明天的 你会感激现在奋斗的你
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模型一：手拉手模型 — 全等
等边三角形
O D
D O
E C
E C
A B A B
条件： ?OAB , ?OCD 均为等边三角形
结论： ① ?OAC≌?OBD ;② ?AEB ? 60?
③ OE 平分 ?AED （易忘）
D O
O E
B A
C
E
A B
温故而知新 ~ 1 ~ 熟能生巧
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等腰 RT?
D C
E
D O O
C E
A B A B
条件： ?OAB , ?OCD 均为等腰直角三角形
结论： ① ?OAC≌?OBD ;② ?AEB ? 90?
③ OE 平分 ?AED （易忘）
O E
导角核心图形
A B
滴水穿石 ~ 2 ~ 锲而不舍
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任意等腰三角形
D D
O O C C
E
A B A B
条件： ?OAB , ?OCD 均为等腰三角形
且 ?AOB ? ?COD
结论： ① ?OAC≌?OBD ;② ?AEB ? ?AOB
③ OE 平分 ?AED （易忘）
模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：
① OA ? OB ， OC ? OD
② ?AOB ? ?COD
温故而知新 ~ 3 ~ 熟能生巧
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模型二：手拉手模型 — 相似
O O
C D D C
A B A B
条件： CD∥AB ，将 ?OCD 旋转至右图位置
结论：右图
?OCD∽?OAB ? ?OAC∽?OBD
且延长 AC 交 BD 与点 E
必有 ?BEC ? ?BOA
非常重要的结论，必须会熟练证明
滴水穿石 ~ 4 ~ 锲而不舍
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手拉手相似（特殊情况）
D O
O
D C C E
A B A B
当 ?AOB ? 90? 时，
除 ?OCD∽?OAB ? ?OAC∽?OBD 之外
BD OD OB 还会隐藏 ? ? ? tan?OCD
AC OC OA
满足 BD ? AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有
AD
2
? BC 2 ? AB 2 ? CD 2
1 S
ABCD ? AC ? BD （对角线互相垂直四边形） 2
温故而知新 ~ 5 ~ 熟能生巧
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模型三：对角互补模型
（全等型 — 90°）
A A M
C
E
C
E
D D
N
O B O B
条件： ① ?AOB ? ?DCE ?90?
② OC 平分 ?AOB
结论： ① CD ? CE ； ② OD ? OE ? 2OC
1 ③ S
ODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2 2
辅助线之一：作垂直，证明 ?CDM≌?CEN
滴水穿石 ~ 6 ~ 锲而不舍
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A
C D
B O E
F
条件： ① ?AOB ? ?DCE ?90?
② OC 平分 ?AOB
结论： ① CD ? CE ； ② OD ? OE ? 2OC
1 ③ S
ODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2 2
辅助线之二：过点 C 作 CF ? OC
证 明 ?ODC≌?FEC
温故而知新 ~ 7 ~ 熟能生巧
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当 ∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A M C
N E B
O
D
以上三个结论：（辅助线之一）
① CD ? CE 不变
② OE ?OD ? 2OC （重点）
1 ③ S?
OCE ? S?OCD ? OC2 （难点） 2
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
滴水穿石 ~ 8 ~ 锲而不舍
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当 ∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
C A
E B
O F
D
以 上三个结论：（辅助线之二）
① CD ? CE 不变
② OE ?OD ? 2OC （重点）
1 ③ S?
OCE ? S?OCD ? OC2 （难点） 2
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
温故而知新 ~ 9 ~ 熟能生巧
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A
C D
O E B
细节变化：若将条件 “ OC 平分 ?AOB ”与结
论 “ CD ? CE ”互换
条件： ① ?AOB ? ?DCE ?90?
② CD ? CE
结论： ① OC 平分 ?AOB ；
② OD ? OE ? 2OC
1 ③ S
ODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2 2
滴水穿石 ~ 10 ~ 锲而不舍
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（全等型 — 120°）
A C
D
O E B
条件： ① ?AOB ? 2?DCE ?120?
