高中物理的一些概念阐明、隐含结论及技巧 12

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高中 物理的一些概 念阐明、隐含 结论及技巧

高中物理的思维难度可以说远不及数学，平时多积累，多思考，理解清楚物理公式，物
理一般就能学好。然而很多同学不能物准确理解物理公式的含义、适用条件，这儿阐明一些
基本概念，帮助大家理解一下。同时还有一些小技巧和挖掘教材得到的小结论，可以提高做
题速度以及帮助熟悉概念。
最好有比较好的数学基础。 如果数学非常好， 理论物理大部分都可以进行纯数学分析了。
说明：
带△的含有技巧。
带 的如果时间充裕最好看看，可能会涉及。
粗体字母表示矢量。
、 等表示微元、 即???? 、 ???? 无穷小。 没必要害怕， 不会涉及微积分， 这些东西都很直观。
2 ? ? 2
′ ′′
就是对 求导，即 = ； 表示对 求两次导，即 = = 。
2 2
′
= ， 、 等微元可以像普通的数一样进行四则运算。 以下的微元都用 “ ” 表示。

一. 一 般的 平衡条件
高中常常把一个物体简 化为质点。因而 平衡的 数学条件只有外力的矢 量和为 0 ，这仅仅
针对共点力。
但某些物体是不能简化为一个质点的， 比如一根杆， 中心固定， 两头施加等大法向的力，
其力的矢量和为 0 ， 然而按照生活常理， 这根杆 是可以转动的， 转动的物体显然是不平衡的。
因而对于一般物体，还有 1 个平衡条件，就是 外力力矩（矢量和）和为 0 。
然而力矩是相对 某点或某 根轴而言的 ，对于不 同点的力矩是不 一定相同 的。这里有 一个
结论，是充分必要的：如果外 力矢量和为 0 ， 则对 任意点的力矩 相等 。
（至于力矩的方 向确定， 简单地讲就 是这样一 种规则：若对某 一点取矩 ，则假定这 点不
动，看力作用在 物体上是相 对这点做顺 时针还 是逆时针转动， 设一个正方 向，一般取 逆时针
为正，顺时针为负。 ）
所以平衡的数学条件是：
1. 外力矢量和为 0
2. 外力对任意一 点的力矩和为 0
注意： 平衡与物体的速度无关， 比如一个简谐 运动， 质点位于平衡位置， 则它出于平衡状态 ，
只不过是瞬时的平衡状态。
由平衡的数学条件衍生出以下几个常用结论：
1. 对于刚体（不变形的物体） ，力可以沿作用下平移。
2. 一个物体受二力作用平衡，则二力一定等大共线反向。
3. 一个物体受三力作用平衡，则三力作用线一定交于一点。
4. 分布力可以简化成作用于某点的集中力。 常见分布力： 重力、 摩擦力、 浮力、 万有引力等。
重力简化成作用 在重心；摩 擦力粗略简 化成作 用在中心（实际 情况是简化 成作用在接 触面形
心） ；一般性结论：线性分布力一般简化在物体中心。
浮力简化成作用在浮心， 浮心不等于重心， 若 物体的截面为矩形或圆， 浮心一般等于重
心。
关于万有引力， 将施力物体简化成质点， 即引力中心。 引力中心不等于重心， 对于匀质
球壳，球壳也可 简化成球心 的质点，以 此可以 类推匀质圈层构 造的球体， 可以简化成 球心处
的质点。 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

二. 速 度、加速度 的精确定义
我们知道速度 = ，即位移对时间的导数（注意 也是矢量，矢量的变化量还是矢量）
2
加速度 = = ，即速度对时间的导数，位移对时间的二阶导数
2

