中小学数学解题研究２０ １ ８年 １ １ 月下旬（高中 ）
—２０１８年高考
数学全国 Ｉ 卷第 １０题
孚 中 坪Ｃ大学Ｉｆ 名轧针ｆｆＥ（ ４３００７９ ）￥ｂ徐章 韬
１ ． 定理简述
古希腊人被几何的对称性、 视觉美和微妙的逻辑
结构所吸引 ， 以简单和初步的问题作为解决复杂和纷
繁问题的基础 ， 在几何作图上表现出极高的造诣 ． 他
们作图的规则是 ， 所有作图都只能使用圆规和（没有
刻度的）直尺． 尺规作为几何作图工具的中心地位， 可
以绘制出丰富多彩的几何图形 ， 从平分线段和角 、 绘
制平行线和垂直线 ， 到创造优美的正多边形等 ， 不一
而足． 关于平面图形的求面积问题（ 不规则的图形能
够用等面积的正方形替换—化其为方）更是古希腊
人乐此不倦的事情 ， 约公元前４４０年的希波克拉底便
是其中杰出的一位．
【定理】 月牙形是一种边缘为两个圆弧的平面图
形， 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外
做两个半圆 ， 以斜边为直径向内做半圆 ， 则三个半圆所
围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面
积． 这是古希腊数学家希波克拉底发现的平面几何里
一条
应用广泛的优美定理， 也成为希波克拉底定理．
【证明 】 月牙定理的证明建立在三个初步结论
之上： ①毕达哥拉斯定理； ②泰勒斯定理； ③两个圆形
或半圆形的面积之比等于其直径的平方比． 尽管希波
克拉底时代没有发现圆的面积公式， 但其第三个公理
无疑为圆的面积公式的确立提供了思路
．
希波克拉底将一般直角三角形改为等腰直角三
角形 ， 指出 ： “正方形边上的两个月牙形面积之和等于
该正方形面积的一半 他的证明方法既简单又高明 ：
首先 ， 以 ０ 为圆心 ， 以仙为直径作半圆 ． 其次， 过０作
ＯＣ 垂直于 ／４Ｓ， 交半圆于Ｃ， 并连接 ／１Ｃ 与 ｆｉＣ ． 最后 ，
以 ／１ Ｃ 为直径向外作半圆 ４价： ， 这样就形成了月牙形
４￡ＣＦ ， 如图 １ 中阴影部分所示．
根据泰勒斯定理 ， ｄＣｆｌ 为直径所对应的圆周
角 ， 所以ｄＣＳ 是直角 ． 易得 ／ＩＣ＝ＳＣ ， 应用毕达哥拉
斯定理， 得到 ４矿 ＝４Ｃ２＋ＳＣ２＝２／ＩＣ２． 又因为 ４０ 是半
圆 ４ＣＢ 的直径 ， ４Ｃ 是半圆 ／１￡：Ｃ 的直径 ， 所以可应用
上述第三条结论 ， 得到
＞
＝
｜
， 即 心
＿
＝
吾
Ｓ半
ｔｔ ｃｓ
． 显然， ， 据此， 我们可直接得
出 心 ． 最后 ， 我们只需从这两个？形中各
自 减 去 它 们 共 同 部 分 ４ＦＣ ， 如 图 ２ 所 示 ， 即
一
Ｓ
／？
．
ｃ
＝
Ｓ
ｊｎ
ｕｒｃ。
＿
Ａｆｃ ， 剩下 的部分就是
＝
我们己经知道， 可以作
一个
正方形 ， 使其面积
等于三角形 ４Ｃ０， 因而也等于月牙形 ＿４￡ＣＦ 的面积．
这就是希波克拉底所寻求的化月牙形为方的问题．
Ａ０Ｂ
图 １ 月 牙形
从上述证明过程可见 ， 希波克拉底并没有作出所
有月牙形的等面积正方形， 而只求出 了一种他精心构
造的特定月牙形的面积． 其实这可视为２０ １ ８年全国 Ｉ
卷第 １ ０题的特殊情况， 下面将沿袭古人的智慧并运用
现代的眼光 ， 从特殊走向一般．
２ ． 考题分析
【 考题 】 如图 ３ ，
来自古希腊数学家希
波克拉底所研宄的几
何图形． 此图 由三个
