江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2022?常州一模
）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超
过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”
知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平
均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．二．反
比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022?常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点
D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为 （用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式；（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a
≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 ．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2022?海陵区一模）如图，动点P在函数y
＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．（1）直
接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明
理由；（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．四．二次函数综合题（共9小题）4．（
2022?江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所
有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+
2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤
b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确
界的有上界函数，求实数a的值．5．（2022?崇川区一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关
于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A
的坐标为（2，1）．（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是 （只填序号）；①（3，﹣1）；②（﹣2，1）；③（2，﹣1
）；④（﹣1，﹣1）．（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；（3）抛物线
y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．6．（2022?滨
湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶
点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；（1）①抛物线的对称轴是 ；②求抛物线的函数
表达式．（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平
行四边形顶点G的坐标．7．（2022?邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．（1）求抛物线的函数
表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图
2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．8．（2022?无锡一模）如
图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y
轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．（1）点A的坐标为 ；（2）若射线CB平分∠PCO
，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线B
C和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？9．（2022?仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为
常数，且a≠0）．（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ ，
x2＝ ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）（2）若b＝﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3
），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；（3）若a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x
2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的取值范围．10．（2022?锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+b
x+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛
物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下
方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022?宜兴
市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴
交于C，点D在线段BC上，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；（3）M是抛
物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出
来．12．（2022?常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0）
，B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）13．（2022?武进区一模）如图，?ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，
连接AE，CF．（1）求证：∠DAE＝∠BCF．（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．六．菱形的判定与性质（共1小
题）14．（2022?仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延
长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．七．
四边形综合题（共7小题）15．（2022?江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针
旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，
求A′B的长；（2）连接A′A、A′B，当∠BA′B''＝90°时，求tan∠A′AD；（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，
则CG的最小值＝ ．16．（2022?宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点
B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B''和折痕OP．（1）如图①，连
接CB''，当CB''长度最小时，求点P的坐标；（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB''上，得点C''和折痕PQ，请问
AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．17．（2022
?鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个?ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”小明的思考：在不明确如何入手的时候，
可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．例如，假设?ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD
，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA．∴BA＝BE．（①）∵E是边BC的中点，∴……再倒过来，只要作出的?ABCD满足BC
＝②BA即可．（1）填空：① （填推理依据）；② ．（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个?ABCD，使得点A与边B
C的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）（3）问题（2）所作的?ABCD中的BC和BA是否也
有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k的取值范围．18．（2022
?扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类
比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．【知识方法】（1）如图1，AE＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC
于点E，则AB与CD的关系是 ；【类比迁移】（2）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．①如图
2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②如图3，以
CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最小值为 ；【拓展应用】（3）四边形ABCD是矩形，A
B＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将
CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最小值．19．（2022?锡山区一模）【学习概念】有一组对
角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，C
D＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝ ，sin∠CAD＝ ．（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD
，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0
），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设
＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 ．20．（2022?海陵区一模）如图，在
矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC
于点G．（1）求证：EG＝BG；（2）若m＝2．①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；②当直线BF经过点D时，直接写出
AB的长；（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（
2022?兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点
N与点C重合时，直线m恰好经过点D．（1）求BC长；（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．①当BN＝4
时，求EN长；②如图3，连接DM，交直线n于点G，在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．八．切线的性质（共2小题）22．（
2022?崇川区一模）如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．
（1）求证：BC平分∠ABD；（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．23．（2022?常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，
O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相
切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．九．圆的综合题（共2小题
）24．（2022?秦淮区一模）【数学概念】我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M
，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．【性质初探】（1）双圆四边形的对角的数量关系是
，依据是 ．（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．【揭示关系】（
4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．【特例研究】（5
）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．25．（20
22?玄武区一模）旋转的思考【探索发现】（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结
论．小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A
相切．（ⅰ）请证明小美所发现的结论．（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其
中的空格．【问题解决】（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A''
B''C''．（ⅰ）如图③，当边B''C''恰好经过点C时，连接BB''，则BB''的长为 ．（ⅱ）在旋转过程中，若边B''C''所在直线l
恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）【拓展研究】（3）在（2）的条件下，如图⑤，在
旋转过程中，直线BB''，CC''交于点P，则BP的最大值为 ．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）26．（2022?崇川区
一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．（1）如图，当点E在边C
D上时，若BC＝10，DF的长为 ；若AF?DF＝9时，求DF的长；（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的
长．一十一．相似形综合题（共2小题）27．（2022?常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与
交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这
个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线
”；（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优
美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．28．（2022?邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线O
M、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．（1）如图1所示，当点G在E
D上，若OG＝DE，则∠EDF＝ °；（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；（3）若DG＝2，A
G＝4，求DF的长．江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）参考答案与试题解析一．一元二
次方程的应用（共1小题）1．（2022?常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，
街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人
员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作
人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月
后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，依题意得：7.