如果建立一个直角坐标系。矢量 = ( , )
所以速度的 轴分量： = ′ ； 轴分量： = ′ （注意：对时间 求导）
容易知道位置坐标的变化量与位移变化量相等。 设 是从坐标原点指向某点的矢量， 即 = 。
加速度同理。
角速度同理 =
建立坐标系后， 设 为从 轴开始逆时针选择的角 度，转 角 的变化量 = ， 即位置角度坐
标变化量等于转角变化量（角度位置坐标可以随便选择，一般选择成上面的形式） 。所以
= = ′

△三. 速度分解
速度分解的一般 2 种比较难的题型：
1. 系统是一个刚体，求刚体上的两点的速度关系。
2. 系统不一是个刚体或者由几个刚体组成，要分析某点的速度，包含转动的角速度。
对于题型 1 就用速度投影
速度往某个方向的分解量的意义是在这个方向的速度大小。
在刚体上， 由于任意两点间距离不变， 所以任意两点的在这两点连线上的速度分量是相等的。
所以我们可以通过这个关系求一些稍微复杂点的运动关系。
例 1 ： 一根杆靠在光滑的直角墙角处， 倾角 ， 若已知上端点 的速度 ，求 下端点 的速度 。
解： 对 、 的速度向杆的方向进行速度分解， 虽然投影有无数种情况， 但不管另一个速度分
量如何，因为杆 是不变形的 ，在杆上的 速度分 量总是相等的。 所以取最简 单的矢量投 影形式
即可。
= ，所以 = ?? ????
若一个质 点的速 度分 量 ′ 和与某固定 点的连 线垂 直，则可 以看出 ，这个 质点 相对这 个固定点
′
在转动。如果另一个速度分量满足一定关系，则有圆周运动的关系 = 。
对于题型二就用这个不严格的速度投影方法， 只能叫方法， 不严格， 但对高中范围是正确的。
这个要求 2 个方向的分解要是确定的， 一个分 量垂直于与某固定点的连线 （转动分量） ， 一个
分量沿着这条连线（相对速度分量） 。
常见的模型：探照灯模型、人在岸上通过定滑轮拉船模型等。
例 2 ：探照灯以匀角速度照射，某高度? 有一片云，求灯光在云上的光斑的速度。
选取云上的光斑 ，其速度在 与光线垂直 的方向 ，是绕光源定轴 转动，其沿 着光线的方 向是在
′
远离光源，可知此速度分量就是角速度 与光斑到灯距离 的乘积 = 。只要知道光线倾
′
2
角 ，即可知道光斑的速度 = = = ? 。
就是如果知道速 度在某个方 向的分量具 体意义 ，就能通过这个 关系知道其 绝对速度； 反之，
知道绝对速度，也能根据这个关系知道这个速度在这个方向的分量。
???? ?? ???? ??
??????
???? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

附：或许对于大 家来说，理解 这些太复 杂了， 做这种速度分解 的题有没有 模式化的方 法？当
然有。前面讲的用隐函数求导法则。
就拿例 1 来说吧。设杆长 ，以墙角作为坐标原点，建立直角坐标系。
端距墙角距离为 ， 端距离墙角距离为 。
2 2 2
显然任意时刻 + =
, 皆可看作关于时间 的函数。
我们已知位置函数对时间求导是速度，′ = ， ′ = 。
对时间 求导，2 ????′ + 2 ′ = 0
即 + = 0 ， = ?? ???? ，所以有 = ? ?? ????
（由于这个做法没有规定速度方向，所以有个负号，只表示速度大小取个绝对值就行了。 ）

还可以有第二种求导的方式：
端距墙角距离为 ，显 然 = ，B 端距离墙角距离为 ，显 然 = 。 位置转角对时
′
间的函数是角速度 =
对 求导
′
′ = = = ， ′ = = ? ′ = ，两式相除。
= ? ，即 = ? ?? ????
2 2 2
还可以有第二种求导的方式：显然任意时刻 + = ，对时间 求导，2 ???? ′+ 2 ′ = 0
即 + = 0 ， = ?? ???? ，所以同样有 = ? ?? ????
同理对于例 2 。以光源作为坐标原点，建立直角坐标系。
′ 2 ′ 2 2
| |
显然 = ? ， = = ? ? = ? ? ，取绝对值就是 = ?
求导首先要建立坐标系，然后写出所有变量的几何关系，然后求一次导就可以得到速度的关
系。几何关系的表达可以有多种，但最后都是一回事，选择最简单的途径就行。