半圆构成 ， 三个半圆
的直径分别为直角三
图 ３
角 形 ＸＢＣ 的 斜 边
ＢＣ ， 直角边 ／Ｉ ｆｉ ，／１Ｃ ．Ａ／ｌｆｌＣ 的三边所围成的区域记
为 丨 ， 黑色部分记为 １ 丨 ， 其余部分记为 ＩＩＩ ． 在整个图形
中随机取一点 ， 此点取自 Ｉ，Ｉ Ｉ ， ＩＩＩ 的概率分别记为
Ｐ，＜ｐ２＜ｐ， ＜ＷＪ （） ＿
Ａ－ｐ
，
＝
／Ｊ ２
Ｂ ．ｐ
，
＝ｐ
，
Ｃ．
／ｊ ２
＝ｐ
３
Ｄ ．ｐ
，
＝ｐ
２
＋ｐ
３
Ａ０
图 ２Ｓ月 牙
祕ｃｆ
＝
Ｓ
Ａ （ １ Ｃ０
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２０ １ ８年 １ １ 月下旬（高中 ）
本题主要考察几何概型的概率问题 ， 关键在于求
出对应图形的面积 ， 而毕达哥拉斯定理则是转化问
题、沟通等式的核心．
【解析 １ 】 整体思想、割补转化
不妨设 ＝ｃ ， ｉ４Ｃ＝６ ， ＝ａ ， 由于 为直径，
根据泰勒斯定理易得 Ｚ＞１＝９０°． 再根据毕达哥拉斯定
理 Ａ
２
＋ＣＷ， 等价转
化为 ｜
．
（普Ｊ
＋
号
．
， 即直角三角形中直角边上的半圆的面积之和等
于斜边上半圆的面积 Ｓ
， ，
＋ Ｓ
ｍ
＝
Ｓ
，
＋ Ｓ
， ， ，
． 两边同时减去
Ｓ
， ， ，
， 便可得 Ｓ？
＝
Ｓ
，
， 即直角边上的两个月牙形的面积
之和等于直角三角形的面积（ 月牙定理） ．
解析 １ 的精妙简约之处在于沿袭古希腊数学家希
波克拉底的割补转化思路 ， 不直接求各部分的面积具
体值， 而是借助于毕达哥拉斯定理和圆的面积公式进
行图形转化来实现寻求各部分面积的等量关系． 圆的
面积公式是 Ｓ
＝
ＴｔｒＳ 可以视为
一个
平方数 ， 圆周率 ７Ｔ
作为系数在转化过程中可以消掉， 三个半圆的直径恰
好是直角三角形的三边 ， 因此三个半圆面积的数量关
系与直角三角形三边的数量关系可以对应起来， 建立
半圆面积之间的关系． 最后“多割少补” ， 把多余的部
分 Ｉ Ｉ Ｉ 减掉 ， 便得到问题的答案．
【解析２】 巧用三角 、 明确关系
解析 １ 简洁明了 ， 但并不知道各部分面积的具体
值， 如果我们能进
一步明确各
部分面积的值 ， 那么三
者之间存在的数量关系也就
一目 了然
， 答案便呼之欲
出 ． 众所周知 ， 所有的圆的问题都可以化为解析几何
中三角函数问题来解决 ， 因此可以在单位圆中求得各
部分的面积从而得出结果．
将半圆 Ｓ／ＩＣ 所在圆视为单位圆 ， ＳＣ 中点为 ０
，
，
中点为／１Ｃ中点为０３ ？ 设乙４０Ｃ
＝
６＞ ，６＞ ｅ （０
，
Ｔｒ） ， 则
ｄ
（
ｃｏｓ ｆｌ
，
ｓ ｉ ｎ （９
）
， Ｓ
（
－
１ ， ０），Ｃ
（
１
，
０） ？ 因 此ＢＣ＝２ ， ＡＢ＝
Ｊ（ｃｏｓ０ ＋ｌ ）
２
＋ｓｉｎ
２
０＝
Ｊ２（ｌ＋ｃｏｓ０）
＝ ｃｏｓ
２
｜
＝
２ｃｏｓ
｜ ，
ＡＣ＝
Ｊ（ｃｏｓｄ
－
ｌｆ
＋ｓｉｎ２０＝－ｃｏｓ０
）
＝
Ｊ
４ ｓ ｉｎ
２
吾
＝
２ ｓｉｎ
｜
， ｒ０
ｊ
＝
ｓｉ ｎ
｜
？ 因 此Ｓ
，
＝
｜
ｘ ２ ｘ ｓｉｎ ０
＝
ｓ ｉｎ ０ ，
￣ ￣
２
￣
ｓ ＇ ｎ ＾１＝＋
２
＋
２
＾°°
＇
￣
２
＾°°
＇
＝
ｓ＊ ｎ ＾
．
ｃｏｓ
２
｜
＋
｜
？
ｓ ｉｎ
２
｜
—
｜
＝
ｓ ｉｎ０＋
｜
＿
｜
＝
ｓｉｎ０ ， 所以
中小学数学
Ｓ
丨
＝Ｓ
ｎ
＿