5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m
%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解
得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值为50．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022?常州一模）如图
，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点
B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．（1）点A的坐标为 （m﹣2，4） （用含m的式子表示）；（2）求反比
例函数的解析式；（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 0＜x＜1或x
＞3 ．【解答】解：（1）D（m，），BC＝2，∴OB＝m﹣2，又∵AB＝4，AB⊥OC，∴A（m﹣2，4），故答案为：（m﹣2，
4）；（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象上有A，D两点，∴k＝4×（m﹣2）＝m，解得m＝3，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y
＝；（3）∵A（1，4），D（3，），∴不等式﹣（ax+b）＞0的解集为0＜x＜1或x＞3．故答案为：0＜x＜1或x＞3．三．反比
例函数综合题（共1小题）3．（2022?海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函
数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；（2）点P在
运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB
的内部（不包含边），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．∴P（a，），∵PA∥x
轴，PB∥y轴，∴B（a，﹣），A（﹣）；（2）是定值，理由如下：∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，∴△APB的面积为×PA
×PB＝＝，∵S四边形AOBP＝3+1＝4，∴△AOB的面积为定值4﹣＝；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点B（a，﹣）
，A（﹣）代入得，k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为：y＝﹣，当x＝时，y＝﹣，∵点Q始终在△PAB的内部，∴﹣＜1，且＞1，且a
＞，解得a≠1，且＜a＜3，综上：＜a＜3且a≠1．四．二次函数综合题（共9小题）4．（2022?江都区一模）对某一个函数给出如下
定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上
确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上
界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 7 ；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最
小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．【解答】解：
（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴y≥0，∴y＝x2+2x+1没有上界函数；∵y＝2x﹣3（x≤5），∴y≤7，∴y＝2
x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，故答案为：②，7；（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时
，y有最小值，∴≤y≤，∵函数上确界是b+1，∴＝b+1，∵函数的最小值为2，∴＝2，∴b＝3，∴a＝；（3）∵y＝﹣x2+2ax
+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，∴当x＝a时，y有最大值a2+2，①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，∵6为上确界，∴1﹣
2a＝6，∴a＝﹣；②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，∵6为上确界，∴6a﹣7＝6，∴a＝（舍）；③﹣1＜a＜3时，x＝a
时，y有最大值a2+2，∵6为上确界，∴a2+2＝6，∴a＝2或a＝﹣2（舍）；综上所述：a的值为﹣或2．5．（2022?崇川区一
模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如
，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．（1）下列各点中，与点A关于x轴纵
对称的点是 ①④ （只填序号）；①（3，﹣1）；②（﹣2，1）；③（2，﹣1）；④（﹣1，﹣1）．（2）若点A关于x轴的纵对称点
B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵
对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为﹣1，
横坐标为不等于2，∴②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，故答案为：①④；（2）由题意可得点B的纵坐标为﹣
1，设点B的坐标为（x，﹣1），①当x＞0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，∴S△AOB＝S梯形AMN
B﹣S△AOM﹣S△BON＝（2+x）×（1+1）﹣×2×1﹣x?1＝3，∴x＝4，∴点B的坐标为（4，﹣1），∵点B恰好落在直线
y＝kx+3k+1上，∴4k+3k+1＝﹣1，解得k＝﹣，∴k的值为﹣；②当x＜0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥x轴，作BN⊥
y轴于N，AM、BN交于点M，∴S△AOB＝S△ABM﹣S梯形AMNO﹣S△BON＝（2﹣x）×（1+1）﹣×（1+1+1）×2﹣
（﹣x）×1＝3，∴x＝﹣8，∴点B的坐标为（﹣8，﹣1），∵点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，∴﹣8k+3k+1＝﹣1，解得
k＝，∴k的值为；综上，k的值为﹣或；（3）令y＝﹣1，则ax2﹣2ax﹣3a＝﹣1，∴ax2﹣2ax﹣3a+1＝0，∵抛物线y＝
ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+1）＝16a2﹣4a＞0，∴4a2﹣a＞0
，设两个点的横坐标分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣＝2，x1?x2＝∴|x1﹣x2|≤6，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣
4x1?x2≤36，∴4﹣4×≤36，∴1﹣≤9，①当a＞0时，1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，解得a≥﹣，且a＞，∴a＞；∵与点A（
2，1）关于x轴纵对称，∴这两个点不能是（2，﹣1），将（2，﹣1）代入ax2﹣2ax﹣3a＝0得，4a﹣4a﹣3a＝﹣1，解得a
＝，∴a≠，∴a＞且a≠；②当a＜0时，1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，解得a≤﹣，且a＜，∴a≤﹣；综上，a的取值范围为a＞且a≠或
a≤﹣．6．（2022?滨湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；（1）①抛物线的对称轴是
直线x＝1 ；②求抛物线的函数表达式．（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大
