2021-2022学年高二下学期期中考试（理科）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________
考号：___________一、单选题1．下列说法不正确的是A．系统抽样是将差异明显的总体分成几部分，再进行抽取B．分层抽样是将差
异明显的几部分组成的总体分成几层，然后在每个层中按照所占比例随机抽取C．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样D．系统抽样是将总体
进行编号，等距分组，用简单随机抽样法在第一组中抽取第一个样本，然后按抽样距抽取其他样本2．已知（为虚数单位），则（?）A．B．C．
D．3．已知函数的定义域为，则“存在，对任意，均有”是“有最大值”的（?）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件4．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，，…，.将14次成绩输
入程序框图，则输出的结果是（?）A．8B．9C．10D．115．已知随机变量X服从二项分布.若，，则（?）A．B．C．D．6．连续
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上
”，事件B表示“3次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，有以下说法；①事件B与事件C互斥；②；③事件
A与事件B独立；④记C的对立事件为，则.其中正确的是（?）A．①②B．②③C．③④D．②③④7．按下面的流程图进行计算.若输出的，
则输入的正实数值的个数最多为A．B．C．D．8．在各项均为正数的等比数列中，，且有，求（?）A．2B．4C．64D．1289．有诗
云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个
角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心?正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分
种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（?）A．B．C．D．10．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，
动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（?）A．B．C．D．11．的内角所对的边分别为.已知，则的面积的
最大值（?）A．1B．C．2D．12．若，，三点共线，则（?）A．B．C．D．二、填空题13．若随机变量，，则______．14．
在长方体中，已知，，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为___________.15．的展开式中的系数为___________
.(用数字填写答案)16．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围___________.三、解答题17．《中华人民共和
国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”
，其中第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑
马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009580(1)请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
(2)预测该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：，；参考数据：，.18．第七次全国人口普查数据显示，我国60岁
及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段.为了调查某地区老年人生
活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，
幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如图：(1)根据茎叶图完成下列列联表；一般幸
福非常幸福合计男性20女性20合计40(2)通过计算判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？附：，其中.0.150.1
00.050.0252.0722.7063.8415.02419．已知椭圆：的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，，求的取值范围．20．已知函数(1)当时，求f（x
）的单调递增区间：(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.21．已知直线l的参数方程为（t为参数
），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)
若点P为直线上的动点，点Q是曲线C上的动点，求的最小值．22．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设，若的最小值为m，实数a，b
，c均为正数，且；求的最小值．参考答案：1．A【解析】根据简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的概念，可得结果.【详解】A选项错误，系
统抽样是将总体进行编号，等距分组，用简单随机抽样法在第一组中抽取第一个样本，然后按抽样距抽取其他样本所以A选项不对故选：A【点睛】
本题考查简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的概念，属基础题.2．B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.
3．B【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】只有当?M，，且，使得，这时有最大值，反之，若有最大
值，则存在，对任意，均有成立.所以函数的定义域为，则“存在，对任意，均有”是“有最大值”的必要不充分条件.故选：B4．D【分析】算
法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于的次数，根据茎叶图可得成绩大于等于的次数，即值．【详解】解：由程序框图知：算
法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于的有：123、125、126
、128、132、133、134、136、139、142、141共11次，输出的值为11．故选：．【点睛】本题借助茎叶图考查了循环
结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．5．C【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差
的公式运算即可得解．【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).又E(X)=2, ，所以np=2，np(1?p)= ，解得：p=
，故选：C.【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.6．D【分析
】事件B包含事件C可判断①，利用对立事件的概率求法可判断②，根据相互独立事件的定义可判断③，利用条件概率公式求解可判断④.【详解】
