2022年江苏省无锡市惠山区、梁溪区中考数学一模试卷

2022年江苏省无锡市惠山区、梁溪区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项
是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）A．5B．﹣5C．D．﹣2．（3分）函数y＝
中，自变量x的取值范围是（　　）A．x＞7B．x≤7C．x≥7D．x＜73．（3分）一组数据﹣3，﹣1，2，0，3，2中，则这组数
据的中位数和众数分别是（　　）A．1.5，2B．1，2C．0，2D．1，34．（3分）下列运算中，结果正确的（　　）A．（a﹣1）
（a+1）＝a2﹣1B．+＝C．（a+b）2＝a2+b2D．a6÷a2＝a35．（3分）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保
持身体健康的重要基础．为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从13个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（　　）A．
800名学生是总体B．13个班级是抽取的一个样本C．50是样本容量D．每名学生是个体6．（3分）下列四个有关环保的图形中，是轴对称
图形，但不是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD
的度数为（　　）A．50°B．80°C．100°D．130°8．（3分）下列性质中，菱形具有矩形不一定具有的是（　　）A．对角线相
等B．对角线互相平分C．邻边互相垂直D．对角线互相垂直9．（3分）如图，直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数
y＝的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC＝1：2，则k的值为（　　）A．2B．3C．4D．610．（3分）
我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是
⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是
奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°．其中，说法正确的有（　　）A．①②B．①③C．②④D．③
④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题
卡上相应的位置）11．（3分）分解因式：ax2﹣6ax+9a＝　 　．12．（3分）＝　 　．13．（3分）“学中共党史，庆建党百
年”，截至4月26日，某市党员群众参与答题次数达8 420 000次，掀起了党史学习竞赛的热潮．数据“8 420 000”用科学记
数法可表示为 　 　．14．（3分）某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是 　 　．15．（3分）请写出一个函数表达
式，使其图象关于y轴对称：　 　．16．（3分）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB
+∠PBA＝　 　°．17．（3分）如图，线段AB＝10，点D是线段AB上的一个动点（不与点A重合），在AB上方作以AD为腰的等腰
△ACD，且∠CAD＝120°，过点D作射线DP⊥CD，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，其对角线交点为O，连接OB，
则线段OB的最小值为 　 　．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交于点B
，则点B的坐标为 　 　（用含m的代数式表示）；若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO（C、O在AB的两侧），设点C的坐标为（x，y
），则y关于x的函数关系式为 　 　．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：sin45°﹣（π﹣4）0+2﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20
．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式组：．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD
，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．22．（10分）小
明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．（1）如果随机翻1张牌，那么抽
中20元奖品的概率为　 　（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少？23．
（10分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下两幅统计图．请根据相关信息，解答下列
问题：（1）扇形统计图中，初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为　 　°；（2）补全条形统计图；（3）这组初赛成绩的中位数是　
　m；（4）根据这组初赛成绩确定8人进入复赛，那么初赛成绩为1.60m的运动员杨强能否进入复赛？为什么？24．（10分）如图，矩
形ABCD中，AD＞AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）①在BC边上取一点E，使AE＝BC
；②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．（2）在（1）中，若AB＝6，AD＝10，则△AEF的面积＝　 　．（如需画草
图，请使用备用图）25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．（1）求证：△CAD∽△CD
B；（2）若sinC＝，BD＝6，求⊙O的半径．26．（10分）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移
动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在
直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为 　 　
；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发
生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，
4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．①过点D作DE
⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图
形，求此时点D的坐标．28．（10分）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩
形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如图2所示．①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．②在旋转过程中，当点B、
E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝α°，tan∠AB
C＝，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为　 　
．（直接写出结果）2022年江苏省无锡市惠山区、梁溪区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，
共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）﹣5的绝对值是（　　
）A．5B．﹣5C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质求解．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．故选：A．【点
评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）函数y＝中，