值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．【解答】解：（1）①∵y＝ax2﹣2ax+c，∴x＝﹣＝1，即抛物线的对称
轴是直线x＝1，故答案为：直线x＝1；②∵C（0，4），∴抛物线y＝ax2﹣2ax+4，∵△PCM与△PBM的面积比为1：2，∴P
M×（xB﹣1）＝2×PM×（1﹣xC），∴xB﹣1＝2，∴xB＝3，∴B（3，0），∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴A（﹣1，0
），将B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+4中，得：9a﹣6a+4＝0，解得：a＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x
+4．（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+4，设Q（
t，﹣t2+t+4），则N（t，t+4），∴QN＝﹣t2+t+4﹣（t+4）＝﹣t2+4t，设QN与x轴交于H，则H（t，0），∴
NH＝t+4，BH＝3﹣t，∵QN⊥x轴，∴∠BHN＝∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵sin∠CBO＝＝，∴＝
，∴NB＝（t+4）＝t+5，∴QN+NB＝﹣t2+4t+（t+5）＝﹣t2+t+5＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，QN+N
B取得最大值，∴﹣t2+t+4＝﹣×（）2+×+4＝，此时，Q（，），N（，），①当BQ为?BNQG的对角线时，BG∥QN，BG＝
QN，∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，∴BG＝，BG∥y轴，∴G1（3，）；②当BN为?BQNG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，∵Q
N＝﹣＝，QN∥y轴，∴BG＝，BG∥y轴，∴G2（3，﹣）；③当QN为?BQGN的对角线时，BN∥GQ，BN＝GQ，∵BH＝3﹣
＝，HN＝，∴BN向左平移个单位，向上平移个单位，得到线段GQ，∴点G的横坐标为：﹣＝﹣，点G的纵坐标为：+＝，∴G3（﹣，）；综
上所述，顶点G的坐标为G1（3，）或G2（3，﹣）或G3（﹣，）．7．（2022?邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0
，﹣4），且OB＝OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方
，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接
写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵点C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OB＝OC∴OB＝3，∴点B（3，0），∵抛物线y＝x2+bx
+c经过点C（0，﹣4），点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）把C向上移1个单位得点C′，再作C
′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点下方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E
＝C″E，此时四边形ACDE的周长最小，∵C（0，﹣4），∴C′（0，﹣3），∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴C″（
2，﹣3），A（﹣1，0），∴AC＝＝，AC″＝＝3，∴AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC
″＝1++3的值最小，∴四边形ACDE的周长的最小值为1++3；（3）如图，设直线CN交x轴于点E，直线CN把四边形CBNA的面积
分为3：1两部分，又∵S△NCB：S△NCA＝EB×（yN﹣yC）：AE×（yN﹣yC）＝BE：AE，则BE：AE＝1：3或3：1
，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，则AE＝3或1，即：点E的坐标为（2，0）或（0，0），∵当点E的坐标为（0，0）时
，直线CE与抛物线不可能交于点N，故不合题意，舍去，当点E的坐标为（2，0）时，设直线CN的表达式：y＝kx﹣4，∴2k﹣4＝0，
解得k＝2，∴直线CN的表达式：y＝2x﹣4，联立y＝x2﹣x﹣4并解得：x＝或0（不合题意，舍去），故点N的坐标为（，3）．8．
（2022?无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点
A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．（1）点A的坐标为 （﹣1，0
） ；（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点
，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？【解答】解：（1）把B（3，0）代入
入y＝ax2+bx﹣3a，得0＝9a+3b﹣3a，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＜0，∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∴A（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）；（2）由（1）知，b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝1．设对称轴与BC交于点G，∵y＝ax2+bx﹣3a＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴P（1，﹣4
a），当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3a＝﹣3a，∴C（0．﹣3a），设直线BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝ax﹣3a
，当x＝1时，y＝ax﹣3a＝﹣2a，∴G（1，﹣2a）．∵CB平分∠PCO，∴∠PCG＝∠OCG，∵CO∥PG，∴∠OCG＝∠C
GP，∴∠PCG＝∠CGP，∴PC＝PG，∵P（1，﹣4a），C（0，﹣3a），G（1，﹣2a）．∴PC2＝PG2，即1+a2＝4
a2，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+；（3）∵DE⊥x轴，∴∠EDB＝90°，∠DEB＜90°，∵∠CEF＝∠D
EB，∴∠CEF≠90°，①当∠CFE＝90°时，CF∥OB，∵对称轴为直线x＝1，∴此时m＝2；②当∠ECF＝90°时，设直线C
F交x轴于点H，当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，∴C（0，），∵B（3，0），∴tan∠OCB＝，∴∠OCB＝60，∴∠HCO＝3
0°．∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴H与A重合，∴此时m＝﹣1；综上，当m＝2或﹣1时，△CEF为直角三角形．9．（
2022?仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）．（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图
象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ 0 ，x2＝ 1 ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）（2）若b＝
﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；（3）若
a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的
取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+1是开口向下的抛物线，对称轴是y轴，∴设m＝1，n＝0，则x1＝0，x2＝1，故答案为：
