2022年江苏省无锡市江阴市文林中学中考数学一模试卷一、选择题。〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A
．﹣2B．2C．﹣D．2．（3分）下列函数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）A．B．C．D．3．（3分）现有一组数据分
别是5、4、6、5、4、13、5，关于这组数据下列说法正确的是（ ）A．中位数是4B．众数是7C．中位数和众数都是5D．中位数和
平均数都是54．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．
互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）A．B．C．D．5．
（3分）下列各式中计算正确的是（ ）A．x+x3＝x4B．（x﹣4）2＝x8C．x﹣2?x5＝x3D．x8÷x2＝x4（x≠0）
6．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）A．B．C．D．7．（3分）已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE
，那么四边形AFCD一定是（ ）A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1
x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）A．﹣20B．20
C．﹣5D．59．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点
E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（ ）A．1B．C．D．210．（3分
）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点
N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），
下列结论中正确的是（ ）A．MN+BN＜ABB．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABCD．四边形ACBM的最大面积为
13二、填空题。〔本大题共8小题，每题3分，共30分〕11．（3分）已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米＝10﹣9米）
，那么用科学记数法表示该病毒的直径约为 米．12．（3分）分解因式：a3﹣a＝ ．13．（3分）如图，在扇形AOB中，∠
AOB＝90°，点C是的中点，过点C的切线交OB的延长线于点E，当BE＝时，则阴影部分的面积为 ．14．（3分）已知a，b，
c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．若点在“勾股一次函数”
的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是 ．15．（6分）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的
厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，
AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，
则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝ cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝ cm时，察看仪表盘视角最佳．16
．（3分）如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3
中a+b+c+…+d＝ ．（用含n的式子表示）17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是A
C的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝ ．18．（6分）图1是一个
高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时
，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10．以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解
析式 ；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 ．三
、解答题。〔本大题共10小题，共90分〕19．（8分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会已在北京举行，在冬奥会的筹备过程中，
遇到下面的计算问题，请你帮忙解决．（1）计算：；（2）化简：．20．（8分）（1）解不等式组：，并写出它的正整数解；（2）解方程：
2x2﹣4x+1＝0．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE
．（2）若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度数．22．（8分）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫
苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名．（1）从4人中抽取1人为男性的概率是 ；（2）请用列表或画
树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率．23．（8分）某校为了了解七年级学生的身体健康情况，从
该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5﹣46.5；B：46.5﹣53.5；C：53
.5﹣60.5；D：60.5﹣67.5；E：67.5﹣74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请解答下列问题：（
1）这次随机抽取了多少名学生调查？并补全频数分布直方图；（2）在抽取调查的若干名学生中体重在哪一组的人数最多？（3）若该校七年级共
有800名学生，根据调查结果，估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有多少名？24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB
＝12，tan∠A＝．（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求⊙O的半径长度．25．
（8分）如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：①AD是⊙O的切线；②△ACD∽△BAD；（2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半径．26．（10分）某商场以m元购进
一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件．（1）第一批
购进了 件商品，第二批购进了 件商品，购买这两批商品的平均价格为 元/件；（2）若m＝2400，购买第二批商品的
单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．①求第一批商品的购进单价；②若第一批商品的售价为60元/件，
第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第
二批商品按原销售单价至少销售多少件？27．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A
（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上
长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴
，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．28．（
12分）（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点
D''，DD''的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D''E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如
下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ °．（2）
【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D''，DD′的延长线与BC的延长线交
于点F，连接BD''，CD''，D''E．当CD''⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD''的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABC
D为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除
外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．2022年江苏省无锡市江阴市文林中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题。
〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A．﹣2B．2C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义，可直接
得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．（3分）下列函
数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不
等式判断即可．【解答】解：A、自变量x的取值范围是x≥1，不符合题意；B、自变量x的取值范围是x＞1，符合题意；C、自变量x的取值
范围是x≥，不符合题意；D、自变量x的取值范围是x≥2，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握
二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．3．（3分）现有一组数据分别是5、4、6、5、4、13、5，关于这组数据下列说
法正确的是（ ）A．中位数是4B．众数是7C．中位数和众数都是5D．中位数和平均数都是5【分析】根据中位数、众数和平均的概念分别
求得这组数据的中位数、众数和平均数即可．【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：4、4、5、5、5、6、13，处于中间位置的数
是5，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是5，故A错误，不符合题意；众数是一组数据中出现次数最多的数，即5，故B错误，不符合题意
；C正确，符合题意；平均数＝＝6，故D错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义，解题的关键是正确
理解各概念的含义．4．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重
燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）A．B．C．D
．【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．【解答】解：设雀每只x两，燕
每只y两，则可列出方程组为：．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等
式是解题关键．5．（3分）下列各式中计算正确的是（ ）A．x+x3＝x4B．（x﹣4）2＝x8C．x﹣2?x5＝x3D．x8÷x
2＝x4（x≠0）【分析】根据同底数幂的乘除法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除
法求解即可．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（x﹣4）2＝x﹣8，故本选项错误；C、x﹣2?x5＝x3，故
本选项正确；D、x8÷x2＝x6（x≠0），故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，积
的乘方，理清指数的变化是解题的关键．6．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是
轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．既不是轴
对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，
又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称
图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后
与原图重合．7．（3分）已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边
形AFCD一定是（ ）A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．【
解答】解：∵E是AC中点，∴AE＝EC，∵DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，∴DF
＝BC，∵CA＝CB，∴AC＝DF，∴四边形ADCF是矩形；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的
判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1
x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）A．﹣20B．20
C．﹣5D．5【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点
B的坐标，求得结论．【解答】解：∵直线y＝k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC＝4，过B作B
D⊥y轴于D，∵S△OBC＝2，∴BD＝1，∵，∴＝，∴OD＝5，∴点B的坐标为（1，5），∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B
，∴k2＝1×5＝5．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．9．（3分）
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上
的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（ ）A．1B．C．D．2【分析】由题意易证△BDE≌△DCF，
从而得到∠DEB＝∠DFC，再由平角的定义和四边形内角和定理可得∠BPD＝120°，由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，所以点
P的路径是一段以A为圆心，以AD为半径的弧，连接AC交弧于点P，此时CP的长度最小，或得最小值CP即可．【解答】解：如图1，连接B
D，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，∴AB＝2，AC＝4，∵△ADC与△ABC关于AC对称，∴BC＝
DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DE＝C
F，∴△BDE≌△DCF，∴∠BED＝∠DFC，∵∠BED+∠PEC＝180°，∴∠PEC+∠DFC＝180°，∴∠DCF+∠EP
F＝∠DCF+∠BPD＝180°，∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°，由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，如图2，∴点P
的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，∴CP＝AC﹣AP＝4﹣2＝
2，则线段CP的最小值为2；故选：D．【点评】本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形30度角的性质，圆的性质，知道线
段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且M
N∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）A．MN+BN＜ABB
．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABCD．四边形ACBM的最大面积为13【分析】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：
BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB；（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，
∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠A
BC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC；（4）S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，其最大值为．【解答】解：将点A
（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b解得：a＝，b＝﹣，设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m
﹣），其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、当
MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），由勾股定理得：BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB，故本选项错误
；B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠B
AC＝∠BAE不成立，故本选项错误；C、如上图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，故本选项正确；D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△AB
M，S△ABC＝10，S△ABM＝MN?（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.