自变量x的取值范围是（　　）A．x＞7B．x≤7C．x≥7D．x＜7【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母
不等于0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣7≥0，解得：x≥7．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：
式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．（3分）一组数据﹣3，﹣1，2，0，3，
2中，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）A．1.5，2B．1，2C．0，2D．1，3【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答
即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：﹣3、﹣1、0、2、2、3，最中间的数是0和2，则这组数据的中位数是；2出现了2次，出现
的次数最多，则众数是2；故选：B．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最
中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．4．（3分）下列运算中，结果正确的（　　）A．（a﹣1
）（a+1）＝a2﹣1B．+＝C．（a+b）2＝a2+b2D．a6÷a2＝a3【分析】直接利用乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂
的除法运算法则分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1，故此选项正确；B．+无法合并，故此选项不合题
意；C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；D．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查
了乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状
况是保持身体健康的重要基础．为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从13个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（　　
）A．800名学生是总体B．13个班级是抽取的一个样本C．50是样本容量D．每名学生是个体【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是
总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，
这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答
】解：A．800名学生的睡眠状况是总体，原说法错误，故本选项不合题意；B．50名学生的睡眠状况是抽取的一个样本，原说法错误，故本选
项不合题意；C．50是样本容量，说法正确，故本选项符合题意；D．每名学生的睡眠状况是个体，原说法错误，故本选项不合题意；故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查
对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．6．（3分）下列四个有关环保的图形中，是轴对称图
形，但不是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解
：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称
图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了
中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O
的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（　　）A．50°B．80°C．100°D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质
得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝5
0°，∴∠BCD＝130°，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠BCD＝180°是解此题的
关键．8．（3分）下列性质中，菱形具有矩形不一定具有的是（　　）A．对角线相等B．对角线互相平分C．邻边互相垂直D．对角线互相垂直
【分析】根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案．【解答】解：∵菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，∴菱形具有而
矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质与矩形的性质．此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性
质定理．9．（3分）如图，直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△
AOB：S△BOC＝1：2，则k的值为（　　）A．2B．3C．4D．6【分析】先由直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求
出C（0，﹣2），B（2，0），那么S△BOC＝OB?OC＝×2×2＝2，根据S△AOB：S△BOC＝1：2，得出S△AOB＝S△
BOC＝1，求出yA＝1，再把y＝1代入y＝x﹣2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y＝，即可求出k的值．【解答】解：
∵直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，∴C（0，﹣2），B（2，0），∴S△BOC＝OB?OC＝×2×2＝2，∵S△AO
B：S△BOC＝1：2，∴S△AOB＝S△BOC＝1，∴×2×yA＝1，∴yA＝1，把y＝1代入y＝x﹣2，得1＝x﹣2，解得x＝
3，∴A（3，1）．∵反比例函数y＝的图象过点A，∴k＝3×1＝3．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反
比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．10．（3分）我们定义
：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一
点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角
形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°．其中，说法正确的有（　　）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析
】①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，即可判断①；②由勾股定理得出a2+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b
＞a，得出a2+c2＝2b2②，由①②得出b＝a，c＝a，即可判断②；③由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB
2，由已知得出2AD2＝AB2，AC2+CE2＝2AE2，即可得出△ACE是奇异三角形，即可判断③；④由△ACE是奇异三角形，得出
AC2+CE2＝2AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得判断④．【解答】解：①设等边三角形的边长为a，则a2+a
2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，故①正确；②∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a
