2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编二次函数的应用23．（2022·佛山禅城区二模）国家推行“节能减
排，低碳经济”政策后，电动汽车非常畅销．某汽车经销商购进A、B两种型号的电动汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多4万
元，花100万元购进A型汽车的数量与花60万元购进B型汽车的数量相同，在销售中发现：每天A型号汽车的销量yA＝2（台），B型号汽车
的每天销量yB（台）与售价x（万元/台）满足关系式yB＝﹣x+10．（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；（2）若A型汽车的售价
比B型汽车的售价高2万元/台，且两款汽车的售价均不低于进货价，设B型汽车售价为x万元/台，每天销售这两种车的总利润为W万元，当B型
汽车售价定为多少时，每天销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？【解答】解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，依题
意得：，解得：m＝10，检验：m＝10时，m≠0，m﹣4≠0，故m＝10是原分式方程的解，故m﹣4＝6．答：A种型号的汽车的进货单
价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为6万元；（2）根据题意得出：W＝2（x+2﹣10）+（x﹣6）（﹣x+10）＝﹣x2+18
x﹣76＝﹣（x﹣9）2+5，∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴当x＝9时，W有最大值为5，答：当B型汽车售价定为9万元时，每天销
售这两种车的总利润最大，最大总利润是5万元．22．（2022·惠州惠阳区二模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，电动汽车非常畅
销．某汽车经销商购进A、B两种型号的电动汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多4万元，花100万元购进A型汽车的数量与
花60万元购进B型汽车的数量相同，在销售中发现：每天A型号汽车的销量yA＝2（台），B型号汽车的每天销量yB（台）与售价x（万元/
台）满足关系式yB＝﹣x+10．（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；（2）若A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，且两款
汽车的售价均不低于进货价，设B型汽车售价为x万元/台，每天销售这两种车的总利润为W万元，当B型汽车售价定为多少时，每天销售这两种车
的总利润最大？最大总利润是多少万元？解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，依题意，得.解得m=10，检验：m=10时，m≠
0，m-4≠0，故m=10是原分式方程的解，故m-4=6．答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为6万元
；（2）根据题意，得W=2（x+2-10）+（x-6）（-x+10）=-x2+18x-76=-（x-9）2+5，∵a=-1＜0，抛
物线开口向下，∴当x=9时，W有最大值为5，答：当B型汽车售价定为9万元时，每天销售这两种车的总利润最大，最大总利润是5万元．22
．（2022·华南师大附中二模）北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位
置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小
雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动．（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达
到最高位置为米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．【解答】解：（1）由题意
可知抛物线C2：y＝ax2+x+c过点（0，4）和（6，），将其代入得：，解得，．∴a＝﹣，c＝4；（2）∵抛物线C2经过点（0，
4），∴c＝4，抛物线C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+，当x＝8时，运动员到达坡顶，即82a+8×+4＞+，解得a≥﹣，∴﹣≤a＜0
．21．（2022·深圳福田区二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆
在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB＝2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙
CD不少于米．如图2，以O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：（1）直接写出点A的坐标是 （
16，0） ，抛物线顶点P的坐标是 （8，8） ；（2）求出这条抛物线的函数表达式；（3）根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的
高度不能超过 3 米．【解答】解：（1）由题意可知：点A的坐标是（16，0），抛物线顶点P的坐标（8，8）；（2）∵顶点坐标（8
，8）；∴设y＝a（x﹣8）2+8（a≠0）；又∵图象经过（0，0）∴0＝a（0﹣8）2+8，∴；∴这条抛物线的函数表达式为y＝（
x﹣8）2+8，即y＝x2+2x；（3）通过隧道车辆的高度不能超过3米．理由：以下图为例，由图可知，当车高h一定时，空隙的最小值C
D，在x＝14时取得，此时，，此时，，由题意，得，解得h≤3．所以通过隧道车辆的高度不能超过3米．20．（2022·深圳龙岗区一模
）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）
与每千克售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣2x+160．（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝
1000，整理得：x2﹣100x+2100＝0，解得x1＝30，x2＝70，又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤
40，答：每千克樱桃的售价应定为30元；（2）设超市日销售利润为w元，w＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣32
00＝﹣2（x﹣50）2+1800，∵﹣2＜0，∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2
（40﹣50）2+1800＝1600，答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．二次函数综合题24．
（2022·佛山禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛
物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关
系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答
】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点