0，1；（2）∵b＝﹣4a＜0，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴函数图象是开口向上，对称轴是直线x＝2的抛物线，∴Q
（，y2）关于对称轴直线x＝2的对称点为Q′（，y2），∵＜＜，且图象在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，∴y1、y2、y3的大
小关系为：y1＜y2＜y3；（3）将点F（0，3）代入函数解析式y＝ax2+bx+c，得c＝3，∵a：b：c＝1：（﹣4）：3，∴
a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2，∵D（x1，m）与E（x2，m）的纵坐标相同，∴点D
和点E关于对称轴直线x＝2对称，∴＝2，∴x1+x2＝4，故x2＝4﹣x1，∵2≤x2﹣x1≤3，∴2≤4﹣x1﹣x1≤3，∴2≤
4﹣2x1≤3，∴≤x1≤1，∴x1在函数对称轴的左边，此时y随x的增大而减小，当x1＝时，m＝，当x1＝1时，m＝0，∴m的取值
范围为0≤m≤．10．（2022?锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C
．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别
交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似
．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y
＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x
﹣2；（2）存在，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0．∴x＝﹣1或x＝4．∴点A（﹣1，0
）．∴OA＝1．∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2．∴＝．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴
∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC．Ⅰ、当△PNC∽△AOC时，∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC．∴CP∥OB．∴点P
的纵坐标为﹣2．∴m2﹣m﹣2＝﹣2．∴m＝0（舍）或m＝3．∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∠PCN＝∠CAO，∴
∠OCB＝∠PCD．∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP．∴∠PCD＝∠PDC．∴PC＝PD．由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m
，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝．∴2m﹣m2＝．∴m＝或m＝0（不符合题意，舍去）．∴P（，﹣）．即满
足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．11．（2022?宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c
（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若P
为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶
点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点分别代入
抛物线y＝ax2﹣x+c中得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）如图1，连接PC，过点P作PE∥y轴，交B
C于E，∵＝，∴＝，设BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴BC的解析式为：y＝x﹣4，设E（t，t﹣4），P（t，t2﹣t
﹣4），∴EP＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，∴S△CPB＝?PE?OB＝×4（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t2﹣
4t+4﹣4）＝﹣（t﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当t＝2时，△BCP的面积最大，且最大值是4，此时△BDP的面积最大值是；（3）
∵B（4，0），C（0，﹣4），＝，∴D（，﹣），抛物线的对称轴是：x＝1，分三种情况：①如图2，四边形ADNM是平行四边形，∵A
（﹣2，0），D（，﹣），点M的横坐标为1，∴点N的横坐标为，当x＝时，y＝×（）2﹣﹣4＝，∴N（，）；②如图3，四边形ADMN
是平行四边形，由平移得：点N的横坐标是﹣，当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝，∴N（﹣，）；③如图4，四边形ANDM是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标为：﹣当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝﹣，∴N（﹣，﹣）；综上，点N的坐标为N（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）
．12．（2022?常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），
B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）求点D的坐标；（
3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．【
解答】解：（1）设抛物线对应的二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴y＝﹣
（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，即抛物线对应的二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x
+1）2+4，∴M（﹣1，4），设OM的解析式为：y＝kx，∴﹣k＝4，∴k＝﹣4，∴OM的解析式为：y＝﹣4x，∵OM∥CD，∴
CD的解析式为：y＝﹣4x+3，设AM的解析式为：y＝mx+b，∴，解得：，∴AM的解析式为：y＝2x+6，∴2x+6＝﹣4x+3
，∴x＝﹣，∴D（﹣，5）；（3）存在，∵P在直线AM上，∴设P（t，2t+6），①当点P在x轴的上方时，如图1，∵△POA的面积
与四边形POCM面积之比为1：2，∴S四边形POCM＝2S△POA，∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，∴×6×（﹣t）﹣×3
×1＝2××3（2t+6），∴t＝﹣＝﹣，∴P（﹣，）；②如图2，当点P在x轴下方时，∵S四边形POCM＝2S△POA，∴S△OP
E﹣S△CME＝2S△POA，∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（﹣2t﹣6），∴t＝﹣5.5，∴P（﹣5.5，﹣5）；综上，点
P的坐标为（﹣，）或（﹣5.5，﹣5）．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）13．（2022?武进区一模）如图，?ABCD中，E
、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．（1）求证：∠DAE＝∠BCF．（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，E
F互相平分．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE与△CDF
中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠BCF．（2）证明：连接AO交BD于点O，连接AF、CE．由（1）得，△ABE≌
