么 ， ， （含、的式子表示）．7．（2021秋?青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交
于点F，BF=3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．8．（2021秋?浦东新区期末）如图，在△ABC中，点
D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设，，求向量（用向量、表示）．9．（2
021秋?闵行区期末）如图，AD，BE是△ABC的中线，交于点G，且，．（1）直接写出向量关于、的分解式，＝ ；（2）在图中画
出向量在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）10．（2021秋?金山区期末）如图，已知：四边形AB
CD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝2，设，．求向量关于、的分解式．11．（2021秋?崇明区期末）如图，在△ABC中，点F为
△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．（1）求的值；（2）如果，，用、表示和．专题4 平面向量
的线性运算【历年真题】【考点1】平面向量的基本概念1．（2021秋?长宁区、崇明区期末）如果向量与向量方向相反，且，那么向量用向量
表示为（ D ）A．B．C．D．【考点】平面向量【专题】三角形；推理能力【分析】由向量与向量方向相反，且，可得，继而求得答案．【解
答】解：向量与向量方向相反，且，， ∴．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键
．2．（2021秋?松江区期末）已知，那么下列判断错误的是（ A ）A．B．C．D．【考点】平面向量；平行线的性质【专题】推理能力
；线段、角、相交线与平行线；三角形【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、由知，，符合题意；B、由
知，，不符合题意；C、由知，，不符合题意；D、由知，，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向
量的定义与性质是解题的关键．3．（2021秋?徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（ D ）A．B．C．D．【
考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴；；；
，∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．4．（20
21秋?杨浦区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（ C ）A．B．C．D．【考点】平面向量【专题】推理能力；常规题型【
分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，
D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．5．（2021秋?宝山
区期末）已知为非零向量，，，那么下列结论中，不正确的是（ B ）A．B．C．D．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴；；；，∴A，C，D正确，B错误，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的
定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．（2021秋?普陀区期末）已知与是非零向量，且，那么下列说法中正确的是（
D ）A．B．C．D．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，代
表的长度是的3倍，方向不定∴； ∴D正确故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键
．7．（2021秋?虹口区期末）已知，下列说法中不正确的是（ A ）A．B．与方向相同C．D．【考点】平面向量【专题】常规题型；运
算能力【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵ ∴； 与方向相同；；∴A错误故选：A．【点评】本题考查了平面向
量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．8．（2021秋?青浦区期末）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是
（ D ）A． B．C．D．与方向相同【考点】平面向量【专题】常规题型；推理能力【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解
答】解：∵，；；；与的方向相反，故A，B，C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义
与性质是解题的关键．9．（2021秋?嘉定区期末）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（ A ）A．B．C
．D．【考点】平面向量【专题】推理能力；常规题型【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，，，∴A正确；与
的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误；故选
：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．10．（2021秋?浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那
么下列结论中正确的是（ D ）A．B．C．D．【考点】平面向量【专题】推理能力；常规题型【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【
解答】解：∵，，且和的方向相反；∴故选：D．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．11．（2021秋?黄
浦区期末）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定的是（ A ）A．，B． C． D．，【考点】平面向量【专题】推理能力；常规题型【
分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵， ∴ ∴A正确；∵，∴ ∴B正确；∵，说明与长度相等 ∴C错误；∵，，∴ ∴
∴D正确∴D错误；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．12．（2021秋?闵行区期末）如果
，，且，下列结论正确的是（ D ）A． B． C．与方向相同D．与方向相反【考点】平面向量【专题】推理能力；常规题型【分析】根据单
位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵，， ∵， ∴ ∴A、B、C错误；故选：D．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的
性质是解题的关键．13．（2021秋?杨浦区期末）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝ ．【考点】平面向
量【专题】运算能力；常规题型【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案
为：【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．14．（2021秋?普陀区期末）已知是单位向量
，与方向相反，且长度为6，那么 ．（用向量表示）【考点】平面向量【专题】推理能力；三角形【分析】根据平面向量的性质解决问题即
可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相反，且长度为6，∴，故答案为：．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．15．（2021秋?闵行区期末）为单位向量，与方向相同，且长度为2，那么 ．【考点】平面向量【专题】推
理能力；三角形【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相同，且长度为2，∴，故答案为：．【点评】本
题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点2】向量的线性运算1．（2021秋?金山区期末）点G是△AB
