相似三角形专题讲练考点剖析【知识点一：相似形及比例线段】知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对
应边的长度的比值为1．3、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、、、成
比例．4、比例的性质（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么
（如果是实数运算，要注意强调）．5、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．6
、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称
为黄金分割数，简称黄金数．APB7、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如
图，已知，直线l // BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么．lABCDEABCDEABCDEll8、三角形一边的平行
线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．ABCDE如图，点、分别在
的边、上，DE // BC，那么．9、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个
顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．10、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．11、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的
同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果，那么//．ABCDEA
BCDEABCDE12、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被
直线、、所截，那么．BCDEFG13、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线
上截得的线段也相等．例题解析【例1】下列说法中错误的是（ ）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次
形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【例2】有
以下命题：邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似；有一个角是40°的两个菱形相似；两个矩形相似；两个正方形相似，其中正确的是（
）A．和B．和C．和D．和【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另
一边长为______．【例4】把写成比例式，不正确的写法是（ ）A．B．C．D．【例5】已知线段x、y满足，那么x : y等于（
）A．3 : 1B．2 : 3C．2 : 1D．3 : 2【例7】已知，则下列式子中正确的是（ ） A．B． C． D．【例8】若
a = 8 cm，b = 6 cm，c = 4cm，则a、b、c的第四比例项d = ______cm；a、c的比例中项x = __
____cm．【例9】已知点C是线段AB的黄金分割点，，且AC > BC，则线段AB =______，BC =______．【例1
0】如图，中，DE // BC，AD = EC，BD = 4 cm，AE = 3 cm，则AB =______．ABCDE【例11
】中，，点D在AB上，点E在BC上，若，那么DE______平行于AC．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”）【例12】如图，两
条相交于点O的直线被另外三条直线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，则下列说法中正确的有（ ）ABCDEFO（1）若AD //
BE // FC，则；（2）若AD // BE // FC，则；（3）若，则AD // FC；（4）若，则BE // FC；（5
）若，则BE // FC．A．1个B．2个C．3个D．4个【例13】如图，，DE // BC，若，则=（ ）A．2 : 3B．2
: 5C．4 : 15D．6:15ABCDE【例14】如图，DF // AC，DE // BC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．
D．ABCDEFABCDONM【例15】如图，已知梯形ABCD中，AD // BC，MN // BC，且交对角线BD于O，AD =
DO = p，BC = BO = q，则MN为（ ）A．B．C．D．【例16】如图，直角中两条直角边CA = 4，CB = 3，
点E为斜边AB上的一个动点，EDBC于D，设AE = x，BD = y，则y关于x的函数解析式为________________．
ABCDE【例17】如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，求证：ABCDEFG（1）；（2）．【例18】如图，在中
，AB > AC，ADBC于D，点F是BC中点，过点F作BC垂线交AB于点E，BD : DC = 3 : 2，则BE : EA =
______．ABCDEFABCDEFG【例19】如图，在中，E、F分别是BC、AC的中点，AE、BF交于点G，过G作GD //
AC交BC于点D，若ED = 5，则BC的长为______．【例20】如图，已知AM是的中线，P是BC边上的一个动点，过点P作AM
的平行线分别交AB、AC所在直线与点Q、R，求证：PQ + PR为定值．ABCRMPQ【知识点二：相似三角形】知识精讲1、相似三角
形的定义DABCE如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形
．如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与
点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上．根
据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或
相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其
他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．ABCDEABCDEABCDE如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．3
、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相
似．如图，在与中，如果、，那么．ABCA1B1C1常见模型如下：4、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对
应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．ABCA1B1C1如图，在与中，
，，那么．5、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应
成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．ABCA1B1C16、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直
角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
．ABCA1B1C1如图，在和中，如果，，那么∽．7、相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都