△CDF，∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AC、EF互相平分
．六．菱形的判定与性质（共1小题）14．（2022?仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点
．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝3，AB＝
4，求菱形ADCF的面积．【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE
＝DE，BD＝CD，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝
DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：连接DF，如图所示：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，∵四边形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面积＝AC?DF＝×3×4＝6．七．四边形综合题（共7小题）15．（20
22?江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D
，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；（2）连接A′A、A′
B，当∠BA′B''＝90°时，求tan∠A′AD；（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．【解答】解：（
1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，当A′落在线段BC上时，由旋
转得A′D＝AD＝4，∴A′C＝＝＝，∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣，∴A′B的长为4﹣．（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧
，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B''＝90°，∴
∠B′A′D+∠BA′B''＝180°，∴点B、A′、D在同一条直线上，∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝5，∴＝＝＝si
n∠ADB，＝＝＝cos∠ADB，∴A′E＝A′D＝×4＝，ED＝A′D＝×4＝，∴AE＝AD﹣ED＝4﹣＝，∴tan∠A′AD＝
＝＝3；如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝
90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B''＝90°，∴∠B′A′D＝∠BA′B''，∴A′D与A′B重合，∴点B、A′、D在同一条直线
上，∵∠EDA′＝∠ADB，∴＝sin∠EDA′＝sin∠ADB＝＝，＝cos∠EDA′＝cos∠ADB＝＝，∴A′E＝A′D＝，
ED＝A′D＝，∴AE＝AD+ED＝4+＝，∴tan∠A′AD＝＝＝，综上所述，tan∠A′AD＝3或tan∠A′AD＝．（3）如
图4，在AD上截取DF＝，则＝＝，作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DG＝DH，连接FG、CG，则＝，∵A′D＝AD，∴H为AA′
的中点，∴DH为△DAA′的中线，∴点G为△DAA′的重心，∵＝，∠FDG＝∠ADH，∴△DFG∽△DAH，∴∠FGD＝∠AHD＝
90°，取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝OD＝DF＝×＝，∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，∵
CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，∴CG+≥CP+，∴CG≥CP，∴当CG＝CP时，CG的长最小，∵OC＝＝＝，∴CP＝
OC﹣OP＝﹣＝，∴CG的最小值是，故答案为：．16．（2022?宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标
系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B''和折
痕OP．（1）如图①，连接CB''，当CB''长度最小时，求点P的坐标；（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB''上，
得点C''和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动
路径长．【解答】（1）解：设BP＝x，由题意，当CB''长度最小时，O，B''，C三点共线，∵∠OBP＝90°，由翻折得，∠OB''P＝
90°，∴∠CB''P＝90°＝∠OBP，∵∠B''CP＝∠OCB，OB＝6，BC＝8，∴△B''CP∽△BCO，OC＝，∴，∴，解得：
x＝3，∴点P的坐标为（3，6）；（2）①解：∵△OB''P，△QC''P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，∴∠OPB''＝∠OPB
，∠QPC''＝∠QPC，∵∠OPB''+∠OPB+∠QPC''+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB
＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝x，BC＝8，AC＝6，则PC＝
8﹣x，CQ＝6﹣AQ，∴，∴AQ＝（0＜x＜8），∴当x＝4时，AQ最小为，点P的坐标为（4，6）；②解：由①知，CQ＝6﹣AQ
＝，其中，0＜x＜8，当x＝4时，CQ取最大值，在P从BC中点运动到C点的过程中，CQ的长度从最大值减小为0，故Q点运动路径长度为
：．17．（2022?鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个?ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”小明的思考：在不
明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．例如，假设?ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA
．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA．∴BA＝BE．（①）∵E是边BC的中点，∴……再倒过来，只要作出
的?ABCD满足BC＝②BA即可．（1）填空：① 等角对等边 （填推理依据）；② 2 ．（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一
个?ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）（3）问题（2）所作的?
ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k
的取值范围．【解答】解：（1）假设?ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DA
E．∴∠BAE＝∠BEA．∴BA＝BE．（等角对等边）∵E是边BC的中点，∴BC＝2BA，故答案为：等角对等边，2；（2）方法一：
①作线段BC的垂直平分线，取BC的中点E，以E为圆心，BE的长为半径作⊙E，在圆上任取一点G，连接CG，BG，则CG⊥GB，②取E
C的中点F，以FB为半径，F为圆心作弧，交BG的延长线于点D，则FD＝FB，作B点的垂直平分线交BD于O，交AD于K，则FO⊥BD
，OB＝OD，③以O为圆心OC长为半径作⊙O，延长CO，交⊙O于点A，则OA＝OC，连接AB、AD、DC，则四边形ABCD是平行四
边形，④连接AE，此时AE∥FK，FK⊥BD，即AE⊥BD；方法二：①作BE＝EC，任作射线BP（角度要小），②作EH⊥BP于点H
，在射线EH上截HA＝2EH，③以点A为圆心作AD＝BC交BP于点D，④连接AB，CD即可；（3）由作图可知，问题（2）所作的?A
BCD中的BC和BA也有和（1）类似的数量关系，BC＝kBA，∵EB＝EC，EF＝FC，设BC＝4a，则BE＝2a，EF＝FC＝a