C的重心，设，，那么关于和的分解式是（ C ）A．B．C．D．【考点】平面向量，三角形重心【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平
面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，设，∴∴，∴故答案为：C，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法
则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．2．（2021秋?徐汇区期末）计算：＝ ．【考点】平面向量【专题】常规题型；
运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平
面向量的加减运算法则是解题的关键．3．（2021秋?青浦区期末）计算： ．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据
平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则
是解题的关键．4．（2021秋?奉贤区期末）计算： ．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法
则求解即可．【解答】解：，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．5．（
2021秋?金山区期末）计算：＝ ．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解
答】解：，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．6．（2021秋?崇明
区期末）计算：＝ ．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：，故答案
为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．7．（2021秋?浦东新区期末）计算：
．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：，故答案为：，【点评】本题
考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．8．（2021秋?虹口区期末）如果向量、、满足，那么
（用向量、表示）．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵，∴， ∴，
故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．9．（2021秋?嘉定区期末）已知向量、、满足
，试用向量、表示向量，那么 ．【考点】平面向量【专题】常规题型；运算能力【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：
∵，∴， ∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．10．（2021秋?松江区期末）
如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设，，那么可以用，表示为 ． 【考点】平面向量；梯形【专题】多边
形与平行四边形；三角形；推理能力【分析】由AB∥CD，即可证得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得与的关系，利用三角形法
则，求得，即可求得．【解答】解：∵，，∴．∵AB∥CD，AB＝2CD，，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】此题考查向量的知识与相似三
角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．11．（2021秋?徐汇区期末）如图2，已知点G是△AB
C的重心，记向量，，则向量 ．（用向量的形式表示，其中x，y为实数）【考点】三角形的重心；平面向量．版权所有【专题】三角形；推理
能力．【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：如图，延长AE到H
，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵，∵G是重心
，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2021秋?静安区期末）如图3，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果，，那么
．（用含向量、的式子表示）【考点】三角形的重心；平面向量．版权所有【专题】三角形；推理能力．【分析】如图，延长AE到H，使得E
H＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，∴点G是△ABC的
重心∴，∴∴故答案为：．【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．13．（2021秋?浦东新区
期末）如图4，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设，，那么向量关于向量、的分解式是 ．【考点】平行四边形的性质
；平面向量【专题】多边形与平行四边形；推理能力【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本
题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．14．（2021秋?黄浦区期末）如图5，D、E分别是△ABC的
边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果，那么向量＝ （用向量表示）．【考点】平面向量；梯形【专题】图形
的相似；推理能力【分析】根据8字型求出BC＝2ED，即可求解【解答】解：∵DE∥BC∴ ∴∵ ∴故答案为：．【点评】此题考查向量的
知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．15．（2021秋?崇明区期末）如图，在平行
四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设，，那么可用、表示为 ．【考点】平行四边形的性质；平面向量；三角形中
位线定理【专题】推理能力；三角形；多边形与平行四边形【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解．【解答
】解：如图，连接BD，∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN∥BD，且，∴，∵，，∴，∴，所以，
故答案为：【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．【考点3】平面向量的线性综合题1．
（2021秋?长宁区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F
，若，．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【考点】
平面向量；梯形【专题】推理能力；梯形【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形
即可．【解答】解：（1）AB：CD＝3：2，，，∴，∴，∴DE＝EC，CE∥AB，∴，，∴．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，
．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．2．（2021秋?普陀
区期末）如图，已知，、相交于点，过作交于点，．（1）求的值；（2）设，，那么 ， （用向量，表示）【考点】相似三角形的判定与性质；
平面向量【专题】图形的相似；推理能力【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明和即可得出结论；（2）根据（1）中结论和平
面向量的加、减运算即可得出结论．【解答】解：（1）解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△
DCE，∴，∴CE＝3BE，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCD，∴，∵BC＝BE+CE＝BE+
3BE＝4BE，∴；（2）由（1）知：，∴，∵，，∵，∴，，，∴，．故答案为：，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向