等于相似比．8、相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比．9、相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方
．例题解析【例1】如图，已知点P是中边AC上一点，联结BP，要使∽，那么应添加的一个条件为____________，或______
______，或____________．ABCP【例2】下列命题正确的是（ ）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．有一个
角是106°的两个等腰三角形相似C．面积相等的两个直角三角形相似D．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【例3】下列44的正方
形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（ ）ABCA． B． C． D．ABCD
E【例4】如图，中，AE交BC于点D，，，AE = 8，BD = 4，则DC的长等于（ ）A．B．C．D．【例5】在研究相似问题时
，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角
形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．图1图21111
111对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A．两人多对B．两人都不对C．甲对乙不对D．甲不对，乙对【例6】正方形ABCD的边长为
1，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，求当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为多少？ABCDN
M【例7】如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则
的周长为______cm．ABCDEFGHQABCDE【例8】如图，中，，AC = 4 cm，BC = 2 cm，D为BC的中点，
若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着的方向运动，设点E的运动时间为t秒，联结DE，当t为何值时，是直角三角形？ 【例9】如
图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且．（1）求证：∽；ABCDEF（2）若AB
= 8，AD =，AF =，求AE的长．【例10】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12
cm，那么大三角形对应边上的中线长是______cm．【例11】在中，DE // BC，且D在AB边上，E在AC边上，若，则___
___，______．【例12】如图，梯形ABCD中，AD // BC，，AB = 2，DC = 3，则与的面积比为（ ）A．2
: 3B．2 : 5C．4 : 9D．ABCD【例13】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分
别是3、4及x，那么x的值为（ ）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个【例14】如图，在中，，将沿直线MN翻折后，
顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN // AB，MC = 6，，那么四边形MABN的面积是______．【例15】如图，在平
行四边形ABCD中，AB = 6，AD = 9，的平分线交BC于E，交DC的延长线与F，于G，，则的周长为______．ABCDE
FG【例16】如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作ED // BC交AB于点D．（1）求证：；（2）如果，，DE = 6，求
BC的长．ABCDEABCDEFA1E1【例17】如图，直角三角形ABC中，，AB = 10，BC = 6，在线段AB上取一点D，
作交AC于点F，现将沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为，AD的中点E的对应点记为，若∽，则AD =______．【例18
】如图，在中，，AB = 5，BC = 3，点D、E分别在BC、AC上，且BD = CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF //
AB，则BD的长为______．【例19】如图，在中，，AC = 8，BC = 6，于点D．点P从点D出发，沿线段CD向点C运动
，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；（2）设的面积为S，求S与t之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不
存在，请说明理由；ABCDPQH（3）当t为何值时，为等腰三角形？【例20】如图，在中，AB = AC，ADBC于点D，BC =
10 cm，AD = 8 cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边
BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P 到达点C时，点P与直线m同时停止运动
，设运动时间为t秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成
的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段BP的长；ABCDEFmH（3）是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻
t的值；若不存在，请说明理由．【巩固强化：真题精练】1.（2020黄浦区）如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长
线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）A. AE=2DEB. C. D. 2.（
2020长宁、金山区）如果点、、分别在边、、上，联结、，且，那么下列说法错误的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，
那么D. 如果，那么3.（2020崇明区）如图，在中，点、分别在和边上且，点为边上一点（不与点、重合），联结交于点，下列比例式一定
成立的是（ ）A. B. C. D. 4.（2021宝山区）如图，在□中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结，.（1）
求证：；（2）联结，如果，且，，求的长.5.（2020嘉定区）三角形的重心是（ ）A. 三角形三边的高所在直线的交点；B. 三角形
的三条中线的交点；C. 三角形的三条内角平分线的交点；D. 三角形三边的垂直平分线的交点.6. （2021徐汇区）如图，在中，，点
是斜边的中点，四边形是平行四边形．（1）如图1，延长交于点，求证：垂直平分； BDACEABCED（2）如图2，联结、，如果平分，
求证：．7.（2020普陀区） 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（ ）A.4B.6C.D.8.（2020松江区）下列两
个三角形不一定相似的是A. 两条直角边的比都是的两个直角三角形B. 腰与底的比都是的两个等腰三角形C. 有一个内角为的两个直角三角
形D. 有一个内角为的两个等腰三角形ABCDEF9. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB = CD，过点A作AE⊥BC，垂
足为点E，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，联结DE，且DE平分∠ADC．（1）求证：△ABE≌△ECF；（2）联结BD，BD与AE