② OC 平分 ?AOB
结论： ① CD ? CE ； ② OD ? OE ?OC
3 ③ S
ODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2 4
请模仿（全等形 — 90°）辅助线之一完成证明
温故而知新 ~ 11 ~ 熟能生巧
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辅助线之二：在 OB 上取一点 F ，使 OF ?OC
证明 ?OCF 为等边三角形（重要）
A C
D
O E F B
结论： ① CD ? CE ； ② OD ? OE ?OC
3 ③ S
ODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2 4
必须熟练，自己独立完成证明
滴水穿石 ~ 12 ~ 锲而不舍
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当 ∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
C
A
E O
F B D
以上三个结论：（辅助线之二）
① ____________________
② _______________________（重点）
③ ________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
温故而知新 ~ 13 ~ 熟能生巧
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（全等型 — 任意角 ? ）
A
D C
E O B
条件： ① ?AOB ? 2? , ?DCE ?180? ? 2?
② CD ? CE
结论： ① OC 平分 ?AOB ；
② OD ? OE ? 2OC ?cos?
③ SODCE ? S?OCD ? S?OCE ? OC 2
难度较大，记得经常复习
滴水穿石 ~ 14 ~ 锲而不舍
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当 ∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A C
B O
E
D
以上三个结论：（辅助线之二）
① ____________________
② _______________________（重点）
③ ________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
请思考初始条件的变化，对模型的影响
温故而知新 ~ 15 ~ 熟能生巧
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（对角互补模型 --相似型）
A A
D D
C C
M
E B E N B O O
如图 ，若将条件 “ OC 平分 ?AOB ”去掉
条 件 ： ① ?AOB ? ?DCE ?90? 不 变 ，
?C O E?? ，结论中三个条件又该如何变化？
结论： ① CE ? CD
② (OD
；
E)cos? ?OC
1
2
③ S?OCD
滴水穿石 ~ 16 ~ 锲而不舍
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A
D
C
E F B O
证明：过点 C 作 CF ? OC ，交 OB 于点 F
∵ ?DCE ? ?OCF ?90?
∴ ?DCO ? ?ECF
∵ ?AOB ? ?DCE ?180?
∴ ?CDO ? ?CEO ?180?
∴ ?CDO ? ?CEF
∴ ?CDO∽?CEF
EF CE CF ∴ ? ? ? tan? （关键步）
DO CD CO
温故而知新 ~ 17 ~ 熟能生巧
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∴结论 ① 得证
∴ EF ?OD
∵ (OE ? EF) C
∴结论 ② 得证
S
?CEF
S?CDO
CF
2
CO
∴ ? ( ) ? tan ? 2
∴ S?CEF ? S?CDO
∵ S?OCE ? S?CEF ? S?OCF
1 且 S
?OCF ? OC
2
2
∴结论 ③ 得证
难度非常 大，请仔细认真复习
滴水穿石 ~ 18 ~ 锲而不舍
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对角互补模型总结：
① 常见初始条件：四边形对角互补
两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线
② 初始条件：角平分线与两边相等的区别
③ 常见两种辅助线的作法
④ 注意下图中 “ OC 平分 ?AOB ”
A
C D
O E B
?CDE ? ?CED ? ?COA? ?COB 相 等 是 如
何推导
温故而知新 ~ 19 ~ 熟能生巧
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角含半角模型 (90°)
D D
F
A A
F
B C C G B E E
条件： ① 正方形 ABCD ； ② ?EAF ? 45?
结论： ① EF ? DF ? BE
② ?CEF 周长为正方形 ABCD 周长一半
也可以这样：
条件： ① 正方形 ABCD ； ② EF ? DF ? BE
结论： ① ?EAF ? 45?
口诀：角含半角要旋转
滴水穿石 ~ 20 ~ 锲而不舍
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角含半角模型 (90°)
D A
C
F
E B
条件： ① 正方形 ABCD ； ② ?EAF ? 45?