量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．3．（2021秋?杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边
AB、AC上，DE//BC，且．（1）如果AC=6，求AE 的长；（2）设，，试用、的线性组合表示向量．【考点】平面向量【专题】常
规题型；推理能力【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵
DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，，；（2）由（1）知，，，∵，∴．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌
握平面向量的加减运算法则是解题的关键．4．（2021秋?徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=6
，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF//DC，交对角线BD于点F．（1）求的值；（2）设，，请用向量、表示向量．【考点】平面
向量；梯形；相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】（1）由△ADE∽△CBE，得，由AF//DC，得，从而解决
问题；（2）求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解．【解答】解：（1）∵AD//BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∵AF//DC，
∴，设EF＝4x，则DE＝6x，BF＝5x，∴，（2）∵AD＝4，BC＝6，AD∥BC，，△ADE∽△CBE，∴，，，∵，∴，，．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2021秋
?宝山区期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又．（1）设，，用向量、表示向量 ，
．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【考点】平面向量【专题】图形的相似；推理能力【分析】（1）根据平面
向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应
边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：，；（2）∵，∴AF//BC，，
∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，，又∵，∴△
ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△
ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．6．（2021秋?奉贤区期末）如图，在△ABC中，AC=5，cotA=2，cotB=3，D是
AB边上的一点，∠BDC=45°．（1）求线段BD的长；（2）如果设，，那么 ， ， （含、的式子表示）．【考点】平面向量；解直角
三角形【专题】解直角三角形；推理能力【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，根据．可得DE=CE，设CE=x，，可得AE=2CE=2
x，根据勾股定理即，得出，在Rt△CEB中，，可得BE=3CE=3；（2）根据向量三角形法则可得，根据相反向量可得，可求，根据AD
=AE-DE=2DE-DE=DE，BD=4DE，得出AD=，可得，．【详解】解：（1）过点C作CE⊥AB于E，∵．∴∠DCE=90
°-∠CDE=45°=∠CDE，∴DE=CE，∵，设CE=x，，∴AE=2CE=2x，在Rt△ACE中，根据勾股定理即，解得，∴D
E=CE=，在Rt△CEB中，，∴BE=3CE=3，∴BD=DE+BE=+3=4；（2），∵，，∴，∵AD=AE-DE=2DE-D
E=DE，BD=4DE，∴AB=AD+BD=5AD，∴AD=，∴，∴．故答案为：，，．7．（2021秋?青浦区期末）如图，在平行四
边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．【考点】
平面向量；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【专题】图形的相似；多边形与平行四边形；推理能力【分析】（1）由平行四边形的性质
得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；（2）先求出．再利用向量的加法可得答案
．【解答】解：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BCF∽△DEF，∴，∵BF＝3DF， ∴∴，
∴．∴AE：ED＝2；（2）∵AE：ED＝2，∴．∵，∴，∵，∴，∵AD∥BC ∴ ，，∴．∴．∴，∴．【点评】本题考查了相似三角
形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．8．（2021秋?浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D
、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设，，求向量（用向量、表示）．【考点】平
面向量；相似三角形的判定与性质； 【专题】图形的相似；平面向量；推理能力【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利
用平面向量的三角形法则解答．【解答】（1）如图，∵DE∥BC，且DE=BC，∴．又AC=6，∴AE=4．（2）∵，，∴．又DE∥B
C，DE=BC，∴【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．9．（2021秋?闵行区期末）如图，AD，
BE是△ABC的中线，交于点G，且，．（1）直接写出向量关于、的分解式，＝ ；（2）在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（不
要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【考点】作图—应用与设计作图；平面向量．版权所有【专题】作图题；几何直观；应用意识．【
分析】（1）利用平行线分线段成比例定理以及三角形法则求解即可；（2）利用平行四边形法则，画出图形即可．【解答】解：（1）如图，过点
G作GT∥BC交AB于点T．∵AD，BE是△ABC的中线，交于点G，∴AG＝2GD，∵GT∥DB，∴，，，∴．故答案为：．（2）向量在向量和方向上的分向量分别是：，．【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理．三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．10．（2021秋?金山区期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝2，设，．求向量关于、的分解式．【考点】相似三角形的判定与性质；平面向量【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】连接BD，先由得到得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到，再结合平面向量的减法运算得到与和的关系，最后即可用含有和的式子表示．【解答】解：连接BD，∵，∴MN∥BD，，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关键．11．（2021秋?崇明区期末）如图，在△ABC中，点F为△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．（1）求的值；（2）如果，，用、表示和．【考点】平面向量；三角形的重心；三角形的面积【专题】应用意识；三角形；图形的相似【分析】（1）根据三角形重心的定义可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质得出DE∥AB，且，再证明，根据相似三角形的性质即可求出的值；（2）由已知，再利用三角形法则可求出，再根据三角形重心的性质得出，再利用三角形法则求出．【解答】解：（1）∵点F为△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且，∴△DEF∽△ABF，∴；（2）∵，E为AC中点，∴，∵，，∴，E为AC中点，∴，∴．【点评】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． |
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