交于点G，当时，求证：．10．（2021长宁区）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠
CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4
，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，
求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）相似三角形
专题讲练考点剖析【知识点一：相似形及比例线段】知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对
应边的长度的比值为1．3、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、、、成
比例．4、比例的性质（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么
（如果是实数运算，要注意强调）．5、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．6
、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称
为黄金分割数，简称黄金数．APB7、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如
图，已知，直线l // BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么．lABCDEABCDEABCDEll8、三角形一边的平行
线性质定理推论ABCDE平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点、分别在
的边、上，DE // BC，那么．9、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个
顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．10、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．11、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的
同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果，那么 //．ABCDE
ABCDEABCDE12、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线
被直线、、所截，那么．BCDEFG13、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直
线上截得的线段也相等．例题解析【例1】下列说法中错误的是（ ）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两
次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【难度】
★【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的
基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似；有一个角是40°的两个菱形相似；两
个矩形相似；两个正方形相似，其中正确的是（ ）A．和B．和C．和D．和【难度】★★【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确
定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义
，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，
另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为______．【难度】★★【答案】或．【解析】设矩形另一边长为，根据相似形的定义，对应边成
比例，可知或，解得：或．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】把写成比
例式，不正确的写法是（ ）A．B．C．D．【难度】★【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知B选项即为，与原条件不符，故选B．【
总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例5】已知线段x、y满足，那么x :
y等于（ ）A．3 : 1B．2 : 3C．2 : 1D．3 : 2【难度】★【答案】C【解析】令，可解得，即得．【总结】比例运
算中，可应用设“”法计算相应字母比例关系．【例6】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是______．【难度】★【答案】．【解析】
设三角形直角边长为，根据勾股定理可知斜边长为，直角边与斜边比为．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化
简．【例7】已知，则下列式子中正确的是（ ） A．B． C． D．【难度】★★【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知C正确．【总
结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例8】若a = 8 cm，b = 6 cm，c = 4cm，则a、
b、c的第四比例项d = ______cm；a、c的比例中项x = ______cm．【难度】★★【答案】3，．【解析】根据第四比
例项和比例中项的基本定义，可得，，代入即可分别求得，．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例9】已知点C是线段AB的黄金分割点
，，且AC > BC，则线段AB =______，BC =______．【难度】★★【答案】10，．【解析】根据黄金分割点的概念，
且AC > BC，可知，代入可得，则．【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．【例10】如图，中，DE // BC，AD
= EC，BD = 4 cm，AE = 3 cm，则AB =______．ABCDE【难度】★★【答案】．【解析】设，由DE //
BC，可得，又，则该式即为，整理得，由此得，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比
例式解决问题．【例11】中，，点D在AB上，点E在BC上，若，那么DE______平行于AC．（填“一定”、“不一定”或者“一定不
”）【难度】★★【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成比例，可判定平行，
本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即不可判定平行，在AB上固定一点D，作交BC于点E，以点D为圆心，长为半径
画圆，与边AB还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比
例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例12】如图，两条相交于点O的直线被另外三条直线所截，交点分别为A、B、C
和D、E、F，则下列说法中正确的有（ ）ABCDEFO（1）若AD // BE // FC，则；（2）若AD // BE // F
C，则；（3）若，则AD // FC；（4）若，则BE // FC；（5）若，则BE // FC．A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时， 知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目