2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：，故②错误；③∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝A
B2，AD2+BD2＝AB2，∵D是半圆的中点，∴AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2A
E2，∴△ACE是奇异三角形，故③正确；④由③得：△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由②
得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，当AC：AE：CE＝1：：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠
ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°；当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠A
CB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，综上所述，∠AOC的度数为60°或120°，故④错误；故选：B．【点评】本
题是四边形综合题目，考查了奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌
握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1
分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）分解因式：ax2﹣6ax+9a＝　a（x﹣
3）2　．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：ax
2﹣6ax+9a＝a（x2﹣6x+9）﹣﹣（提取公因式）＝a（x﹣3）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（x﹣3）2．【点评】本
题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（3分）＝　2　．【分析】将1
2分解为4×3，进而开平方得出即可．【解答】解：＝＝×＝2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．13．
（3分）“学中共党史，庆建党百年”，截至4月26日，某市党员群众参与答题次数达8 420 000次，掀起了党史学习竞赛的热潮．数据
“8 420 000”用科学记数法可表示为 　8.42×106　．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1
≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：8420000＝8.42×106．故答案为：8.42
×106．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
14．（3分）某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是 　2π　．【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆
锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2×2π×1＝2π
，故答案为：2π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
．15．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象关于y轴对称：　y＝x2（答案不唯一）　．【分析】根据形如y＝ax2或y＝ax2+c
二次函数的性质直接写出即可．【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），故答案为：y＝x2（答案不唯一）
．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记形如y＝ax2的二次函数的性质是解答本题的关键．16．（3分）如图所示的网格是由相同的小正
方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　45　°．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和
逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+2
2＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案为：
45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（3分）如图，线段AB＝10，点D是线段AB上的一个动点（不与点A重合），在AB上方作以AD为腰的等腰△ACD，且∠CAD＝
120°，过点D作射线DP⊥CD，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，其对角线交点为O，连接OB，则线段OB的最小值为
　　．【分析】连接OA，易证△OAC≌△OAD（SSS），可得∠OAD＝60°，根据垂线段最短，即可求出OB的最小值．【解答】解：
连接OA，如图所示：∵△ACD是等腰三角形，∴AC＝AD，在矩形CDGH中，OC＝OD，又∵OA＝OA，∴△OAC≌△OAD（SS
S），∴∠OAD＝∠OAC，∵∠CAD＝120°，∴∠OAD＝60°，当BO⊥AO时，BO的值最小，∵AB＝10，BO最小值＝AB
?sin60°＝，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂线段最短等，本题综合性较强
，证明∠OAB＝60°是解题的关键．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交
于点B，则点B的坐标为 　（0，﹣m）　（用含m的代数式表示）；若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO（C、O在AB的两侧），设点C
的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 　y＝+x﹣4　．【分析】延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N
，作CM⊥NA于M．利用ASA证明△ABC≌△ABD，得出AC＝AD，利用AAS证明△AMC≌△AND，得出AM＝AN，CM＝DN
．根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明△ABN∽△CAM，求出CM＝4，那么点C的坐标为（﹣2m，m2﹣m﹣4），即x＝﹣2
m，y＝m2﹣m﹣4，将m＝﹣x代入y＝m2﹣m﹣4，即可求出y关于x的函数关系式．【解答】解：延长CA，交y轴于点D，过点A作x
轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M，如图，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC＝AD，同理可得
：△AMC≌△AND，∴AM＝AN，CM＝DN．∵抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交于点B，∴点A（﹣m，m2
﹣m），点B（0，﹣m），∴AM＝AN＝m，ON＝m2﹣m，OB＝m，∴BN＝m+（m2﹣m）＝m2．∵∠ABN＝90°﹣∠BAN
＝∠CAM，∠ANB＝∠CMA＝90°，∴△ABN∽△CAM，∴，即：，∴CM＝4，∴点C的坐标为（﹣2m，m2﹣m﹣4），∴x＝
﹣2m，y＝m2﹣m﹣4，∴m＝﹣x，∴y＝?（﹣x）2﹣（﹣x）﹣4，∴所求函数的解析式为：y＝+x﹣4．故答案为y＝+x﹣4．
【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键．三、解答题（本大
题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：sin45°
﹣（π﹣4）0+2﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和