，∵EO＝EB，FB＝FD，∴∠EOB＝∠EBO，∠FDB＝∠FBD，∴∠EOB＝∠FDB，∴EG∥FD，∴＝＝，即BD＝BG，根
据三角形三边关系得|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，∵点G是⊙E上的一动点，则0＜BG＜2BC，即0＜BG＜4a，∴0＜BD＜
6a，∵|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，BC＝4a，∴2a＜CD＜4a，∵AB＝CD，∴2a＜AB＜4a，∵BC＝4a，∴1
＜＜2，即1＜k＜2．18．（2022?扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，
直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．【知识方法】（1）如图1，A
E＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC于点E，则AB与CD的关系是 AB＝CD，AB⊥CD ；【类比迁移】（2）四边形ABCD是
矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．①如图2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP
与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最
小值为 ；【拓展应用】（3）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，
将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最
小值．【解答】解：（1）如图1，延长AB交CD于H，∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEC＝90°，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE（S
AS），∴∠CDE＝∠BAE，AB＝CD，∵∠BAE+∠ACD＝∠ACE+∠CDE＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AB⊥CD，故答
案为：AB＝CD，AB⊥CD；（2）①，BP⊥DE，理由如下：如图2，延长ED，BP交于点H，∵AB＝2＝CD，BC＝4，∴CD：
BC＝1：2，∵CE⊥CP，CE：CP＝1：2，∴∠PCE＝90°＝∠BCD，＝，∴∠BCP＝∠DCE，∴△BCP∽△DCE，∴，
∠PBC＝∠CDE，∴∠PBC+∠CDH＝∠CDE+∠CDH＝180°，∴∠BCD+∠H＝180°，∴∠H＝90°，∴BP⊥DE；
②设PD＝x，∴PC2＝x2+CD2＝4+x2，∴正方形PCEF的面积＝PC2＝4+x2，∴△DEF面积＝（4+x2）﹣×2×x＝
（x﹣1）2+，当x＝1时，△DEF面积的最小值为，故答案为．（3）如图，由折叠的性质可得：BP＝PE，CP＝PF，∠CPF＝∠B
PE＝90°，∴∠CPB＝∠FPE，∴△BCP≌△EFP（SAS），∴EF＝BC＝4，∠C＝∠EFP＝90°，∵∠FPC＝∠ADC
＝90°，∴AD∥PF，∴AD⊥EF，∴四边形AEGF面积＝×EF×AG＝2AG，∵∠BPC+∠PBC＝90°＝∠BPC+∠DPG
，∴∠CBP＝∠DPG，又∵∠C＝∠D＝90°，∴△BCP∽△PDG，∴，∴DG＝＝，∴当PC＝1时，DG有最大值，即AG的最小值
为，∴四边形AEGF面积＝2×＝．19．（2022?锡山区一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的
顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠AB
C＝ ，sin∠CAD＝ ．（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD
是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对
余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与
t的函数表达，并注明t的取值范围 u＝（0＜t＜4） ．【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F
．∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，∴cos∠ABC＝＝，在Rt△AEB中，AE＝＝＝4，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD
＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝，∴sin∠
CAD＝＝，故答案为：，；（2）如图2，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四
边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝
DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形
ABCD是对余四边形；（3）如图3，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，A
B＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D
，C，E四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠AD
B，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴，∴，∴u＝，设D（x，t），∵四边形ABCD是对余四边形，可得BD2＝2CD2
+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△AD
H中，AD＝＝＝2，∴u＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4），故答案为：u＝（0＜t＜4）．20．（2022?海陵区一模）如图，
在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线B
C于点G．（1）求证：EG＝BG；（2）若m＝2．①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；②当直线BF经过点D时，直接写
出AB的长；（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答
】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，∵△ABE与△FBE关于BE对称，∴∠AEB＝∠BEF，
∴∠EBG＝∠BEF，∴EG＝BG；（2）解：①点G与C重合；理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，∴
EH＝AB＝6．AE＝BH＝2，设BG＝EG＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，∴x2＝62+（x﹣2）2，∴x＝10
，∵BC＝AD＝10，BG＝10，∴点G与C重合；②如图2中，由轴对称的性质可知AB＝BF，AE＝EF＝2，∵＝＝，∴＝，∴可以假
设AB＝k，BD＝4k，则DF＝3k，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，∴82＝22+（3k）2，∴k＝（负根已经舍去），
∴AB＝；（3）解：如图1中，设BG＝EG＝y，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，∴y2＝AB2+（（y﹣m）2，∴y＝?
AB2+，∴BG﹣AE＝AB2总成立，∴?AB2+m﹣＝AB2，∴m＝．21．（2022?兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6
，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点N与点C重合时，直线m恰好经过点D．（1）求BC长
；（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．①当BN＝4时，求EN长；②如图3，连接DM，交直线n于点G，