△四. 已知图形轨 迹求解的技 巧
打点 计时器的纸带 求解 技巧
一般常用到 2 个公式
1. 求某个点的速度
这个点的速度等于从这个点之前的点到之后的点的位移上的平均速度。
+
1 2
设这个点与前后两点的距离之和为 + ，时间间隔???? ，则 =
1 2
2 ????
2. 求加速度
书上的标准公式
+ +
1 2 3
2 2 2
? = 3 ， ? = 3 ， ? = 3 ， =
4 1 1 5 2 2 6 3 3
3
2
( ) ( )
事实上带入 、 、 ，显然有 + + ? + + = (3 )
1 2 3 4 5 6 1 2 3
发现后三段之和减去前三段之和，时间间隔为3
令 = + + ， = + + ， = 3
4 5 6 1 2 3
2
即 ? = ，和基本公式的形式不是完全一样吗？
因而求解时不必一个个去算了， 直接计算就行。 （扩大测量范围， 可以减小误差， 这是很显然
?????? ???? ?????? ??????
???? ??
???? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ???? ??????
???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
的 。）

平抛 运动的求解技 巧
常常见到求解平抛运动问题的轨迹坐标图。
一般两类问题：
1. 求水平速度
在横轴上选取间隔相等的两段， 记一段长度 ， 因为水平方向速度恒定， 所以时间间隔???? 相
等，所以 = ???? 。竖直方向上是匀加速度运动，所以相等时间间隔的位移差 ? =
2 1
2
???? 。所以
2
?
=
?
2 1
2. 求平抛运动的抛出点坐标
一般性解法就不说了，有人觉得套公式很烦，有个更好的方法，用纯数学方法。
平抛运动的物体轨迹是抛物线，所以抛出点就是抛物线的顶点。
2
只需设抛物线方程顶点坐标( , ) ，用其顶点式 ? = ( ? ) ，3 个未知数，带入 3
0 0 0 0
个点的坐标就求出来了。

五.曲线 运动
速度大小 = ，即位移对时间的导数
物体做圆周运动会用掉一部分外力提供向心加速度。
比如一个小球冲上一个半圆轨道，到达最高点的速度不为０，最小都是 ???? ，否则小球会因
?
重力剩余而掉下来。
宇宙飞船上的人因为重力全部提供向心力，因而重力的实际作用效果为 0 。
2
? 法向加速度 = ，和向心加速度是一个表达式，纯粹使速度改变方向。
（ 数学上，某曲线的曲率半径可以根据此公式来求）
? 切向加速度 = ，即速率对时间的导数，纯粹使速度改变大小。

六. 动 量问题
1. 两个质点在一条直线上的碰撞问题，容易证明以下结论。
(1)弹性碰撞（没有产生应变能，无机械能损失 ）的基本结论：
若有一个质点静止，则小质量的质点在碰撞后会反向；质量相同的质点碰撞后交换速度。
(2)完全非弹性碰撞（形变无法恢复）的一些 结论：
若一个质点去去碰撞另一个静止的质点，则系统损失的机械能大于静止质点碰撞后的动能。
引申到子弹打击木块，则子弹在木块中的相对位移大于木块的绝对位移。
若有一个小质量质点去碰撞一个静止的大质量质点，则系统机械能损失还大于剩余机械能。
2. 典型模型：人船模型、弹簧模型。类似人船模型的，定滑轮两端分别连接两个物体（把一
端的全部受力翻转 180度 ）。