中没有给出有直线与平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，，根据比例的基本性质变形可得，即可证平行
，可知（4）正确，（5）错误．【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例13】如图，，DE
// BC，若，则=（ ）A．2 : 3B．2 : 5C．4 : 15D．6:15ABCDE【难度】★★【答案】B【解析】根据DE
// BC，可得，三角形为同高三角形，则有，可设，则有，，同理，可得，则有．【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的
同高三角形，面积比即为其底边长度之比．【例14】如图，DF // AC，DE // BC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．D．A
BCDEF【难度】★★【答案】D【解析】由DE // BC，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得，变形即为，D正确．【总结】
考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行
判断．ABCDONM【例15】如图，已知梯形ABCD中，AD // BC，MN // BC，且交对角线BD于O，AD = DO =
p，BC = BO = q，则MN为（ ）A．B．C．D．【难度】★★【答案】B【解析】由AD // MN // BC，根据三角
形一边平行线的性质定理的推论，可得，，由AD = DO = p，BC = BO = q，代入即为，，求得：，，即得：．【总结】考查
三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例16】如图，直角中两条直角边CA = 4，CB = 3，点E为斜
边AB上的一个动点，EDBC于D，设AE = x，BD = y，则y关于x的函数解析式为________________．【难度】
★★ABCDE【答案】．【解析】由勾股定理，可得，AE = x，则，由EDBC，，可得，根据三角形一边平行线性质定理，则有，即，即
可得．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例17】如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延
长线上的一点，求证：ABCDEFG（1）；（2）．【难度】★★【答案】略【解析】证明：（1）四边形是平行四边形， ，，即得（2）同
样地，由，，可得：．．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形，“A”字型和“8”字型，“
A”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．【例18】如图，在中，AB > AC，ADBC于D，点F是BC中点，过点F作BC
垂线交AB于点E，BD : DC = 3 : 2，则BE : EA =______．ABCDEF【难度】★★★【答案】．【解析】由
BD : DC = 3 : 2，F为BC中点，即可得 ，则，由，ADBC， 可得：，根据三角形一边平行线性质定理， 即可得：．【总
结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例19】如图，在中，E、F分别是BC、AC的中点，AE、BF交于
点G，过G作GD // AC交BC于点D，若ED = 5，则BC的长为______．【难度】★★★ABCDEFG【答案】30．【解
析】∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴G是的重心． ∴． ∵GD // AC， ∴可得， 由此，．【总结】考查重心性质的证明，构
造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．【例20】如图，已知AM是的中线，P是BC边上的一个动点，过点P作AM的平行线
分别交AB、AC所在直线与点Q、R，求证：PQ + PR为定值．ABCRMPQ【难度】★★★【答案】略．【解析】证明：，，．，．即
得：，即证PQ + PR为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A”字
型．【知识点二：相似三角形】知识精讲1、相似三角形的定义DABCE如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有
的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相
似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶
点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似
三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2
、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．ABCDEABCDEABCDE如图，
已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个
三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．ABCA1B1C1常见模型如下：4、相似三角形判定
定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，
两个三角形相似．ABCA1B1C1如图，在与中，，，那么．5、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应
成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．ABCA1B1C16、直角三角
形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简
述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．ABCA1B1C1如图，在和中，如果，，那么∽．7、相似三角形性质定理1 相似三
角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．8、相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比．9、相似三角形
性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例1】如图，已知点P是中边AC上一点，联结BP，要使∽，那么应添加的一
个条件为____________，或____________，或____________．【难度】★【答案】，，．【解析】根据相似
三角形的判定定理1和判定定理2，题目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．ABCP【总结】考查相似三
角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理2一定是夹等角的两条边对应成比例．【例2】下列命题正确的是（ ）A．有一个角是4
0°的两个等腰三角形相似B．有一个角是106°的两个等腰三角形相似C．面积相等的两个直角三角形相似D．两边之比为3 : 5的两个直
角三角形相似【难度】★【答案】B【解析】有一个角是40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三角形形状，A错误；
有一个角是106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理1，B正确；面积相
等的直角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C错误；两边之比为3:5，不能确定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，