零指数幂的意义解答即可；（2）利用多项式乘单项式和平方差公式运算，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1+＝﹣＝；（2）
原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a．【点评】本题主要考查了实数的运算，殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，平方
差公式，单项式乘多项式，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式组：
．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）分别解两个方程得到x＞1和x≤4，然后根据大小小
大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣4x＝1，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，所
以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）解①得x＞1，解②得x≤4，所以不等式组的解集为1＜x≤4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方
法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解不等式组．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．【分析
】（1）根据AD∥BC，可得∠ADB＝∠CBE，进一步根据AAS证明全等即可；（2）根据全等三角形的性质，可得BE＝AD＝4，根据
勾股定理，可得BC＝5，进一步在△CED中根据勾股定理，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB（AAS），∴BE＝AD＝4，∵CE＝3，∠B
EC＝90°，根据勾股定理，得BC＝5，∴BD＝5，∴ED＝1，在△CED中，根据勾股定理，得CD＝＝．【点评】本题考查了全等三角
形的判定和性质，涉及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（10分）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4
张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为　25%　（2）如果
随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少？【分析】（1）随机事件A的概率P（A）＝事
件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用1除以4，求出抽中20元奖品的概率为多少即可．（2）首先应用树状图法，列举出随机
翻2张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于30元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30
元的概率为多少即可．【解答】解：（1）∵1÷4＝0.25＝25%，∴抽中20元奖品的概率为25%．故答案为：25%．（2），∵所获
奖品总值不低于30元有4种情况：30元、35元、30元、35元，∴所获奖品总值不低于30元的概率为：4÷12＝＝．【点评】（1）此
题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
（2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多
元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．23．（10分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成
绩（单位：m），绘制出如下两幅统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中，初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为
　54　°；（2）补全条形统计图；（3）这组初赛成绩的中位数是　1.60　m；（4）根据这组初赛成绩确定8人进入复赛，那么初赛成绩
为1.60m的运动员杨强能否进入复赛？为什么？【分析】（1）由1.50的人数除以占的百分比求出总人数，进而确定出初赛成绩为1.65
m所在扇形图形的圆心角即可；（2）求出1.70的人数，补全条形统计图即可；（3）将这组初赛成绩按照从小到大顺序排列，确定出中位数即
可；（4）初赛成绩为1.60m的运动员杨强不一定能进入复赛，从中位数角度考虑分析即可．【解答】解：（1）∵a%＝1﹣（30%+25
%+20%+10%）＝15%，∴360°×15%＝54°；则扇形统计图中，初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为54°； 故答
案为：54；（2）根据题意得：2÷10%×20%＝4，即1.70的柱高为4，如图所示：；（3）∵这次初赛成绩为1.50，1.50，
1.55，1.55，1.55，1.55，1.55，1.60，1.60，1.60，1.60，1.60，1.60，1.65，1.65，
1.65，1.70，1.70，1.70，1.70，∴这组初赛成绩的中位数为1.60；故答案为：1.60；（4）初赛成绩为1.60m
的运动员杨强不一定进入决赛，理由为：∵由高到低的初赛成绩中有4人是1.70m，有3人是1.65m，第8人的成绩为1.60m，但是成
绩为1.60m的有6人，∴杨强不一定进入复赛．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题
的关键．24．（10分）如图，矩形ABCD中，AD＞AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）①
在BC边上取一点E，使AE＝BC；②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．（2）在（1）中，若AB＝6，AD＝10，则△
AEF的面积＝　　．（如需画草图，请使用备用图）【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，连接DE，作线段DE的垂直平
分线交CD于点F，点E，点F即为所求；（2）利用勾股定理求出BE，设DF＝EF＝m，在Rt△ECF中，利用勾股定理求出m即可．【解
答】解：（1）如图，点E，点F即为所求；（2）连接AF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝
10，∴AE＝AD＝10，∴BE＝＝＝8，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，设EF＝DF＝m，则有m2＝（6﹣m）2+22，∴m＝
，在△ADF和△AEF中，，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴∠ADF＝∠AEF，∴S△AEF＝?AE?EF＝×10×＝．【点评】
本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（10分）
如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．（1）求证：△CAD∽△CDB；（2）若sinC＝，BD＝6，
求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得∠ODC＝90°，再证明∠1＝∠B
，则可判断△CAD∽△CDB；（3）在Rt△OCD中利用正弦的定义得到sinC＝＝，则可设OD＝r，OC＝3r，所以CD＝2r，接
着利用△CAD∽△CDB，根据相似比可计算出AD＝3，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD
，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠3＝90°，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，即
∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∴∠1＝∠B，∵∠ACD＝∠DCB，∴△CAD∽△CDB；（3）解：