七. 动 能、势能、 能量 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
2
动能定理：???? = ， 是力作用点的绝对位移，不是相对位移。
2
动能定理和机械能守恒定律以及能量守恒定律，是有根本区别的。区别就在于动能定理中位
置变化量的区别。在机械能守恒定律和能量守恒定律中，位置变化量可能是相对变化量。如
重力势能、 弹簧弹性势能是位置相对变化量， 摩擦生热的定律 = ???? ， 也是相对变化量 （顺
便说一句，在系统动量为 0 时，常常结合能量 守恒、动量守恒和摩擦生热来求相对位移） 。
物理意义上场：高中学过的场：重力场、引力场、静电场、磁场、感应电场。
有势能的物体在势场 （如重力场、 引力场、 静电场 （ 感应电场不是势场） ……） 中， 势场力
做功与路径无关。
注意：磁场不是势场，没有磁势能这一说法。

八. 简 谐运动
简谐运动的受力：只要合外力力与位移成一次函数且斜率小于 0 ，即 = ? + ( > 0) ，
就是简谐运动。 合外力为 0 的点就是平衡位置。 （由于位移是个相对量， 故可以通过平移坐标
系，使得和简谐运动的精确定义一致。 ）
周期： = 2 ?
简谐运动模型：固定弹簧振子振动、单摆、 匀速圆周运动的物体水平或竖直方向的运动、
两个物体连接弹簧整体无初速度的运动。
（高中生完全可以利用匀速圆周运动的那个特点不用微积分证明周期公式。 ）
下面用高中方法来证明一下两个物体连接弹簧整体无初速度的运动， 两个物体都是做简谐运
动。
设弹簧压缩 后释放。两物体 , 质量 , ，弹簧劲度系数 。
1 2
证明：记初状态位移为 0 ，某时刻 的位移 ， 的位移
的受力 = ( ? ? )
1
又由二者动量守恒，所以 = ， = ， =
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
+
1 1 2
所以对于 ，有 = ? ? ? ? = ? +
1
2 2
+
1 2 2
平衡位置： = ? + = 0 ，得到 = ，即系统质心处。
1
+
2 1 2
将坐标向系统质心处平移即知 做简谐运动。
1 1 2
?
周期： = 2 = 2 = 2 （二物体周期相等）
?
+
?
1 2 +
1 2
2
同理可证。
（附：在弹簧模型中，如果系统有初速度，则是以初速度的匀速运动与此简谐运动的叠加。）

△九. 波动
波的频率只与波源有关， 机械波的速度只与介质有关 （弹性、 密度， 弹性越差 、 密度越小波
速越大） ，波长是可变的。光波的颜色取决于波的频率而不是波长。
判断机械波质点振动方向：质点振动方向与波的传播方向的箭头指示在波形的同侧。
非高考问题：机械波中，为什么纵波比横波快？ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
原因：纵波 = ? ，横波 = ? （E 是弹性模量，G 是剪切弹性模量， 是密度）
（若某弹性物体劲度系数为 ，则 = （ 是横截面积） ）
所谓剪切简单理解就是垂直横截面积方向的力，横波是靠剪切力带动的。
又 = ， ? 0.5 < < 1 ， > ，所以 >
( )
2 1 +
折射定律为什么是那个正弦关系？
原因： 光在不同介质中速度不同， 折射后经过 的时间最短。 （有兴趣可以用求导的知识证明一
下啊。 ）


十. 分子热运动
对气体做功：压缩气体（压力有位移）
气体对外做功：气体膨胀
两个公式： = ?? ????
1
? ? ?
? ?
= 为单位体积内分子个数 ，故压强与分子平均动能成正比
3
1
（ 与微元立方体的六面分子速度分布概率相等有关）
3

