黑龙江省2021-2022学年高一下学期期末考试考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：_________
__考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（?）A．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的
比例选取职工代表B．用抽签的方法产生随机数C．福利彩票用摇奖机摇奖D．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖2．若
直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（?）A．a平行于α内的有限条直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离
相等D．α内存在无数条直线与a成90°角3．设，，为不同的直线，，，为不同的平面，下列四个命题中错误的是（?）A．若，，则B．若，
，，则C．若，，，，则D．若，，，，则4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相
同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据
以上信息，判断下列结论中正确的是（?）A．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同B．小王一家2021年用于其他方面的
支出费用是2018年的3倍C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍D．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018
年相同5．已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（?）A．若在线段上，则三棱锥的体积
为定值B．若在线段上，则与所成角的取值范围为C．若平面，则点的轨迹的长度为D．若，则与平面所成角正切值的最大值为二、单选题6．已知
，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“，相交“是“，相交”的（?）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D
．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进
行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为，其中被抽取的男生平均身高为，则被抽取的女生平均身高为（?）A．B．C．D．8．从二面角内一
点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（?）A．互为余角B．相等C．其和为周角D．互为补角9．
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、
众数、中位数分别是（?）A．73.3，75，72B．72，75，73.3C．75，72，73.3D．75，73.3，7210．对于
数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7
，正确的个数为（?）A．1B．2C．3D．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某
学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门
进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲?乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（?）A．B．C．D．12．已知正
四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2B．C．D．1
三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判
断①点P的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学
参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为、，获得二等奖的概率分别为、，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人
至少有人获奖的概率为___________.15．数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.16
．将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，G是棱的
中点．(1)证明：；(2)证明：平面平面．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：；乙：
．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业名学生参加某
次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布
直方图：（1）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（2）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人
数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘
在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为，乙
笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面
试部分每个环节通过的概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙
两人通过各个环节相互独立．(1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为，求的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数
为，求的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P-ABC中，平面，分别为的中点，(1)求证：MN//平面PAC(2)求证：平面PB
C平面PAM22．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求三棱
锥的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A，此为分层抽样；对于B，此为随机数表法
；对于C，此为简单随机抽样；对于D，此为系统抽样.故选：BC.2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线
a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确.故选：BCD.3．ACD【分析】选项ACD，可借
助正方体构造反例；选项B，在平面分别取直线满足，直线满足，可证明，，即得证.【详解】A选项：取平面，，但是不垂直于平面，命题A错误
．B选项：设，，在平面分别取直线满足，直线满足．因为，，所以，，又，，所以，，所以．命题B正确．C选项：平面，平面，但平面与平面不
平行，命题C错误．D选项：平面平面，交线为，平面，，但与平面不垂直，命题D错误．故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图
的性质，可得答案.【详解】对于A，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多
，∴小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A错误；对于B，设2018年收入为a，∵相同的还款数额在2018年占各项
支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∴2021年收入为：，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用为，小王一家2018
年用于其他方面的支出费用为，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B正确；对于C，设2018年收入为a，
则2021年收入为：，故C错误；对于D，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D正确．故选：BD．5．ACD【分
析】A. 如图，当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得与
所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段，所以该选项正确；D. 点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径
的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.【详解】A. 如图，因为平面平面所以平面所以当在线段上
时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为所以与所成角就是与所成的角（锐
角或直角），当点在时，由于△是等边三角形，所以这个角为，当时，这个角为，由图得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别
是中点，点的轨迹是线段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以点的轨迹的长度为，所以该
选项正确；D.如图，由题得与平面所成角为,,即求的最小值，因为,平面,所以平面,所以,所以点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆
，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.故选：ACD6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即
可.【详解】解：①若，相交，，，则其交点在交线上，故，相交，②若，相交，可能，为相交直线或异面直线．综上所述：，相交是，相交的充分
不必要条件．故选：C．7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答.【详解】根据分层随机抽样原理，被
抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为，则，解得，所以被抽取的女生平均身高为.故选：A8．D【分析】做出图
像数形结合即可判断.【详解】如图，A为二面角内任意一点，，，过B作于D，连接CD，因为，，所以因为，，所以，且，所以平面，且面，所
以则为二面角的平面角，，为两条垂线AB与AC所成角，所以， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角.故选：D.9．B【解析】
根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为 众数为最高矩形底边的中点,即
中为数为: 可得所以中为数为 综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属
于基础题.10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解.【详解】解：平均数为，故甲正确；众数为：3，6，8
，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：，则中位数为，故丙错误；，则第75百分位数为，故丁正确，所以正确的个数为2个.故选：
B.11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【
详解】甲、乙总的选课方法有：种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种，（先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程
相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法）所以概率为，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题
的关键在于分析两人的选课仅有门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率
计算方法完成求解.12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，到平面的距离等
于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得: 考点：利用等体积法求距离13．①③【分析】
先证明平面平面，可判断P的轨迹是线段，结合选项和几何性质一一判断即可．【详解】分别连接，所以，又因为，则，同理，，故平面平面，又因
为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上．所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确；当为中点时，线段最小，最小值为，故②错
；因为在正方体中，平面，又平面，则，故③正确；当与重合时，与平行，则④错．故答案为：①③14．【分析】利用独立事件的概率乘法公式和
对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为，乙不中奖的概率为，因此，甲、乙两人至少有人获奖的概率
为.故答案为：.15．16【详解】试题分析：由题意知，，则，，而，所以所求方差为．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的
运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据与中若有时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系
是：，或是，掌握此关系会给我们计算带来很大方便．16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角.
【详解】如图，取，，的中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.
设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故答案为： 60°17．(1)证明见解析(2)证明见解
析【分析】（1）由线面垂直得到，从而求出平面，得到；（2）根据正方形得到，结合第一问求出的，得到平面，从而证明面面垂直.（1）∵平
面，且平面，∴．又因为，平面，所以平面．∵平面，∴．（2）∵，易知矩形为正方形，∴．由（1）知，又由于平面，∴平面．又∵平面，∴平
面平面．18．（1）甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】
（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，
若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由
题知：甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于 （2）甲的平均数等于乙的平均数等于甲的方差等于?乙的方差等于所
以甲的标准差等于，乙的标准差 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计
算能力，属于基础题型.19．（1）0.4；（2）20；（3）.【分析】（1）根据频率组距高，可得分数小于70的概率为：；（2）先计
算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间，内的频率，可估计总体中分数在区间，内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于
70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小
于70的频率为：故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间，内的频率为：，估计总体中分数在区间，内的人数为人，（3）样本中分数不小于70
的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于
70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为，即女生的频率为：0.4，则女生人数为，所以总体中男生和女生人数的比例约为：．20．(1
)；(2)；(3)分布列见解析；期望为．【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析时
，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件“
甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节，故；(2)当时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试
都未通过，；(3)甲应聘成功的概率为，乙应聘成功的概率为，由题意可知，的取值可能为0，1，2，，，所以的分布列如下表：012所以数学期望.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得,结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由平面，证得，再由，证得，根据线面垂直的判定定理证得平面，进而得到平面平面.（1）证明：在中，因为分别为中点，可得,又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为平面，且平面，可得，又因为，且为中点，可得，又由且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，可证明，再证明，从而可证明结论.（2）由线面垂直的判断定理得平面，由得平面，再由棱锥的体积可得答案.（1）连接，为公共边，，又为的中点，，在中，由余弦定理可知，在中，，满足，又，平面.（2）由（1）知平面，平面，且，平面，且，平面，.答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页 |
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