C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠
DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180
°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x
＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣
2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x
，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y
＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的
函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q作QH⊥GH，则∠AG
B＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝
，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得t
＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，
∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE
＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同
理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）． 24．（2022·佛山禅城区一摸）函数图象交x轴于A，B两
点（点A在左侧）、交y轴交于点C．已知：OB＝2OA，点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB．（1）求抛物线解析式；（2）抛物
线上点P在第一象限，当∠OCB＝2∠PCB时，求点P的坐标；（3）抛物线上的点D在第一象限内，过点D作直线DE⊥x轴于点E，当7O
E＝20DE时，直接写出点D的坐标；若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形
？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB，∴
C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝x2+bx﹣2，令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，∴xA?xB＝﹣8，∵OB＝2OA，点A在左侧，
∴xB＝﹣2xA，∴xA＝﹣2，xB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），将点A代入y＝x2+bx﹣2，得b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣
2；（2）如图1，∵∠OCB＝2∠PCB，∴P点在∠OCB的角平分线上，设CP交x轴于点D，过点D作DG⊥BC于点G，∴DO＝DG
，∵B（0，4），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴OB＝2，∴sin∠OBC＝，∴＝，解得OD＝﹣1，∴D（﹣1，0），设
直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，联立方程组，解得x＝0（舍）或x＝2+4，∴P（2+4，5+3）；（3）存在
以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设D（t，t2﹣t﹣2），则E（t，0），∵点D在第一象限内，∴DE＝t2
﹣t﹣2，OE＝t，∵7OE＝20DE，∴7t＝20（t2﹣t﹣2），解得t＝5或t＝﹣（舍），∴D（5，），∵y＝x2﹣x﹣2＝
（x﹣1）2﹣，∴函数的对称轴为直线x＝1，设M（m，m2﹣m﹣2），N点横坐标为1，①当MN、BD为平行四边形的对角线时，m+1
＝4+5，∴m＝8，∴M（8，10）；②当MB、ND为平行四边形的对角线时，m+4＝1+5，∴m＝2，∴M（2，﹣2）；③当MD、
NB为平行四边形的对角线时，m+5＝1+4，∴m＝0，∴M（0，﹣2）；综上所述：M点的坐标为（8，10）或（2，﹣2）或（0，﹣
2）．25．（2022·佛山南海区一摸）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．（1）求该
二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D
、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点
Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒
（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出t
的值．【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；（2）
当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4
﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形A
BCD为正方形时，m的值为4．（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点
B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），
C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣
x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四
边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t
+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4； ②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t
2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴8﹣t＝﹣t2+t，解得：t3＝4（舍去），t4＝6；③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝
8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴8﹣t＝t2﹣t，解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．综上所述：当以
A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或2+2．24．（2022·佛山三水区一模）已知抛物线y＝a（x
﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），顶点为点A，且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合），点D（2，2）在直线l
上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点N的坐标为（6n，n），且点N在抛物线对称轴的右侧，请证明∠MAN＝90°；（3）过点A作A