十一. 电场的基本 概念和结论
1 ???? ???? 1
（真空电场力的正规公式是 = ，有些教材仍然写成 = ， =
2 2
4 4
0 0
是真空电容率，我以下按照老公式书写。
0
区别导体和绝缘体
导体的净电荷（除去相互抵消的电荷）分布在导体表面。
绝缘体的净电荷均匀分布在带电的部分。
如果两个带点球壳，带电量分别为 、 时
?? ????
(1) 若电性相反，则它们之间的电场力要大于
2
原因在于电荷会因引力作用聚集到近端。
?? ????
(2) 若电性相反，则它们之间的电场力要小于
2
原因在于电荷会因斥力作用聚集到远端。
有关静电场的结论：
电场线越密集的地方场强越大。
沿着电场线方向电势减小。
（电势能 = ，大小除了看电场线外，还要看电性。 ）
电场一定垂直等势线（若不垂直，则在等势线切向的分量会做功） 。
稳定带电导体的表面为等势面，所以某处的电场一定垂直于这点的切面。
大地的电势取 0 。

静电 平衡
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1. 一电荷在导体空腔外部， 不管导体是否接地， 导体腔内场强为 0 （带电导体内部场强均为 0）。
2. 一电荷在导体空腔内部，则这个导体外部场强不为 0 。
3 一电荷在导体空腔内部， 若导体外侧接地， 则导体外部场强为 0 。 这个不好理解， 可以这 样
（理解：导体内部（是导体内部的部分，区别于导体腔内部）在任何情况下场强均为 0 ，如
果接地，外表面电荷消失，相当于外表面扩大到了无穷远处，除了导体内表面外的所有空间
均为导体“内部” ，又导体内部场强均为 0 ，除了导体内表面围成的区域，场强均为 0。）

电容 的结论
电容常考，有 2 个电容的结论：
1. 根据定义式 = 和决定式 = 消去 C 得到 = （ 是电容率）
4 ???? 4 ????
所以外加电源， 不变， 与 成反比。
4 ??????
2. 又 = ，所以 =
所以孤立电容， 不变， 与 成正比，电场是定值，与电极板距离无关。

十二. 恒定电流的 结论
? 电压与电子漂移速度成正比。 = ???? = = ????
2
电能与电子的动能成正比。 = = ???? ?????? = =
电路关键是搞清楚实际加在某元件两端的电压，消耗能量的元件都可视为等效电阻，都可以
用欧姆定律进行计算，只不过电阻是把电能转化为热能、而其他元件是转化为其他形式的能
量。
串反并同原则：一个电路中，某个元件的电阻升高，与之广义串联（把其他元件看成导线，
与之是串联就是广义串联）的元件两端电压、电流、功率都下降；与之广义并联（把其他元
件看成导线，与之并联的就是广义并联）的元件两端电压、电流、功率都升高。
自己：判断电流变化：可以假设串联一个理想电流表（无内阻） ，电流降低。
判断电压变化：可以假设串联一个理想电压表（内阻无穷） ，电压升高。功率不确定。
电容、断路一律视为等效电阻无穷大。

恒定电流部分主要考实验，实验的部分我有空再写。

十三. 磁场
磁通 量
磁感线条数的确定原则是单位面积上磁感线条数正比于磁感应强度
即 = ，又磁通量 也有 = ，所以 = ， = ????
即某个面上穿过的磁感线条数正比于这个面的磁通量。 （这是判断基本的磁通量问题的依据。 ）
磁场与速度方向不垂直时洛伦兹力的方向： = × ，右手除拇指以外的四指从的方向
弯向 的方向，拇指方向就是 的方向（向量外积的右手定则） 。
洛伦兹力是产生安培力的原因，但是安培力可以做功然而洛伦兹力不能做功：因为洛伦兹力
是把运动电荷的方向往垂直于通电导线的方向偏移，使电荷和导线作用从而使导线受力。就
如同一根绳子连着一个电荷，去撞击通电导线，通电导线收到力，消耗的是电荷的动能，绳
子并没有做功，同时电源会源源不断地为电荷补充失去的动能。