结论： ① EF ? DF ? BE
辅助线：
D D A A
C C E B E B
F F
温故而知新 ~ 21 ~ 熟能生巧
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角含半角模型 (90°)
A A
F
C C B D E B D E
条件： ① 等腰直角 ?ABC ； ② ?DAE ? 45?
结论： BD ? CE ? DE 2 2 2
若 ?DAE 旋转到 ?ABC 外部时
F
A A
C D B E C D B E
结论： BD 2 ? CE 2 ? DE2 仍然成立
滴水穿石 ~ 22 ~ 锲而不舍
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角含半角模型 (90°)变形
D
A
F
D
F
A H H
G G
B C B C E E
条件： ① ?EAF ? 45? ;
结论： ?AHE 为等腰直角三角形（重点 /难点）
证明：连接 AC （方法不唯一）
∵ ?DAC ? ?EAF ? 45? ,∴ ?DAH ? ?CAE
∵ ?ADH ? ?ACE ? 45? ,∴ ?ADH∽?ACE
DA AC ∴ ? ∴ ?AHE∽?ADC
AH AE
温故而知新 ~ 23 ~ 熟能生巧
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倍长中线类模型
A
B
D A D
F F
H H C E B E
条件： ① 矩形 ABCD ； ② BD ? BE
③ DF ? EF
结论： AF ? CF
模型提取：
① 有平行线 AD∥BE
② 平行线间线段有中点 DF ? EF
可以构造 8 字全等 ?ADF≌?HEF
滴水穿石 ~ 24 ~ 锲而不舍
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倍长中线类模型
F M A M D A
D
E
B
E
C C B
条件： ① 平行四边形； ABCD ② BC ? 2AB ；
③ AM ? DM ； ④ CE ? AD
结论： ?EMD ?3?MEA
辅助线 :有平行 AB∥CD ，有中点 AM ? DM
延长 EM ，构造 ?AME≌?DMF ，连接 CM 构
造等腰 ?EMC , ?MCF
通过构造 8字全等线段数量及位置关系，角的大
小转化
温故而知新 ~ 25 ~ 熟能生巧
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相似三角形 360度旋转模型（倍长中线法）
C C
G
F F D D
A B A B E E
条件： ① ?ADE 、 ?ABC 均为等腰直角
② EF ? CF
结论： ① DF ? BF ； ② DF ? BF
辅助线：延长 DF 到点 G ，使 FG ? DF ，连
接 CG 、 BG 、 BD 证明 ?BDG 为等腰直角
突破点： ?ABD≌?CBG
难点：证明 ?BAD ? ?BCG
滴水穿石 ~ 26 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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相似三角形 360度旋转模型（补全法）
C C
G
F F D D
B A B A
E E
H
条件： ① ?ADE 、 ?ABC 均为等腰直角
② EF ? CF
结论： ① DF ? BF ； ② DF ? BF
辅助线：构造等腰直角 ?AEG 、 ?AHC
辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EH
温故而知新 ~ 27 ~ 熟 能生巧
明天的 你会感激现在奋斗的你
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任意相似直角三角形 360度旋转模型
（补全法）
H
D
O G O
A D A
B B
E C E C
条件： ① ?OAB∽?ODC
② ?OAB ? ?ODC ?90? ； ③ BE ? CE
结论： ① AE ? DE ； ② ?AED ? 2?ABO
辅助线：延长 BA 到点 G ，使 AG ?AB ，延长
CD 到点 H 使 DH ? CD ，补全 ?OGB 、
OCH 构造旋转模型，转化 AE 与 DE 到 CG
与 BH ，难点在转化 ?AED
滴水穿石 ~ 28 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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任意相似直角三角形 360度旋转模型（倍长法）
O O
A D A D
B B
E C E C
M
条件： ① ?OAB∽?ODC
② ?OAB ? ?ODC ?90?； ③ BEC?E
结论： ① AE ? DE ； ② ?AED ? 2?ABO
辅助线：延长 DE 至 M ，使 ME ?DE ，将结
论的两个条件转化为证明 ?AMD∽?ABO ，此
为难点，将 ?AMD∽? ABO继续转化为证明