解析２运用三角函数法将问题转化在单位圆内解
决， 不失为一种巧妙解法． 这样一来， 可以分别得到三
个部分面积的具体值 ， 容易看出等量关系． 相比较标
准答案 ， 三角 函数法加强不同知识之间的联系 ， 减少
了参数的个数 ， 使得运算归一 ， 不仅容易得到考题的
答案 ， 而且可以得出随着 ０ 的改变各部分面积的变化
规律以及何时取到面积的最值 ， 对于三者的面积
Ｓ
，
＝Ｓ
ｎ
＝
ｓｉｎ ０ ， Ｓ
ｍ
＝
号
■ － ｓ
ｉ ｎ ０ ， 当
＝
号
■ 时
， Ｓ
ｐ
Ｓ
， ，
有最
大值， Ｓ
， ， ，
有最小值．
３ ． 知识延拓
希波克拉底所研宄的几何图形（ 以下简称“希波
克拉底图” ）与毕达哥拉斯定理有着巧妙地联系 ， 可以
看作是毕达哥拉斯树的一种变形推广．
图 ４ 毕式定理基本图形图 ５ 毕达哥拉
斯树
图 ４为勾股定理的基本图形 ， 表明勾股定理的几
何意义． 以基本图形为基础 ， 继续向外持续作类似的
几何图形 ， 最终会得到如图 ５ 的树状图形 ， 称其为
“毕
达哥拉斯树” ． 其原理是直角三角形两个直角边平方
的和等于斜边的平方 ６２ ＋ｃ２ ＝ ａ ２， 则两个相邻的小正
方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 利用
基本不等式 ６２＋ｃ２ ２２６ｃ， 三个正方形之间的三角形 ，
其面积小于等于大正方形面积的四分之一， 大于等于
一
个小正方形面积的二分之
一
． 根据所做的三角形的
形状不同 ， 重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝
干
”茂密
程度也就不同 ．
如果把图４中的正方形
换为半圆（ ５
相
＝
｜
＾ ） ，勾股
定理仍然成立， 如图 ６ ． 直角
三角形中直角边上的半圆的
面积之和等于斜边上半圆的
面积 Ｓ
，
＝Ｓ
２
＋Ｓ
３
． 考虑到直
径所对的圆周角为９０ °，容
易想到在直角三角形斜边
解题研究
图 ６ 半圆替代正方形
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中小学数学 解颗研究 ２０ １ ８年 １ １ 月下旬（高中）
上往上作半圆 ， 图形便转化为
“希波克拉底图 从而
得到月牙定理： 三个半圆所围成的两个月牙型面积之
和等于该直角三角形的面积 ， 如图 ７所示． 持续向外作
图 ， 也会呈现类似于“毕达哥拉斯树”般的美妙图形 ，
如图 ８ ， 给人以强烈的视觉冲击和美妙感受． 以上过程
体现出了几何图形相互转变的“和谐”之美． ，
图 ７ 月 牙定理基本图形
图 ８
进一步进行推广 ， 只要以直角三角形三边向外作
相似图形 ， 且该图形面积总能表
示成Ｓ
＝
ｒａｔ
２ 的
形式（其中 ｍ为系
数 为直角三角形的边长） ， 即系
数乘以平方数的形式， 这一结论
都成立． 例如所有正多边形都满
足这一结论 ： 以直角三角形三条
边为边长向外做三个正多边形 ，
则以两直角边为边长的正多边形
ａ ９
面积之和等于以该直角三角形斜
边为边长的正多边形的面积， 如图 ９正六边形
．
４ ． 教学回归
近年来， 高考中的数学文化问题比重渐长 ， 要求教
师们从“算理”型教育走向“过程”型教育 ， 不仅注重学
生对基本算法算理的掌握 ， 更要注重问题情境的完整
性、 数学史和数学文化与教学的深度融合 ， 而非“掐头