在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．【解答】解：（1）如图1中，连接DM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，CD＝
AB＝6，BC＝AD，∵M是BC的中点，∴AM＝BM＝3，∵直线m垂直平分线段MN，∴DM＝DC＝6，∴AD＝＝＝3，∴BC＝3；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△MBN中，∠B＝90°，∴MN＝＝＝5，∵直线m垂直平分线段MN，∴ON＝
MN＝，∠EON＝90°＝∠B，∵直线n垂直BC，∴∠ENB＝∠B＝90°，∴AB∥EN，∴△BMN∽△NOE，∴＝，∴EN＝＝＝
．②∵∠A＝∠B＝∠ENB＝90°，∴四边形ABNF是矩形，∴FN＝AB＝6，AF＝BN，∵AB∥EN，∴∠A＝∠DFG，∴△DF
G∽△DAM，∴＝，∴FG＝＝＝3﹣BN，∵EN＝＝＝＝，∴GE＝FN﹣FG﹣EN＝6﹣（3﹣BN）﹣＝﹣BN2+BN+＝﹣（BN
﹣）2+2，∵﹣＜0，∴当BN＝﹣＝时，GE的长有最大值，最大值＝2．八．切线的性质（共2小题）22．（2022?崇川区一模）如图
，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．（1）求证：BC平分∠AB
D；（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CG是⊙
O的切线，OC是⊙O的半径，∴OC⊥CD，∵BD⊥CG，∴∠OCD＝∠BDC＝90°，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∴∠OB
C＝∠DBC，∴BC平分∠OBD；（2）解：如图2，连接AC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠E，∴sinA＝si
nE＝，在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝AB＝6，∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∴∠OBC+∠A＝∠DBC+∠
BCD＝90°，∵∠OBC＝∠DBC，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sinA＝，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝＝，BC＝
6，∴BD＝BC＝，在Rt△BCD中，BC＝6，BD＝，根据勾股定理得：CD＝＝．23．（2022?常州一模）如图（1），∠ABC
＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度
时与⊙O相切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．【解答】解：（
1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，在Rt△OBF
中，OF＝2，OB＝4，∴cos∠OBF＝＝，∴∠OBF＝∠BOF＝45°，∴∠ABF＝45°，同理：当∠ABF＝135°时，AB
与⊙O相切，∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．（2）过点O作OH⊥AB于点H，∵射线BA绕点B按顺时
针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，∴∠ABC＝30°，∴OH＝OB＝×4＝2，在Rt△OMH中，OM＝2，∴cos∠MOH
＝＝，∴∠MOH＝45°，∴∠MON＝90°，∴的长为：＝π．九．圆的综合题（共2小题）24．（2022?秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G
，H，因此该四边形是双圆四边形．【性质初探】（1）双圆四边形的对角的数量关系是 互补 ，依据是 圆内接四边形的对角互补 ．（2
）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．【揭示关系】（4）根据双圆四边形与四
边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．【特例研究】（5）已知P，M分别是双圆
四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．【解答】解：（1）双圆四边形的对角的
数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；（2）∵⊙P与四边形ABCD四边相切，∴AE
＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；即双圆四边形
的对边的和相等；（3）证法一：如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，∵四边形ABCD内接于⊙M，∴∠B+
∠D＝180°，∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，∴∠DHP＝∠DGP＝90°．∴∠D+∠HPG＝180°．同理∠B+
∠EPF＝180°．∴∠HPG+∠EPF＝180°．∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，∴∠HEG+∠EHF＝（∠HPG+∠
EPF）＝90°，∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；证法二：如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG
，GK，HE，EF，∵四边形ABCD内接于⊙M，∴∠B+∠D＝180°，∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，∴DH＝DG
，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，∴∠DHG＝∠DGH＝（180°﹣∠D），∵HK是⊙P直径，∴∠HGK＝90°，
即∠GHP+∠K＝90°，∴∠DHG＝∠K，∵∠HEG＝∠K，∴∠DHG＝∠HEG，∴∠HEG＝（180°﹣∠D），同理∠EHF＝
（180°﹣∠B），∴∠HEG+∠EHF＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠B）＝90°，∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；证法三
：如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，∵四边形ABCD内接于⊙M，∴∠B+∠D＝180°，∵⊙P是四边形AB
CD的内切圆，H、G为切点，∴KG＝KE，∴∠KGE＝∠KEG，∵∠KGE+∠DGE＝180°，∴∠KEG+∠DGE＝180°，同
理∠DHF+∠BFH＝180°，在四边形DHNG和四边形BFNE中，∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，∵
∠HNG＝∠FNE，∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；（4）阴影区域如下图；（5）如图4，连接AC，连接FM，ME，∵∠B＝90°
，∴AC是⊙P的直径，由（2）知：AB+CD＝BC+AD，设AD＝x，则CD＝x+1，∴AC2＝x2+（x+1）2＝12+22，∴
x1＝1，x2＝﹣2，∴AD＝1，CD＝2，∴AD＝AB，CD＝BC，∵AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ACB＝∠
ACD，∠CAD＝∠CAB，∴点M在AC上，∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，∴四边形BEMF是正方形，∴EM＝FM
，∵EM∥BC，∴∠AME＝∠ACB，∴tan∠AME＝tan∠ACB，∴＝，设AE＝a，EM＝2a，∴2a＝1﹣a，∴a＝，∴P
M＝﹣＝．故答案为：．25．（2022?玄武区一模）旋转的思考【探索发现】（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB
′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高
AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．（ⅰ）请证明小美所发现的结论．（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明
途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．【问题解决】（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将
△ABC绕点M逆时针旋转得到△A''B''C''．（ⅰ）如图③，当边B''C''恰好经过点C时，连接BB''，则BB''的长为 4 ．（ⅱ）在
旋转过程中，若边B''C''所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB''，CC''交于点P，则BP的最大值为 5 ．【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△
ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，∴＝．∵∠BAB′＝∠CAC′，∴△
ABB′∽△ACC′．∴＝；（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∠B＝∠B′∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，∴
△ABD≌△AB′D′（AAS），∴AD＝AD′，∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，∴B′C′是⊙A的切线．故答案为：∠B＝
∠B′，AD＝AD′；（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．∵AB＝AM＝，∠A＝90°，∴BM
＝AB＝，∵MC＝MC′＝，tanC′＝＝，∴MH＝1，HC′＝CH＝2，∴CC′＝2CH＝4，由旋转变换的性质可知，MB＝MB′
，∠BMB′＝∠CMC′，∴△BMB′∽△MCC′，∴＝，∴＝，∴BB′＝4．故答案为：4；（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．（3）
如图⑤中，连接MB，MB′．∵△MBB′∽△MCC′，∴∠MB′B＝∠MC′C，∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，∴∠MC′C+
∠PBM＝180°，∴∠BMC′+∠CPB＝180°，∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，∴∠A′MB＝45°，∴∠BMC′＝135
°，∴∠CPB′＝45°，∵BC＝＝＝5＝定值，∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．∴∠BOC＝2∠CPB＝
90°，∴OB＝OC＝OP＝，∵PB≤OB+OP＝5，∴BP的最大值为5．故答案为：5．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）2
6．（2022?崇川区一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．（
1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 2 ；若AF?DF＝9时，求DF的长；（2）作∠ABF的平分线交射线DA
于点M，当时，求DF的长．【解答】解：（1）当点E在边CD上时，∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，∴BF＝BC＝10．∴
AF＝＝＝8．∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2．故答案为：2；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝
90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF．∴△FAB∽△EDF，∴．∴AF?DF＝AB?DE．∵AF?DF＝9，A
B＝6，∴DE＝．∴CE＝CD﹣DE＝．∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，∴EF＝CE＝．∴DF＝＝3；（2）①点F在AD边上时，过点M作MN⊥BF于点N，如图，∵BM平分∠ABF，MA⊥AB，MN⊥BF，∴MA＝MN．∵∠A＝∠MNF＝90°，∠AFB＝∠NFM，∴△FAB∽△FNM，∴．∵，BF＝BC，∴．∵AB＝6，∴MN＝3．在Rt△ABM和Rt△NBM中，，∴Rt△ABM≌Rt△NBM（HL）．∴BN＝AB＝6．设MF＝x，则BF＝BC＝2x，∴FN＝2x﹣6，在Rt△MNF中，∵MN2+FN2＝MF2，∴32+（2x﹣6）2＝x2，解得：x＝5或x＝3（舍去），∴BC＝2x＝10，∴AD＝BC＝10．∴DF＝AD﹣AM﹣MF＝2；②点F在边DA的延长线时，过点M作MN⊥BF于点N，如图，同①可得：AM＝MN＝3，BN＝AB＝6，BC＝AD＝10．∵BF＝BC＝10，∴FN＝BF﹣BN＝10﹣6＝4．∴MF＝＝＝5，∴DF＝AD+AM+MF＝18．综上，当时，DF的长为2或18．一十一．相似形综合题（共2小题）27．（2022?常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD为△ABC的“优美分割线”；（2）解：如图，△ABC中，CD为“优美分割线”；（3）解：①若AD＝CD时，如图，此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，则∠ACB＝60°，故∠B＝90°，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，∴BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，∴BD＝BC?tan30°＝；②若AC＝AD时，如图，作CE⊥AB于E，则∠ACD＝∠ADC＝75°，∠BCD＝∠A＝30°，∠BDC＝105°，此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，∵∠A＝30°，AC＝6，∴EC＝3，AE＝3，∵∠B＝45°，∴EC＝BE＝3，AB＝3，∴BD＝AB﹣AD＝3，③若AC＝CD时，图形不成立，综上，BD＝或3﹣3．28．（2022?邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ 60 °；（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．【解答】（1）解：如图1中，∵OM⊥ON，∴∠EOF＝90°，∵AE＝AF，∴OA＝AE＝AF，∵ED∥ON，∴∠AGE＝∠AOF，在△AGE和△AOF中，，∴△AGE≌△AOF（AAS），∴AG＝OA，∴EF＝OF，∵DE＝DF，OG＝EF，∴DE＝DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°．故答案为：60；（2）解：图形如图2所示．理由：∵∠EOF＝90°，AE＝AF，∴OA＝AF＝AE，∴∠AOF＝∠AFO，∴DE∥OF，∴∠AFO＝∠DEF，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AOF＝∠AFO＝∠DEF＝∠DFE，∴△DEF∽△AOF；（3）解：如图2﹣1中，当点G在DF上时，设DF＝DE＝x，AE＝AF＝OA＝AT＝y．过点A作AK⊥FG于点K，AH⊥OF于点H．∵△DEF∽△AOF，∴＝，∴＝，∴OF＝，∵∠AFO＝∠AFG，AH⊥OF，AK⊥FG，∴AH＝AK，∴＝＝＝，∴＝，∴x2+2x＝8y，∵DT∥OF，∴＝，∴＝，∴y＝，∴x2+2x＝，解得x＝﹣3+或﹣3﹣或0，经检验x＝﹣3+是分式方程的解，且符合题意．∴DF＝﹣3+．如图3中，当点G在DE上时，由题意AE＝AF＝AO＝AG＝4，设DF＝DE＝y．由△DEF∽△AOF可得＝，∴＝，∴y2﹣2y﹣32＝0，∴y＝1+或1﹣，经检验y＝1+是分式方程的解，且符合题意，∴DF＝1+，综上所述，满足条件的DF的值为：﹣3+或1+． |
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