?ABM∽? AOD,使用两边成比且夹角等
此处难点在证明 ?ABM ? ?AOD
温故而知新 ~ 29 ~ 熟能生巧
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最短路程模型之一（将军饮马类）
A'' l1 A
PA+PB
B P A B
l2
P l Q B''
B'' PA+PQ+BQ
A A'' A
A'' P B l
1
l2 l
P Q Q
AP+PQ+QB B'' AP+PQ+QB
\ B
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到： “两点之间，线段最短 ”解决
特点： ① 动点在直线上； ② 起点，终点固定
滴水穿石 ~ 30 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短 路程模型之二（点到直线类）
A A
H P C Q''
O
P
垂线段最短 Q M B
条件：如右图 ① OC 平分 ?AOB
② M 为 OB 上一定点
③ P 为 OC 上动点
④ Q 为 OB 上动点
求： MP ? PQ 最小时， P 、 Q 的位置
辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q'' ，转化
PQ'' ? PQ ，过点 M 作 MH ?OA
MP ? PA? MP ? PQ''? MH （垂线段最短）
温故而知新 ~ 31 ~ 熟能生巧
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之二（点到直线类）
l l
A 定点 A 所求点
P Q
C
动点 定点
P B B
条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点
1 问题：点 P 在何处， BP ? AP 最短
2
结论：以 A 为顶点作 ?PAC ?30? ，过点 P 作
1 PQ ? AC ，转化 PQ ? AP ,过点 B 作 AC
2
的垂线与 AP 的交点为所求（垂线段最短）
滴水穿石 ~ 32 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之二（点到直线类）
l l
A 定点 A 所求点
P Q
C
动点 定点
P B B
条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点
2 问题：点 P 在何处， BP ? AP 最短
2
结论：以 A 为顶点作 ?PAC ? 45? ，过点 P 作
1 PQ ? AC ，转化 PQ ? AP ,过点 B 作 AC
2
的垂线与 AP 的交点为所求
温故而知新 ~ 33 ~ 熟能生巧
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之二（点到直线类）
y y
A A
P P D
E
O x O C x B B
条件： A(0,4) 、 B(?2,0) ， P(0,n)
5 问题： n 为何值时 ， PB ? PA 值最小
5
5 结论： ① x 上取点 C(2,0) ，使 nsi?OAC ?
5
② 过点 B 作 BD ? AC ，交 y轴于点 E 为所求
1 ③ tan?EBO ? tan?OAC ? ，即 E(0,1)
2
滴水穿石 ~ 34 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之三（旋转类最值模型）
B
最大值位置
O A
最小值位置
条件： ① 线段 OA ? 4 , OB ? 2 (OA ? OB)
② OB 绕点 O 在平面内 360? 旋转
问题： AB 的最 大值，最小值分别为多少？
结论：以点 O 为圆心， OB 为半径作圆，如图
所示，将问题转化为 “三角形两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边 ”
最大值： OA ? OB ；最小值： OA ? OB
温故而知新 ~ 35 ~ 熟能生巧
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之三（旋转类最值模型）
B C
O A
P
条件： ① 线段 OA ? 4 , OB ? 2
② 以点 O 为圆心， OB ， OC 为半径作圆
③ 点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点
问题： 若 PA 的最大值为 10 ，则 OC ? 6
若 PA 的最小值为 1 ，则 OC ? 3
若 PA 的最小值为 2 ，则 PC 的取值范围是
0 ? PC ? 2
滴水穿石 ~ 36 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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最短路程模型之三（旋转类最值模型）
C
C
P
B A O
P
B A O
条件： ① Rt?OBC ， ?OBC ?30?