???? ???? ???? ???? ???? ????
????
?? ?? ????
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电荷 在磁场中的偏 转问题 （速度垂直于磁场的 情形）
常用结论：速度方向偏转角度等于电荷做圆周运动轨迹的圆心角。
计算经过的时间的常用公式：
2
由 = ， = ， = 得到 = 。
????
用到的几何知识：圆周角等于对应圆心角的一半，圆周角等于对应弦切角。

十四. 电磁感应的 一些问题
小结论：闭合电流回路所受安培力合力为 0 。 （提示：从最简单的闭合图形三角形出发）

磁场变化时，求导体棒的运动趋势
比如一个线圈，一块磁铁靠近线圈，问线圈是收缩还是拉伸或者受力方向？
这类问题最好不要直接用楞次定律判断受力方向。先用楞次定律判断感应电流的方向，再用
安培左手定则判断受力方向。

感应 电动势产生的 原因
1. 动生电动势：由于洛伦兹力的作用，使电子的运动方向从垂直于导体棒的方向偏转到导体
棒的方向，从而使电子与导体棒直接有相对运动，从而产生电流，本质上是外部提供导体棒
的动能，从而转化为电子的动能，进而转化为电能。洛伦兹力不会做功。
2. 感生电动势是由于产生了有旋电场。二者有本质区别。
由 = = ′ ， = ???? （ 为闭合回路围成的面积）
、 皆可视为时间 的函数， = ′ = ′ + ???? ′
′ 即磁场随时间的变化率， ′ 即面积随时间的变化率
′ 就是感生电动势，???? ′ 就是动生电动势，所以
感应电动势＝动生电动势＋感生电动势
如果磁场随时间变化，则一定要加上感生电动势。
在导体棒切割磁感线的模型中， = ???? + ′
当然，最标准的是用 = ，只不过会涉及求导，看个人习惯了。
注意 = ???? ?? 的适用条件：
1. 要垂直于导体棒，如果不垂直，则是 在垂直导体棒方向的投影。
2. 适用磁场可以随空间变化，但仅在运动方向上的变化。 为运动方向，即 = ( ) 。
3. 磁场不随时间变化

导体棒转动
2
1. 导体棒绕一端在转动，刚好某个微元上的感应电动势是线性的，所以总电动势 =
2
2. 导体棒绕中点转动，注意以中点把导体棒分成两部分来看，两个部分运动方向相反，产生
的感应电动势大小相等，刚好抵消，因而总电动势为 0 。
2 2
( )
?
1 2
3. 导体棒绕某一点转动，类同 1 、2 ，注意抵消的部分。 =
2
（ 、 分别是远端和近端到转轴的距离）
1 2

隐含结论：
?? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
若磁场为匀强磁场，由 = ， = ???? ， =
????
得到 = ，所以 =
即不管变化过程如何，闭合回路中电荷通过量只与磁通量变化量有关。