25，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛
物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．二、填空题。〔本大题共8小题，每题3分，共30分〕11．
（3分）已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米＝10﹣9米），那么用科学记数法表示该病毒的直径约为 1.2×10﹣7
米．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：120纳
米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米．故答案为：1.2×10﹣7．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式
为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+
1）（a﹣1） ．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a
+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意要分解彻底．13．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是的中点，过点C的切线交OB的延长线于点E，当B
E＝时，则阴影部分的面积为 ．【分析】由∠AOB＝90°，点C是的中点可得∠COE＝45°，由CE与圆O相切得△OCE为等腰直
角三角形，根据BE的长度求得OC的长，用S△OCE﹣S扇形OCB，即得阴影部分面积．【解答】解：∵∠AOB＝90°，点C是的中点，
∴∠COE＝45°，∵CE与圆O相切，∴△OCE为等腰直角三角形，设OC＝CE＝x，则OB＝x，OE＝x，∵OE﹣OB＝BE，BE
＝，∴x﹣x＝，解得：x＝，∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形OCB＝××﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了阴影部分面积的求法
，把阴影部分面积化成其它规则图形面积的和差问题是解决问题的关键．14．（3分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边
长，∠C＝90°，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．若点在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c
的值是 2 ．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣+＝，结合勾股定理及Rt△ABC的面积是4，即可求出c的值，取其正值
即可得出结论．【解答】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上，∴﹣+＝，∴a2+b2﹣2ab＝c2，又∵a2+b2＝c2，ab＝4，∴
c2﹣2×8＝c2，∴c＝2或c＝﹣2（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，
利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，找出关于c的方程是解题的关键．15．（6分）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图
2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知
AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹
角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝ 65 cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝ （13+2）或（1
3﹣2） cm时，察看仪表盘视角最佳．【分析】（1）利用线段的和差定义求解即可；（2）分∠BAE是锐角或钝角，分别画出图形求解即可
．【解答】解：（1）由题意BE＝AC﹣AB＝125﹣60＝65（cm）．故答案为：65．（2）如图2﹣1中，当∠BAE是锐角时，过
点B作BT⊥AE于点T．在Rt△BTE中，BE＝65cm，tan∠BET＝＝2，∴ET＝13（cm），BT＝26（cm），在Rt△
ABT中，AT＝＝＝2（cm），∴AE＝AT+ET＝（13+2）cm．如图2﹣2中，当∠BAE是钝角时，过点B作BT⊥AE于点T．
同法可得，ET＝13，AT＝2，∴AE＝TE﹣AT＝（13﹣2）cm，综上所述，AE的长为（13+2）cm或（13﹣2）cm．【点
评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，
把实际问题转化为数学问题．16．（3分）如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝2
8°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d＝ 90°n ．（用含n的式子表示）【分析】根据图形的变化规律归纳出有n个小正方
形时各夹角的度数和是90°n即可．【解答】解：连接各小正方形的对角线，如下图：图1中，61°+119°+20°+x+45°×2＝3
60°，即20°+x＝90°，图2中，61°+119°+31°+121°+y+45°×4＝360°，即31°+121°+y＝180
°＝2×90°，…，以此类推，a+b+c+…+d＝n×90°＝90°n，故答案为：90°n．【点评】本题主要考查图形的变化规律，根
据图形的变化得出有n个小正方形时各夹角的度数和是90°n是解题的关键．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1
0，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝ 或 ．【分
析】分两种情形分别求解，作DF⊥AB于F，连接AA′．想办法求出AE，利用等腰直角三角形的性质求出AA′即可．【解答】解：如图，作
DF⊥AB于F，连接AA′．在Rt△ACB中，BC＝＝6，∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，∴△AFD∽△ACB，∴＝
＝，∴＝＝，∴DF＝，AF＝，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝，∴AE＝A
′E＝+＝，∴AA′＝，如图，作DF⊥AB于F，当 EA′⊥AB时，同法可得AE＝﹣＝，AA′＝AE＝．故答案为或．【点评】本题考
查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．18．（6分）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是
EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10．以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴
建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 y＝x2+9 ；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为G
D，此时杯体内液体的最大深度为 ．【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物
线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解
析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL∥l，再将QL的解析式
与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案．【解答】解：（1）以A为原点，直线EF为x
轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意得：A（0，0），B（0，9），C（﹣2，19），D（2，19），设抛物线的解
析式为：y＝ax2+9，将D（2，19）代入得：19＝a×（2）2+9，解得：a＝，∴y＝x2+9；（2）将高脚杯绕点F倾斜后，仍
以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意得：A（0，0），F（，0），E（﹣，0），B（0，9
），C（﹣2，19），D（2，19），由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l，∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°，∴
设直线l的解析式为：y＝x+b，将F（，0）代入，解得b＝﹣1，∴y＝x﹣1，又∵GD∥l，∴kGD＝kl＝∴设直线GD的解析式为
y＝x+p，将D（2，19）代入，解得p＝17，∴y＝x+17，∴M（0，17），N（0，﹣1），过点M作MP⊥l于点P，∵∠EF
H＝30°，∠FAN＝90°，∴∠ANF＝60°，∴MP＝MN?sin60°＝[17﹣（﹣1）]×＝9．过抛物线最低点Q作QL∥l