即不能确定直角三角形形状相同，D错误．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能
用判定定理证明相似．【例3】下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是
（ ）ABCA． B． C． D．【难度】★【答案】C【解析】根据已知，得对应两直角边之比，三角形与相似，
则两条直角边之比也为2，只有C选项满足．【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．ABCDE【例
4】如图，中，AE交BC于点D，，，AE = 8，BD = 4，则DC的长等于（ ）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】
由，AE = 8，可得，，由，结合一对对顶角，可得∽，由此则有，代入即为，即得:，故选D．【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合
应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3
、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2
的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．图1图21111111对于两人的观点，下列说法正确的是
（ ）A．两人多对B．两人都不对C．甲对乙不对D．甲不对，乙对【难度】★★【答案】C【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三
边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内角都相等，根据相似三角形判定定理1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边分别变为5和7
，，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故选C．【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到
两三角形相似，对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．【例6
】正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，求当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大，最
大面积为多少？ABCDNM【难度】★★★【答案】时四边形有最大面积．【解析】由，则有，AMMN，则，， 由，可证∽．则，设，则，，
则有． 由此可知当，即时，四边形有面积最大值．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．【例7】如图
，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则的周长为___
___cm．ABCDEFGHQ【难度】★★★【答案】12．【解析】设，根据翻折的性质，则有， ，在中，用勾股定理，则有，即，解得，
则，由，则有， 同时，则， 得：，由，可证∽． 则，即，解得，，故．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．ABCDE
【例8】如图，中，，AC = 4 cm，BC = 2 cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着的方向运动
，设点E的运动时间为t秒，联结DE，当t为何值时，是直角三角形？ 【难度】★★★【答案】或或或．【解析】根据勾股定理，可得，点沿
运动时，大小固定不变，可能存在和 两种情形：当时，由，，得∽，则有 ，即，得，此时存在两种情形，即或；当时，由，，得∽，则有 ，
即，得，此时存在两种情形，即或．【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．【例9】如图，在平行四边形ABCD
中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且．（1）求证：∽；ABCDEF（2）若AB = 8，AD =，AF
=，求AE的长．【难度】★★【答案】（1）略；（2）6【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，．．，，∽．解：由（1）∽，，即，
解得：．，，根据勾股定理，即得：．【总结】考查相似三角形判定定理1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意
对相关图形及性质的应用．【例10】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm，那么大三角形
对应边上的中线长是______cm．【难度】★【答案】20【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比，两三角形
对应中线长之比也等于，即得大三角形对应边上中线长为．【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．【例11】在中，DE
// BC，且D在AB边上，E在AC边上，若，则______，______．【难度】★【答案】，【解析】，得，可得相应相似比，则
，，．【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．【例12】如图，梯形ABCD中，AD // BC，，AB
= 2，DC = 3，则与的面积比为（ ）A．2 : 3B．2 : 5C．4 : 9D．ABCD【难度】★【答案】C【解析】由AD
// BC，可得，结合，可证∽，则有，则，故选C．【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．【例13】如果一个直角三角形的两
条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（ ）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．
有无数个【难度】★【答案】B【解析】由，可知这两条边分别为对应边，相似比，第一个直角三角形中第三边长有两种情况，即或，由此得或，解
得或，故选B．【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．【例14】如图，在中，，将沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB
边上的点D处，已知MN // AB，MC = 6，，那么四边形MABN的面积是______．【难度】★★【答案】．【解析】连结，即
得垂直平分，由MN // AB，即得是的中点，∽，则，由此可得：．【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．【例15】如图，在平行四边
形ABCD中，AB = 6，AD = 9，的平分线交BC于E，交DC的延长线与F，于G，，则的周长为______．ABCDEFG【
难度】★★【答案】8．【解析】由，得，由平分，得，可得，由，，根据勾股定理可得，则有，，由，得∽，由此即得，由，得．【总结】考查相
似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基
本模型．【例16】ABCDE如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作ED // BC交AB于点D．（1）求证：；（2）如果，，D
E = 6，求BC的长．【难度】★★【答案】（1）略；（2）10．【解析】（1）证明： 即证解：由，，即得，则有，由ED //