② OC ? 2 ;③ OA ?1 ； ④ 点 P 为 BC 上动点
（可与端点重合）； ⑤ ?OBC 绕点 O 旋转
结论： PA 最大值为 OA ? OB ?1? 2 3
1 PA 最小值为 OB ? OA ? 3 ?1
2
如右图 ,圆的最小半径为 O 到 BC 垂线段长
温故而知新 ~ 37 ~ 熟能生巧
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最短路程模型之四（动点在圆上）
D
P
E M Q
F A
O C B
条件：以点 O 为圆心三个圆， OA 、 OD 固定
OP 绕点 O 旋转
问题：点 Q 在什么位置时， EP ? MB 最小
辅助线：连接 DQ 、 QC ，当 Q 、 D 、 C 三
点共线时， EP ? MB ? DQ ? QC ? DC 最小
滴水穿石 ~ 38 ~ 锲而不舍
明天的 你会感激现在奋斗的你
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经 典模型系列手册
最短路程模型之四（动点在圆上）
A D
A D
M P P
B B N E C C
条件： ① 正方形 ABCD 且边长为 4 ；
② 的半径为 2 ； ③ P 为 上动点
问题：求 PD ? (PC / 2) 最小值
辅助线 :过点 E 作 EM∥PC ，取 BE 中点 N
转化思路：将 PC / 2 转化 ME ，将 ME 转化为
MN ，因此 MD ? MN 的最小值为 DN 长度
总结： PC / 2 的比值不是随意给出的，而是圆
的半径 r / BC
温故而知新 ~ 39 ~ 熟能生巧
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二倍角模型
A A A''
B C B C
条件： ?ABC 中， ?B ? 2?C
辅助线：以 BC 的垂直平分线为对称轴，作点
A 的对称点 A'' ，连接 AA'' 、 BA'' 、 CA''
则 BA'' 为 ?ABC 的角平分线，
那么 BA? AA'' ?CA'' （注意这个结论）
此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助
线作法之一，但并不是唯一作法
滴水穿石 ~ 40 ~ 锲而不舍
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相似三角形模型
（基本型）
E D
A
A
E
A
D E D
B C B C B C
A字型
平行类： DE∥BC
AD AE DE
8字型 A字型
结论： ? ? (注意对应边要对应 ) AB AC BC
模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第
20 题的第二问也经常会考查 “ A 字型 ”“ 8 字
型 ”相似，建立方程。
温故而知新 ~ 41 ~ 熟能生巧
明天的 你会感激现在奋斗的你
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相似三角形模型
（斜交型）
A A A
A E E
E E D
C
D B B C B C B C 斜交型 斜交型 斜交型 双垂型
条件：如左面两个图 ?AED ? ?ACB ?90?
结论： AE ? AB ? AC ? AD
条件：如右面两个图 ?ACE ? ?ABC
结论： AC 2 ? AE ? AB
第四个图还存在 AB? EC ? BC ? AC
BC 2 ? BE ? BA , CE ? BE ? AE 2
滴水穿石 ~ 42 ~ 锲而不舍
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相似三角形模型
（一线三角型）
A A
E
A
B
E E
C D B B C D C D
条件：左图： ?ABC ? ?ACE ? ?CDE ?90?
中图： ?ABC ? ?ACE ? ?CDE ? 60?
右图： ?ABC ? ?ACE ? ?CDE ? 45?
结论：所有图形都存在的结论
① ?ABC∽?CDE ； ② AB? DE ? BC ?CD
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关
系
温故而知新 ~ 43 ~ 熟能生巧
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相似三角形模型
（圆幂定理型）
A A D A
P P
C C P C
B B B
D
条件：中图， PA 为圆的切线
结论：左图： PA? PB ? PC ? PD
中图： PA 2 ? PC ? PB
右图： PA? PB ? PC ? PD
以上结论均可以通过相似三角形进行证明
滴水穿石 ~ 44 ~ 锲而不舍
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