2020-2022北京初三二模数学汇编勾股定理一、单选题1．（2021·北京石景山·二模）如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形
（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（?）A．B．C．D．二、填空题2．（2022·北京大兴·二模）如图所示的网
格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是： _______（填“>”，“=”或“<”）．3．（2022·北京朝阳
·二模）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是___三角形（填“锐角”、“直角”或“
钝角”）．4．（2022·北京平谷·二模）如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与
△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标___________．5．（2022·北京·二模）图，线段CE的长为3cm，延长EC到
B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值
为______．6．（2021·北京丰台·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积
的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．7．（2021·北京门头沟·二模）图所示的正方形网
格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．8．（2020·北京房山·二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，
奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹
子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹
梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_____________．9．（2020·北京顺义·二模）如图，Rt△
ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝
__．10．（2020·北京昌平·二模）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案
的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF
=2，DE=8，则AB的长为______．三、解答题11．（2021·北京平谷·二模）在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，
过点A作于点M，过点B作于点N． （1）求证：CM＝BN；（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图形，猜想线段BN、AM、
OM的数量关系，并证明；12．（2021·北京丰台·二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且
OA＞OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF＝
OA，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）求证：CB＝CF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明．13．（202
1·北京昌平·二模）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且A
D＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G（1）依题意补全图形；（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠A
GC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路14．（2020·北京石景山·二模）在中，，是边上的一点（不与点
重合），边上点在点的右边且，点关于直线的对称点为，连接．?（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：；（2）如图2，，用等式表示线段
，，之间的数量关系，并证明．参考答案1．B【分析】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
在中，，，，即可得出结论．【详解】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，∴在中，，，，∴
，A选项不符合题意；根据勾股定理得：，符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确
理解题意是解题的关键．2．【分析】利用三角形中“大边对大角”进行判断．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了比较三角形
内角的大小关系，勾股定理，解决本题的关键是将角的大小关系转化为角的对边的大小关系．3．直角【分析】利用勾股定理求解可得线段的长度，
根据勾股定理的逆定理可以判断以这三条线段为边能否组成一个直角三角形．【详解】解： ∵，，∴，∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形
，故答案为：直角【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．4．（4，-2）
（答案不唯一）【分析】三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”或“两组对应边及
夹角相等”进行判定三角形全等．【详解】根据图中可以判断∠CAB=45°+90°=135°，且AB边等于两格长度，如下图中找出符合条
件的F点，构造全等三角形，由图可知，符合条件的F点有四个，坐标是：（4，-2），（2，-4），（-1，-1），（1，1）．故答案为
：（4，-2）（答案不唯一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定，在网格中判定三角形全等一般采用的判定是SSS或SAS，根据图形特点
进行灵活选择是解题的关键．5．﹣9cm2【分析】根据题意，得∠DCE=90°，结合勾股定理的性质，计算得CD2+CE2=DE2；再
根据正方形的性质，得S1= CD2，S2= DE2，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意得：∠DCE=90°，∴CD2+CE2=
DE2∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2，∴S1= CD2，S2= DE2，∵CE的
长为3cm，∴，∴S1－S2=﹣9cm2，故答案为：﹣9cm2．【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股
定理、正方形的性质，从而完成求解．6．＞【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．【详解】=3，，故填：＞．【点
睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积
即得到△ABD的面积．7．90【分析】由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出，再利用勾股定理逆定理可得结论．【详解】解：设正方
形网格边长为a，由勾股定理求得，∴ ∴为直角三角形，即故答案为：90．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出各边的平方是解
答本题的关键．8．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，利用勾股定理解题即可．【
详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，根据勾股定理得：．故答案为：．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关
键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．9．5【分析】根据角度转换，得到三角形ADE是直角三角形，然后运用勾股定理计
算出DE的长.【详解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β
+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【点睛】本题主要考查到运用勾股定理求长度，说明三角形
ADE是直角三角形是解题的关键.10．10．【详解】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴
直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案为10．点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边
的长度．11．（1）见解析；（2）AM＝BN＋，见解析【分析】（1）补全图形，由题意结合图形可知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝9
0°，即证明∠2＝∠3，即利用“AAS”即可证明△ACM≌△CBN，得出结论CM＝BN．（2）补全图形，并连接连接OC，根据题意易
得OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．由全等三角形的性质可得AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，从而证明出∠1＝∠2．即利用“SAS”
即可证明△OCM≌△OBN，得出结论OM＝ON，∠5＝∠6．由，即可证明，即，即可证明．【详解】（1）补全图形如下，证明：∵AM⊥
CP，BN⊥CP，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．∵A
C＝BC，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CM＝BN． （2）依题意补全图形结论：．证明：连接OC，∵∠ACB＝90°，AC＝B
C，O是AB中点，∴OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．∵△ACM≌△CBN，∴AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，∴∠1＝∠2．∵C
M＝BN，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠5＝∠6．∵∠5＋∠7＝90°，∴∠6＋∠7＝90°，∴是等腰直角三角形
，∴，∴，即．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，补全图形并作出辅助线是解答本题的关键
．12．（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法补全图形即可；（2）连接CA，首先证明△A
OC≌△FOC，得到ACFC，再根据垂直平分线的性质得到AC=BC，从而得出结论即可；（3）根据题意证明出△ABC始终为等腰直角三
角形，从而得到，再结合BC=FC即可得出结论．【详解】（1）如图所示：（2）证明：连接CA．∵OP平分∠MON，∴∠AOC∠FOC
．在△AOC和△FOC中，∴△AOC≌△FOC，∴ACFC．∵CE是线段AB的垂直平分线，∴CBCA．∴CBCF．（3）． 证明：
∵CBCF，∴∠CFB∠CBF．∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO∠CFB．∴∠CAO∠CBF．∵∠CBO＋∠CBF180°，∴∠C
AO＋∠CBO180°．∴∠AOB＋∠ACB180°．∵∠AOB90°，∴∠ACB90°．又∵CACB，∴△ACB是等腰直角三角形
．∴．∴．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的作法以及性质，等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握基本图形的作法与性质，灵
活运用全等三角形的判定与性质是解题关键．13．（1）见解析；（2）；（3），见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先证，
再根据与可得，则，又因为可得；（3）在AE上截取，连接DM．先证与是等腰直角三角形，接下来证，所以可得，则可求．【详解】（1）根据
题意补全图形如下：过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．（2）证明：当时，．推理如下：，，．，，，，，．（3）．证
明：在AE上截取，连接DM．∵，∴是等腰直角三角形∴∴∵，∴是等腰直角三角形∴∴∴∵∴∴即∵∴∵， ∴,∴又∵，∴∴又∵，∴利用勾
股定理可得：∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．14．（1）①依题意补全图形，见解析；②见解析；（2）线段之间的数量关系是．证明见解析．【分析】（1）①根据要求画出图形即可解决；②：连接，根据对称可求出，即可得出结果；（2）连接，由（1）②，可得 ，在中，由勾股定理，得，即可得到结果．【详解】（1）①依题意补全图形，如图1． ②证明：连接，如图2．，．点F与点D关于直线对称，，．．又，．．（2）线段之间的数量关系是．证明：连接，如图3．，．由（1）②，可得．在中，由勾股定理，得．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合勾股定理的知识点进行求解． |
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