事件B，C可能同时发生，①错误；，②正确；，，故A与B独立③正确；,，故④正确，因此②③④正确.故选：D.7．A【详解】程序框图的
用途是数列求和，当x＞100时结束循环，输出x的值为202：当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202．2
02=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202．202=3（3（3x+1）+1）+1．即201=3（3（
3x+1）+1），∴67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202．202=3（3（3（3x
+1）+1）+1）+1．解得x=2，输入x=2时，输出结果202．202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1．解得x
=，输入x=时，输出结果202．共有5个不同的x值．故答案为A．8．C【分析】根据等比数列的通项公式列出方程求出公比，即可求解.【
详解】设各项均为正数的等比数列公比为，则，即，解得，所以，故选：C9．A【分析】设正方形的边长为，分别求得正方形与阴影部分的面积，
结合面积比的几何摡型，即可求解.【详解】由题意，设正方形的边长为，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为，可得正方形的面积为，阴影部
分的面积为，根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是.故选：A.10．B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示点坐标满
足的关系式，进而求得长度的取值范围.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，依题意，设平面的法向量为，则，故可设，设，，,，由于平面，
所以，则，，，.函数的开口向上，对称轴为，所以在上递减，在上递增.，，，所以长度的取值范围是.故选：B11．B【分析】利用余弦定理
求出和，利用面积公式和基本不等式求出的面积的最大值.【详解】在中，由余弦定理，可化为.因为,所以.由余弦定理，可化为：，解得：（a
=0舍去）.因为，所以，即（当且仅当时取等号）.所以的面积.故选：B12．A【分析】由已知条件得出，结合斜率公式可求得实数的值.【
详解】由于、、三点共线，则，即，解得.故选：A.13．0.4##【分析】根据正态分布的对称性进行求解.【详解】由正太分布的对称性可
知：故答案为：0.414．##【分析】根据给定条件求出长方体内置球的最大半径，再利用球的体积公式计算即得.【详解】在长方体中，，，
则长方体内最大球只能与平面和相切，此时球的直径为1，所以长方体内置球的体积最大值为.故答案为：15．【分析】先求展开式的通项公式，
进而得当时和当时的项，再根据乘法原则计算即可得答案.【详解】解：由二项式定理得展开式的通项公式为：，故当时，，当时，,所以的展开式
中的项为：，故的展开式中的系数为：.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.本
题解题的关键在于根本就通项公式求得当时，，当时，,再结合乘法运算即可.16．【分析】根据分段函数，当时，有成立，利用均值不等式求得
其最小值，当时，将，转化为恒成立，令，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集．【详解】当时，等价于，当时，当且仅当则时，等号成立
，则得；当时，等价于恒成立，令，则，当时，递增，当时，递减，∴时，取得最小值，∴，综上：a的取值范围是.故答案为：.17．(1)；
(2)37.【分析】（1）求出样本的中心点，再利用最小二乘法公式计算作答.（2）利用（1）的结论计算，即可求出预测值作答.(1)，
，于是得，，所以违章人数与月份之间的回归直线方程为.(2)由（1）令，得：，所以该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数约为
37.18．(1)答案见解析(2)有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关【分析】（1）根据茎叶图中的数据进行整理，填入列联表即
可；（2）根据题目数据，独立性检验的计算过程计算求解即可.（1）列联表如下：一般幸福非常幸福合计男性16420女性11920合计2
71340（2）依题意得，，有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.19．(1)(2)【分析】（1）利用题设条件可以列出一组关
于，，的方程，解出，，即得所求（2）分情况讨论，当直线的斜率不存在时，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，以为参数表示，求其
取值范围即得所求(1)设椭圆：的焦点为，，由点，且的面积为，可得，解得，又由，可得，所以，所以椭圆的标准方程为．(2)①当直线的斜
率为时，，则；②当直线的斜率不为时，设，，直线的方程为，由 整理得，则，，又，，所以，令，当时，；当时，，设，则由对勾函数性质可知
，于是，故．综上：20．(1)和；(2)证明见解析.【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求解；(2)根据极值点的定义可得方程
有两个不相等的实根()，由正弦函数图象可知，利用导数求出函数的极值，进而构造函数，再次利用导数求出即可.(1)函数的定义域为，当时
，，，令或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的单调递增区间为和；(2)，因为函数恰有两个极值点，所以方程有
两个不相等的实根，设为且，当时，函数图象关于直线对称，则，即，因为，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以分别
是函数的极大值点和极小值点，即，，于是有，因为，所以，所以，而，所以，设，，则，令或，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函
数有最小值，即，因此有，即.【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清
极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.21．(1)，(2)【分析
】（1）直接消去参数，可得的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得曲线C的普通方程；（2）求出曲线C的参数方程，设，然
后利用点到直线的距离公式表示出点Q到直线的距离，化简变形后可求出其最小值(1)由（t为参数），消去参数t，可得的直角坐标方程为．由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的普通方程是．(2)直线的普通方程为，曲线C的参数方程为（为参数，）．设，则点Q到直线的距离（其中）．当时，．所以．22．(1)(2)3【分析】（1）分段取绝对值再求解即可；（2）根据绝对值的三角不等式可得，再根据基本不等式求解最小值即可.（1），即．当时，，解得；当时，，解得，又，所以；当时，，解得，又，所以．综上，不等式的解集为．（2），当且仅当，即时取等号，所以，即．所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为3．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页 |
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