，L为QL于MP的交点，设直线QL的解析式为y＝，联立，得：x2﹣x+9﹣q＝0，∵只有一个交点Q，∴Δ＝0，∴﹣4×（9﹣q）＝
0，∴q＝，∴ML＝（17﹣）×sin60°＝．故答案为：y＝x2+9，．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并
熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键．三、解答题。〔本大题共10小题，共90分〕19．（8分）2022年
2月第24届冬季奥林匹克运动会已在北京举行，在冬奥会的筹备过程中，遇到下面的计算问题，请你帮忙解决．（1）计算：；（2）化简：．【
分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）
首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的除法即可．【解答】解：（1）＝1+3﹣2+2×＝1+3﹣2+＝4﹣．（2）＝×＝×＝
．【点评】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序；以及分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，
然后加减，有括号的先算括号里面的．20．（8分）（1）解不等式组：，并写出它的正整数解；（2）解方程：2x2﹣4x+1＝0．【分析
】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出正整数解即可；（2）方程两边除以2把
二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：（1），由①得
：x＜4，由②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜4，则不等式组的正整数解为1，2，3；（2）2x2﹣4x+1＝0，2（x2
﹣2x+）＝0，x2﹣2x+＝0，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，则x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】（1）考查了一元
一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键；（2）考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完
全平方公式是解本题的关键．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△A
CE．（2）若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，还有条件BD＝CE，即可根据“SA
S”证明△ABD≌△ACE；（2）由△ABD≌△ACE得AD＝AE，而∠DAE＝28°，则∠ADE＝∠AED＝76°，再根据三角形
的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD的度数．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△AC
E中，∴，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）解：∵AD＝AE，∠DAE＝28°，∴∠ADE＝∠AED＝×（180°﹣28°）＝
76°，∵∠ADE＝∠BAD+∠B，且∠B＝28°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝76°﹣28°＝48°，∴∠BAD的度数48°．【
点评】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．22．
（8分）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居
民报名．（1）从4人中抽取1人为男性的概率是 ；（2）请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和
一名女性的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8
种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从4人中抽取1人为男性的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结
果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，∴两人恰好是一男一女的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法
展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（8分）某校为了了解
七年级学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5﹣46.5；B：
46.5﹣53.5；C：53.5﹣60.5；D：60.5﹣67.5；E：67.5﹣74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整
的统计图．请解答下列问题：（1）这次随机抽取了多少名学生调查？并补全频数分布直方图；（2）在抽取调查的若干名学生中体重在哪一组的人
数最多？（3）若该校七年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有多少名？【分析】（1）根据A组
的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可；（2）由图表得出C组学生最多即可；（3）根据样本估计总体即可
．【解答】解：（1）这次抽样调查的学生人数为4÷8%＝50（名），B组的频数为50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，补全频数分布直方图，
如图：（2）在抽取调查的若干名学生中体重在C组的人数最多；（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18人，估计该校七年级体重
超过60kg的学生大约有×800＝288（名）．【点评】此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算．24．（
8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留
作图痕迹）；（2）求⊙O的半径长度．【分析】（1）作AC的垂直平分线得到AC的中点，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）如图
，连接CD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，再根据等腰三角形的性质得到AD＝BD＝6，接着利用正切的定义求出CD，然后利用勾股
定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；（2）如图，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝9
0°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝＝，∴CD＝ AD＝×6＝2，∴
AC＝＝＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．25．（8分）如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，
BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：①AD是⊙O的切线；②△ACD∽△BAD；（
2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半径．【分析】（1）①连接AO，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠DAO＝∠CAD+∠CAO
＝90°，则可得出结论；②根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，求出DC＝2，则可得出答案．【解答】（
1）①证明：连接AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵∠CAD＝
∠B．∴∠DAO＝∠CAD+∠CAO＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；②证明：∵∠CAD＝∠B，∠ADC＝∠BDA，∴△
ACD∽△BAD；（2）解：∵∠BAC＝90°，∴，∵△ACD∽△BAD，∴，∴，∴BC＝DB﹣CD＝8﹣2＝6，∴半径r＝3．【
点评】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．26．（10分）某
商场以m元购进一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件
．（1）第一批购进了 件商品，第二批购进了 件商品，购买这两批商品的平均价格为 元/件；（2）若m＝2400，购买第二