BC，可得：，代入求得．【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型
的应用．ABCDEFA1E1【例17】如图，直角三角形ABC中，，AB = 10，BC = 6，在线段AB上取一点D，作交AC于点
F，现将沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为，AD的中点E的对应点记为，若∽，则AD =______．【难度】★★★【答案
】．【解析】由，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得，由，，可证∽，则有，可设，则，，则，根据翻折性质，得，，∽，则有，即
，解得，由此即得．【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．【例18】如图，在中，，AB =
5，BC = 3，点D、E分别在BC、AC上，且BD = CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF // AB，则BD的长为__
____．【难度】★★★【答案】1．【解析】延长交于，由勾股定理，可得，，∽∽．．设，则有，，，，即有，解得：，即．【总结】相似三
角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．【例19】如图，在中，，AC = 8，BC = 6
，于点D．点P从点D出发，沿线段CD向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点
P运动到点C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设的面积为S，求S与t之间的关系式，并确定运动过程中是否
存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；ABCDPQH（3）当t为何值时，为等腰三角形？【难度】★★★【答
案】（1）；（2），或时，；（3）或或．【解析】（1）根据勾股定理，可得，由直角三角形面积法，则有，解得：；（2）过点作交于，，，
∽，．依题意可得，则，代入即为：，解得：．，其中；若存在某一时刻，使得，则有，整理得：，解得：，均符合题意；分类讨论：①，即，解得
：；②，根据等腰三角形的性质可得，即得，解得：；③，同理②，可得，解得：．综上：当为等腰三角形时，t的值为或或．【总结】本题综合性
较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．【例
20】如图，在中，AB = AC，ADBC于点D，BC = 10 cm，AD = 8 cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3
cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、A
D于E、F、H，当点P 到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE、DF
，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段BP的长；ABCDEFmH（
3）是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）6
；（3）或．【解析】（1）证明：当时，．，．，，四边形是平行四边形，∵，四边形是菱形．（2），．由题意，可得：，则有，即得：．．．
由此可知时，的面积有最大值，此时；（3）①，分别通过、向作高，易得两个三角形相似，即有，解得：；②，过点向作高，则有，解得：；③，
过点向作高，则有，此时不存在；综上所述，或时，是直角三角形．【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最
大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．【巩
固强化：真题精练】1.（2020黄浦区）如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC
、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）A. AE=2DEB. C. D. 【答案】C【分析】A.利用直角三角形30
度角的性质即可解决问题．B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．D.利用相似三角形的
性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，∵△ABP是等边三角形，∴∠PAB=∠PBA=∠AP
B=60°，∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE，故A正确;∵AB∥CD，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠P
BA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP，∠PBC=30°，∴∠BPC=∠BCP=75°，∴∠CPF=105°，∴
∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP∽△APH，故B正确;∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠D
PF，∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，∴∠PCH=∠PBC，∵∠CP
H=∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴,∴PC2=PH?PB，故D正确，故选：C．2.（2020长宁、金山区）如果点、、分别在边、
、上，联结、，且，那么下列说法错误的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么【答案】C【分析】由平
行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的
性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【详解】如图所示：A
、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符
合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合
题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠
BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．3.（2020崇明区）如图，在中，点、分别在和边上且，点
为边上一点（不与点、重合），联结交于点，下列比例式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据相似三角形的判定
和性质分析即可．【详解】∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．4.（2021宝山区）如图
，在□中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结，.（1）求证：；（2）联结，如果，且，，求的长.【答案】（1）证明：∵□
ABCD，∴AB∥DF,AD∥BC， 又AE平分，∴. ∴AD=DF. 又∵∠GDF=∠F，∴. ∴.即 （2）解：∵AF平分
∠BAD，∴∠BAE=∠DAF. 又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAF.∴. ∵BG⊥AE，AB=6，AD=9， ∴BA=BE=
6. ∵∠BEA=∠CEF，∴∠CEF=∠F.∴EC=CF=3，DF=AD =9∴ .即AG=GE=E
F.∵∴. ∴. 5.（2020嘉定区）三角形的重心是（ ）A. 三角形三边的高所在直线的交点；B. 三角形的三条中线的交点；C.