在Rt△OCD中，∵sinC＝＝，∴设OD＝r，OC＝3r，∴CD＝＝＝2r，∵△CAD∽△CDB；∴CD：CB＝AD：BD，即2
r：4r＝AD：6，解得AD＝3，在Rt△ADB中，AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定
两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．26．（10分）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动
速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直
线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为 　9　；
（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生
后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．【分析】（1）求出直线OA的解析式即可解决问题；（2）分三个时间段分别求解即可；（3
）分三个时间段分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）由图象可知：直线OA的解析式为y＝2t，当t＝3时，y＝2×3＝6，∴S＝×
3×6＝9；（2）当0≤t≤5时，S＝?t?2t＝t2；当5＜t≤10时，S＝×5×10+10（t﹣5）＝10t﹣25；当10＜t
≤30时，S＝×5×10+10×5+（t﹣10）×10﹣×（t﹣10）×（t﹣10）＝﹣t2+15t﹣50．综上所述，S＝；（3）
河流污染发生后将侵袭到乙城，理由如下：当0≤t≤5时，S最大值＝52＝25＜171，当5＜t≤10时，S最大值＝10×10﹣25＝
75＜171，当10＜t≤30时，令﹣t2+15t﹣50＝171，解得t1＝26，t2＝34，∵10＜t≤30，∴t＝26，∴河流
污染发生26h后将侵袭到乙城．【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，分段函数等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用
所学知识解决问题．27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）
和点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE
长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；（2）①如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，运用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣2
x+4，设点D（m，﹣2m2+2m+4），则点N（m，﹣2m+4），利用△EDN∽△OBA，即可求得DE的长，运用二次函数性质即可
求得答案；②如图2，存在两种情况：四边形AFGD是矩形和菱形时满足既是中心对称图形，又是轴对称图形，根据各自的性质可得点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（2，0），C（﹣1，0），∴设y＝a（x﹣2）（x+1），将点A（0，4）代入，得：﹣2
a＝4，解得：a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣2）（x+1）＝﹣2x2+2x+4；∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）
①如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（0，4），B（2，0），∴，解得：，∴直
线AB的解析式为y＝﹣2x+4，设点D（m，﹣2m2+2m+4），则点N（m，﹣2m+4），∴DN＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+
4）＝﹣2m2+4m，在RtAOB中，AB＝＝＝2，∵DE⊥AB，DM⊥x轴，∴∠DEN＝∠DMB＝90°，∵∠DNE＝∠MNB，
∴∠EDN＝∠ABO，又∵∠DEN＝∠AOB＝90°，∴△EDN∽△OBA，∴＝，即＝，∴DE＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1）2+，∴当
m＝1时，DE取得最大值为，∴0＜DE≤；②存在两种情况：如图2，四边形AFGD是菱形时，满足四边形AFGD既是中心对称图形，又是
轴对称图形，设D（t，﹣2t2+2t+4），G（t，﹣2t+4），∴DG＝（﹣2t2+2t+4）﹣（﹣2t+4）＝﹣2t2+4t，
∵四边形AFGD是菱形，∴AD＝DG，∴t2+（﹣2t2+2t+4﹣4）2＝（﹣2t2+4t）2，解得：t1＝0，t2＝，∴D（，
）；如图3，四边形AFGD是矩形时，满足四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，由对称得：D（1，4）；综上，点D的坐标为
（，）或（1，4）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，轴对称和中心对称的性质，勾股
定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质相关知识．28．（10分）（
1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤3
60），如图2所示．①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝α°，tan∠ABC＝，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为　24　．（直接写出结果）【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质求解即可；②分两种情形：如图2﹣1中，当点E在线段BF上时，如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，分别求出BJ，EJ，可得结论；（2）如图3中，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H．解直角三角形求出GH，证明△ABD∽△CBB′，推出＝（）2＝（）2＝，由题意DG＝，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值＝××（+）＝5，由此可得结论．【解答】解：（1）①的值不变，理由如下：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝12，∵AB＝9，∴AC＝＝＝15，∵∠ACB＝∠ECG，∴∠BCE＝∠ACG，∵＝＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝；②如图2﹣1中，当点E在线段BF上时，连接CG，过点C作CJ⊥EF于J．∵S△CEF＝?EC?CF＝?EF?CJ，∴CJ＝＝，∴EJ＝＝＝，BJ＝＝＝，∴BE＝BJ﹣EJ＝﹣∵∠ACB＝∠GCE，∴∠BCE＝∠ACG，∵＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴AG＝×（﹣）＝6﹣4．如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，同法可得BE＝BJ+EJ＝+，∴AG＝BE＝6+4，综上所述，AG的长为6﹣4或6+4．（2）如图3中，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H．∵AB＝AC＝2，BG＝GC，∴AG⊥BC，∵tan∠ABC＝＝，∴AG＝2，BG＝4，∵sin∠ABG＝sin∠GBH，∴＝，∴＝，∴GH＝，∵AB＝AC，DB＝DB′，∠BAC＝∠BDB′，∴∠ABC＝∠DBB′，＝，∴∠ABD＝∠CBB′，∴△ABD∽△CBB′，∴＝（）2＝（）2＝，∵DG＝，∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值＝××（+）＝5，∴△BCB′的面积的最大值为16，∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×2+16＝24．故答案为：24．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．