批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．①求第一批商品的购进单价；②若第一批商品的售价为60
元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680
元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）①由题意列出分式方程，解方程可得出答案；②
设第二批商品按原销售单价销售y件，由题意列出一元一次不等式，解不等式可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得第一批购进了件商品，第
二批购进了件商品，∴购买这两批商品的平均价格为＝（元/件），故答案为：；；；（2）①由题意得，，解得a＝40，经检验a＝40是原方
程的解，答：第一批商品的购进单价为40元；②设第二批商品按原销售单价销售y件，则有：20×60+12y+6（50﹣y）≥1680，
∴y≥30，答：第二批商品按原销售单价至少销售30件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系
及不等关系是解题的关键．27．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A（﹣1，0）
、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条
动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待
定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物
线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最
小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣
3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用 ＝，即可求得答案．【解答】解：（
1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：
3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为
y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴
x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC
′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，
＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q
′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为 +1．（3）线段EF的长为定值1．如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞
3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝
t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠
AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．【点评】本题是二次函数与圆的综
合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法，轴对称的应用，平行四边形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形性质，相似三角形的判
定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大；第（2）小题难度不小，解决该问时，利用轴对称加平移找出AQ+QP+PC最小时点P
、Q的位置是解题关键；第（3）小题运用圆内接四边形性质得出△AFD∽△EFB是解题关键．28．（12分）（1）【探究发现】如图①，
已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D''，DD''的延长线与BC的延长线
交于点F，连接BD′，D''E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整
．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ 22.5 °．（2）【类比迁移】如图②，四边形A
BCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D''，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD''，CD''，
D''E．当CD''⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD''的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，
点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直
接写出此时OF的长．【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD＝∠EGD''＝90°，结合∠DEG＝∠BEC得到∠E
BC＝∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE＝∠DCF、BC＝DC，从而证明△BCE≌△DCF；②当点D''与点F重合时，由对称可知∠
DBG＝∠D''BG＝22.5°，然后由①得到∠EDF＝∠EBC＝22.5°；（2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD''的中
点、∠EGD＝∠EGD''＝90°，结合CD''⊥DF得到CD''∥BG，从而有EG是△DCD''的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得
CE＝DE＝1，再由勾股定理求得BE的长；由（1）①得∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD''的长；（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD＝∠EGD''＝90°，∵∠DEG＝∠BEC，∴∠EBC＝∠EDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA）．②解：如图1，当点D''与点F重合时，由对称可知∠DBE＝∠D''BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBE＝∠D''BE＝22.5°，由①得到∠CDF＝∠EBD''，∴∠CDF＝22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD''的中点，∠EGD＝∠EGD''＝90°，∵CD''⊥DF，∴CD''∥BG，∴EG是△DCD''的中位线，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD＝×2＝1，∴BE＝＝，由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°，∴△ECB∽△EGD，∴，∴，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∵EG是△DCD''的中位线，∴CD''＝2EG＝2×＝．（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，由（1）①可得，∠GDF＝∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ODC＝∠ODA，∴∠OAF＝∠ODA，∵AC＝2，∴OA＝1，∵AD＝，∴OD＝，∴tan∠OAF＝tan∠ODA＝＝，∴，∴OF＝；②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD＝90°，∠DAG＝∠EAG＝∠DAE，∵AD＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠ABE，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠ABO＝∠DAG，在△AGD和△BOA中，，∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG＝AO＝1，AG＝BO＝，∴DG＝AO，∵∠FAO＝∠FDG，∠FOA＝∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF＝FG，设OF＝FG＝x，则DF＝﹣x，在Rt△DFG中，DF2＝GF2+DG2，∴（﹣x）2＝x2+12，解得：x＝，∴OF＝，综上所述，OF的长为或．【点评】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到∠EBC＝∠EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型． |
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