三角形的三条内角平分线的交点；D. 三角形三边的垂直平分线的交点.【答案】B【分析】根据三角形重心的概念即可得出答案.【详解】A
三角形三边的高所在直线的交点是垂心；B三角形的三条中线的交点是重心；C三角形的三条内角平分线的交点是内心；D三角形三边的垂直平分线
的交点是外心.故选B6. （2021徐汇区）如图，在中，，点是斜边的中点，四边形是平行四边形．（1）如图1，延长交于点，求证：垂直
平分；BDACEABCED（2）如图2，联结、，如果平分，求证：．【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴ ，即；∴；∵点是斜
边的中点，∴；∴，即；又，∴ ．∴垂直平分．（2）延长交于点．由（1）可得垂直平分； ∴；∵平分，∴；∴；∴；∴；∵四边形是平行四
边形，∴；又，∴；∴；∴．7.（2020普陀区） 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（ ）A.4B.6C.D.【答案】C
【解析】（1）相似模型——“母子型”；（2）相似的性质：周长之比等于相似比8.（2020松江区）下列两个三角形不一定相似的是A.
两条直角边的比都是的两个直角三角形B. 腰与底的比都是的两个等腰三角形C. 有一个内角为的两个直角三角形D. 有一个内角为的两个等
腰三角形【答案】D【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．【详解】解：A. 两条直角边的比都是的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B. 腰与底比都是的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C. 有一个内角为的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D. 有一个内角为的两个等腰三角形，内角是的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.故选：D.ABCDEF9. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB = CD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，联结DE，且DE平分∠ADC．（1）求证：△ABE≌△ECF；（2）联结BD，BD与AE交于点G，当时，求证：．【答案】D证明：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．∴． ∵AD∥BC，∴． ∵DE平分∠ADC，∴．∴，∴CD=CE． ∵AB=CD， ∴AB=CE． ∵AE⊥BC，EF⊥CD，∴∠AEB =∠EFC = 90°． ∴△ABE≌△ECF． （2）∵∴． ∵∠ABG =∠DBA，∴△ABG∽△DBA． ∴∠BAG =∠BDA，∵AD∥BC，∴∠BDA =∠DBC，∴∠BAG =∠DBC．∵△ABE≌△ECF，∴∠FEC =∠BAG，BE = CF． ∵∠FEC =∠BAG，∠BAG =∠DBC．∴∠FEC =∠DBC．∴BD∥EF． ∴．∴． 即：． 10．（2021长宁区）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可．【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1易得四边形ADHM是正方形，∵又∠FED=∠MEA∴△∴∵∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°∵，∴∠FMH+∠HMC=90°∴∠FMH=∠HCM∴△FMH∽△MCH∴∴，∴（2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2，∵，∴，∵MH⊥DC，∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90°∵∠FMC=90°，∴∠FMH+∠HMC=90°∴∠FMH=∠HCM，∴∴，即，∴∴，，∴∴由 可得∴定义域为（3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，连接AG，AF，如图∵∵∴， ∵，∴∴∠∵∠∴∠∴∠∴垂直平分∴∵∴点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，连接DM，如图∵，∴，∴∵∠，∠FMC为直角，∴，垂直平分∴，，∴综上，或 |
|