最基 本的模型 ：磁场垂直于导轨平面，2 根导 轨，1 根导体棒切割磁感线运动。
问题导体切割磁感线产生感应电动势 = ???? ?? ， 从而回路中有电流， 有电流就又会产生磁场，
会不会对原磁场有影响？
会产生自感，有一定影响，考试时可以忽略。
1. 如果回路中有一电源 ，则导体棒会收到安培力作用运动。
0
导体棒只要切割磁感线就会产生感应电动势，这个电动势 = ???? ，由右手定则已知这个感
?
0
应电动势会抵消一部分原电源，因而实际电流为 =
。
安培力的决定因素就是通过导体棒的实际电流 ，此时安培力 = ?? ???? 。
2
( )
? ?
0 0
2
电源提供的功率 = = ，焦耳定律知热功率 = =
0 0 0
?
0
安培力对导体棒的功率′ = = ?? ???? = =
?
0
感应电动势的功率 = = = ′ ，安培力的功率就等于感应电动势的功率。
由能量守恒知， 外来能量只有电源电能， 确定消耗能量的地方有电阻生热和提供导体棒动能，
产生感应电动势是否消耗能量暂时不确定。但是发现 = ′ + 。说明感应电动势以产生安
0
培力的形式把能量转化导体棒的动能，事实上自身并没有消耗能量，这是因为感应电源不会
像化学电源那样储存能量。感应电动势既不产生能量，也不消耗能量，只是一个转化能量的
中介。这个特点在其他模型中也会看到。
2. 回路中无电源，外力作用导体棒运动。
显然会产生感应电动势，然而有了感应电动势后，回路中就有电流，有了电流，导体棒上就
有安培力。用左手定则很容易知道，安培力肯定和外力方向相反（否则能量不守恒） 。
2 2 2 2 2
某时刻速度 v ，安培力大 = ?? ???? = = ，安培力的功率′ = ???? =
2 2 2 2
感应电动势的功率 = = = = ′
再次看到，感应电动势的功率同样等于安培力的功率，由此发现安培力和感应电动势是伴随
产生的，感应电动势转化能量以安培力的形式来做功。
这个过程有点类似汽车加速。最终当加速到一定速度时，安培力会和外力相等达到稳定。
2 2
0
即稳定时的速度 ，外力 = = ， =
0
2 2
0
稳定时感应电动势 = ???? =
????
可能仅在某个方向的运动是在切割磁感线
比如磁场方向垂直于竖直平面、一个线圈做平抛运动进入磁场，则仅有水平方向的速度对产
生感应电动势起作用。
3. 回路无电源、无外力作用，导体棒有初速度。 （详见最后阻尼运动问题）
????
????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

自感
一个自感线圈和灯泡并联
1. 开关闭合时，自感线圈产生感应电动势与加在两端的外电压抵消，通过的电流几乎等于 0 ，
可暂时把自感线圈视为断路。此时通过灯泡的电流几乎等于干路电流。过一会，随着自感线
圈的感应电动势减小，灯泡被短路，因此灯泡是缓慢熄灭。
2. 开关断开时， 自感线圈产生感应电动势， 线圈与灯泡组成新的闭合回路， 灯泡原来被短路，
此时连通，因此灯泡闪亮一下，然后缓慢熄灭。

回旋加速器
2
决定粒子最终速度的式子是 = 与加速狭缝的电压无关。
因为电压大小只影响加速次数和所用时间，最终出来的速度是一定的。
隐含结论：即任何粒子加速所需的时间相同。
????
? 粒子加速时间 = （ 为回旋加速器面积）
2
能看懂下面这个推导过程，差不多这一部分就没问题了。
证明：设通过加速狭缝次数为 ，狭缝宽
2 2 2 2
????
= ，?? ???? = ，得 =
2 2 ????
2
2
偏转时间 = ， = ，得 =
1 1
2 ???? 2
加速时间
2
可以把所有每一段在狭缝的加速位移拼接起来，其实就是匀加速直线运动。总位移为 ???? ，加
2 2 2 2
1 2 ???? ???? ??????
2
? ?
速度是 ，所以???? = ， = = 2 × =
2
2
???? 2 ???? ???? 2 ???? ????
2 2
?????? ( + 2 ???? )
因此 = + = + = =
1 2
2 2 2

十五. 不用微积分 解决的非线 性问题
二次 平方反比力 （万有引力和单个点电荷的电 场力）
万有引力的引力中心圈层
取无穷远处势能为 0 。 （负电荷电场力的和万有引力有共同的形式及方向，可以类比）
建议记住下面的势能公式。
??????
引力势能 = ? ，动能 = ?
2
到引力中心的距离增大，势能增大，动能减小，机械能增大
势能 = ，动能 = ?
2
对于负电荷，到电荷距离增大，势能增大，动能减小，机械能增大，正电荷反之。
下面就重点说万有引力，电场力可以类比万有引力。
开普勒第二定律可以推出：天体运动中，做圆锥曲线运动的某点速度 与到天体中心距离 成
反比。 （ 实质是动量矩守恒， 个人觉得反比关系的表述反而比那个面积关系的表述更加简单）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
变轨： 小圆加速变椭圆， 椭圆远地点加速变大 圆 （近地点加速不涉及） ， 减速同理。 这个可用
来判断轨道上机械能的大小。