去尾” 、 以解题为目 的 ， 囿于单一的定义、 定理、 公理和
公式， 让学生感到数学学习的枯燥无味 ， 只见数学形式
化的“冰冷美丽” ， 未见隐藏于背后的“火热思考
因此在教学中 ， 首先要注重穿插数学文化与数学
史 ， 与先哲对话 ， 思悟他们的成就与挫折， 让数学学习
更具“人情味”和“烟火气”一些． 了解问题情境的来龙
去脉 ， 对数学文化与数学史多一分了解 ， 必然会增进
学习数学的兴趣和毅力 ， 学习积极性也就自然而然地
调动了起来． 比如月牙定理的发现就是古希腊人在追
求“化圆为方”的难题的解决过程中得到的 ， 即有一些
除圆以外奇妙的曲边图形的面积会和某个多边形面
积相等． 正是希波克拉底找到了第一个例子 ： 将一个
曲边形等积转化成了一个直边形． 这极大地鼓励了人
们对古希腊三大几何问题之一的“化圆为方”作进一
步的探索． 虽然最终于 １ ８８２年由德国数学家林德曼首
次证明 了ＴＴ 是超越数 ， 由此否定了困惑人们两千多年
的“化圆为方”的尺规作图问题， 但是这个问题在此之
前一直推动着数学的发展和进步． 让学生经历再发现
再探索的过程， 感悟数学知识探索的乐趣 ， 接触到问
题发生的本质 ， 就不会产生对数学知识是否有用产生
怀疑 ， 同时也能更好地将数学知识运用于其他情境中
去 ， 一方面 ， 提升数学的感染力和学生学习数学的自
信心 ； 另一方面 ， 也有利于继承和发扬优秀的数学文
化传统 ， 增强学生的数学文化素养 ， 贯彻真正的素质
教育 、全面教育．
其次 ， 加强不同知识之间的沟通与联系 ， 注重培
养学生思维的灵活性和敏捷性． 数学中倡导一题多
解 ， 而非满足于一题一解． 学生的数学素养因人而异 ，
对不同知识的吸收程度也有所不同． 现在的教学经常
人为地考察一些概念辨析 ， 刻意扩大了不同知识点之
间的鸿沟 ， 其实强调联系比强调区别更为重要 ， 数学
是统一的 ， 人为地将整个数学知识系统划分为众多知
识点 ， 不利于学生头脑中数学认知结构的连续性和完
整性． 因此教学中要加强联系 ， 一题多解好处多 ， 既能
将不同的知识融会贯通 ， 串联起来 ， 又可以拓展学生
的思路 ， 发散思维． 比如几何概型和古典概型的前提
都是等可能事件的发生 ， 二者内蕴的思想联系紧密 ；
再者关于希波克拉底所研宄的图形的问题 ， 我们既可
以用割补转化的思想来解决， 也可以化归为三角函数
的问题 ， 该图形还和毕达哥拉斯树有着异曲同工之
妙， 其实观点不同 ， 效果就大不一样． 教学中要学会转
换观点 、 加强联系 ， 让不同的学生都能找到更适合自
己的方法来学习和解题 ， 形成自我独特的观点 ， 而非
千篇一律． 如果一个教师把所有学生都教成一个模
样 ， 那才是一种教育上的失败 ， 古代先贤孔子的因材
施教思想便有此意．
参考文献 ：
［ １ ］ 段春炳， 邵文鸿． 由
一道
“希
波克拉底月 牙形
”
习 题 引 发的思考 ［Ｊ］ ． 中 小学数学教学参考， ２００８， ４ ，
２５
－２７
．
［２ ］ 张春华 勾股定理”基本图形美学赏析一一
以人教版初中数学 为例 ［ Ｊ］ ． 数学教学通讯
，
２０ １ ８
，
２
，
３０
－３
１ ．
［３ ］ 刘海英 ， 徐幸铋． 内 蕴斐波那契数列文化的问
题［Ｊ］ ． 中学數学 （高 中版）
，
２０１ １ ， １ １ ， ６４
－６６
．
第 ５７ 页
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