第一宇宙速度 ， 第二宇宙速度 。 卫星在地球表面以初速度 切向发射， 中途不受其他力 （不
1 2
考虑其他星体引力影响）
1. = 做匀速率圆周运动 2. < < 做椭圆运动
1 1 2
（3. = 做抛物线运动4. > 做双曲线运动）
2 2

同理，可将地球简化为一质点。某高度的卫星，速度若大于此高度做匀速率圆周运动的卫星
的速率，将做椭圆运动（未逃逸的情况下） 。
举个例子：2 质量相等的卫星，一个做椭圆运动，一个做圆周运动，椭圆的远地点距离等于
圆的半径，哪个卫星的机械能更大？椭圆的远地点距离等于圆的半径相等说明最大引力势能
相等，所以做椭圆运动的物体要想做圆周运动，就必须加速。也可以这样理解，在远地点，
做椭圆运动的卫星因为速度不够大，会被引力拖回来，而做圆周运动的物体则不会，所以做
圆周运动的物体动能机械能更大。

周期相等（椭圆长轴相等）的运动机械能相等，所以周期越大，机械能越大。
（可以用高中方法证明，要用开普勒第二定律。记不起哪个省份的高考题考了一道选择题，
可能教材不一样） 如果要考证明， 那也没办法 （肯定会给出引力势能公式） 。 给你证明， 有兴
趣可以看看。
??????
? 证明：已知势能公式 = ?
某椭圆运动， 设远地点距离 ， 近地点距离为 ， 周期相等， 由开普勒第一定律知长轴长 + 是
个定值。
设远地点速度为 ，近地点速度为 。
1 2
由开普勒第二定律，取一个微元面积 = = ，所以 = 。
1 2 2 1
又远地点和近地点机械能相等
2 2 2
?????? ?????? ?? ?? ????
1 2 1
? = ? ，所以 =
( )
2 2 2 +
2
?????? ??????
1
机械能 = ? = ?
2 +
因此，机械能是个定值，故周期相等机械能相等。
??????
? （同时也说明机械能 = ? ，为椭圆长轴长）

其他星球皆可类比地球。点电荷的问题也可以类比地球。

阻尼 运动问题
即初速度为 ，合外力力与速度成正比，即 = ????? ，求最终位移（这种情况物体一定会停
0
下来）或者已知某时刻的速度的位移。
这种类型有个巧合，虽然是变加速运动，但刚好可以不用微积分求出位移，高考常考。
由动量定理? = = ，带入力的表达式 = ????? ，得到 =
= ，所 以 = ， 即每时每刻都有这个关系， 无限个 相加就是位移 ， 无限个 相
??????
???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
0
加就是速度总变化量 ，因此???? = ， = 。
0 0
( ? )
0
已知某时刻的速度的位移，速度总变化量为 ? ，所以 =
0
具有这种受力特点的受力模型有：
2 2
1. 导体棒有初速度切割磁感线 = ?? ???? = =
2. 在水中悬浮的球收到水粘滞力的作用 = ?????
3. 空气阻力 = ? ，低速状态 通常为１。
合外力是牵引力的情况也可以这样计算。

汽车 加速问题
不管汽车以何种方式加速， 中途过程如何， 速度必然增大， 因为加速度是速度对时间的导数，
所以加速度大于或等于 0 ，即牵引力大于等于阻力，当速度增加到一定值，即功率达到额定
功率，???? = 时，由于速度增大，牵引力会不断减小，最终大小等于阻力。
即 = ，最终速度可以求出， = 。

建议大家留意一下这些巧合，即可以不用微积分证明非线性问题的。用高中知识能解决的东
西都可能考，教材上有不少东西可以挖掘。
????