E⊥l，垂足为点E，求点B到点E的最短距离．【解答】解：（1）把点B（0，2）代入y＝a（x﹣2）2，得：4a＝2，∴a＝，∴抛物
线的解析式为y＝（x﹣2）2；（2）将点N（6n，n）代入y＝（x﹣2）2；则n＝（6n﹣2）2，解得n1＝，n2＝，∵点N在抛物
线对称轴的右侧，∴6n＞0，∴n＝，∴N（3，），由点D（2，2），N（3，）可得直线l的解析式为y＝﹣x+5，解得，，，∴M（﹣
2，8），如图1，分别过点M，N作MP⊥x轴于P，NQ⊥x轴于Q，∴∠APM＝∠NQA＝90°，∵＝＝8，＝＝8，∴，∴△APM∽
△NQA，∴∠MAP＝∠ANP，∵∠NAQ+∠ANQ＝90°，∴∠NAQ+∠MAP＝90°，∴∠MAN＝90°；（3）∵点A（2，
0），点D（2，2），点B（0，2），∴AD＝2，∵AE⊥l，∴点E在以AD为直径的圆上，设圆心为G，则点G（2，1），∴BG＝＝
，如图2，连接BG、EG，则BE≥|BG﹣EG|＝﹣1．当且仅当点E在线段BG上时，上式取“＝“，∴BE的最小值为﹣1，即点B到点
E的最短距离是﹣1．22．（2022·佛山顺德区一模）抛物线C1：y＝﹣ax2﹣4（a﹣1）x﹣a+5（a≠0）．（1）将C1先向
右平移m个单位．再向下平移n个单位得到C2，点A（3，4﹣n）和点B（4，6﹣2n）在C2上．当C1的对称轴为y轴时，求C2的表达
式；（2）求证：不论a为何值，抛物线C1与x轴总有公共点．【分析】（1）由C1的对称轴为y轴可得a的值，从而且求出C1解析式，根据
抛物线的平移可得C2的解析式，将点A（3，4﹣n）和点B（4，6﹣2n）代入解析式求解．（2）令y＝0，通过抛物线与x轴交点个数与
Δ的关系求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣ax2﹣4（a﹣1）x﹣a+5，∴C1的对称轴为直线x＝，∵C1的对称轴为y轴，∴a﹣1＝
0，解得a＝1，∴C1解析式为y＝﹣x2+4，∵C2的图象是由C1先向右平移m个单位．再向下平移n个单位得到，∴C2的表达式为y＝
﹣（x﹣m）2+4﹣n，∵点A（3，4﹣n）和点B（4，6﹣2n）在C2上，∴，解得，∴C2的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+1．（2
）证明：将y＝0代入y＝﹣ax2﹣4（a﹣1）x﹣a+5得﹣ax2﹣4（a﹣1）x﹣a+5＝0，∴Δ＝[﹣4（a﹣1）]2﹣4（﹣
a）（﹣a+5）＝16（a﹣1）2+4a（﹣a+5）＝12（a﹣）2+13，∵12（a﹣）2+13＞0，∴抛物线C1与x轴总有2个
交点．25．（2022·珠海香洲区一模）已知抛物线y＝mx2+（1+2m）x﹣3m﹣1与x轴相交于不同的两点A、B．（1）求m的取
值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当﹣8≤m＜﹣时，由（2）求出的点P和点A，B构成的
△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．【解答】（1）解：∵抛物线y＝mx2+（1+2m）x+﹣3m﹣1与x轴相
交于不同的两点A、B，∴Δ＝b2﹣4ac＝（1+2m）2﹣4×m×（﹣1﹣3m）＝（1+4m）2＞0，∴1+4m≠0，∴m≠﹣，∵
二次项系数是m，∴m≠0，∴m的取值范围为m≠0且m≠﹣；（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1+2m）x﹣3m﹣1，∴y＝m（x2
+2x﹣3）+x﹣1，∵抛物线过定点，∴过此定点时，y与m无关，显然当x2+2x﹣3＝0时，y与m无关，解得x＝﹣3或x＝1，当x
＝﹣3时，y＝﹣4，定点坐标为（﹣3，﹣4）；当x＝1时，y＝0，定点坐标为（1，0），∵P不在坐标轴上，∴P（﹣3，﹣4）；（3
）解：|AB|＝|xA﹣xB|＝＝＝＝|||＝||，∵﹣8≤m＜﹣，∴﹣4＜≤﹣，∴0＜+4≤，∴0＜|+4|≤，∴|AB|最大时
，|+4|＝，解得m＝﹣8，或m＝﹣（舍去），∴当m＝﹣8时，|AB|有最大值 ，此时△ABP的面积最大，没有最小值，则△ABP面
积最大为：|AB|?|yP|＝××4＝．故当m＝﹣8时，△ABP面积取最大值为．25．（2022·惠州市一模）如图1，抛物线y＝a
x2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式
；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理
由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最
小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对
称轴是直线x＝，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．令y＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+n，∴，解得．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣
4．设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣3m﹣4），过点P作PM∥y轴交BC于点M，∴M（m，m﹣4），∴PM＝（m﹣4）﹣（m2
﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4＝﹣2m2+8m+10
．∵四边形ABPC的面积为16，∴﹣2m2+8m+10＝16，解得m＝1或m＝3，∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）．（3）如图，过点
B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴BC＝4，
∠OBC＝45°，∵BF⊥BC，∴∠FBO＝45°，∵抛物线的对称轴是直线x＝，∴点F的纵坐标为：4﹣＝，∴F（，）．在CB上取C
E＝，过点E作EG⊥OC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，∴CG＝EG＝，EH＝﹣＝1．∴FH＝6，∵CQ＝2，CE＝，BC＝
4，∴＝，＝，∠QCE＝∠BCQ，∴△CQE∽△CBQ，∴＝＝，∴QE＝BQ，∴BQ+FQ＝QE+FQ≥FE，∴当F，Q，E三点共
线时，取得最小值，最小值为FE的长，∵EH⊥FH，∴EF＝．则BQ+FQ的最小值为：．24．（2022·惠州惠城区一模）已知抛物线
y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动
点，且始终位于直线BC上方，求△CPB的面积最大时点P的坐标；（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标
．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，∴，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+
3；（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设P（m
，﹣m2+m+3），则E（m，﹣m+3），∵点P是抛物线上一动点，且始终位于直线BC上方，∴PE＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣
m2+3m，∴△CPB的面积＝?PE?OB＝×4（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴当m＝2时，△CPB的面积最大，
此时点P的坐标为（2，）； （3）分两种情况：①当点M在直线BC的上方时，如图2所示，∵∠MCB＝∠ABC，∴CM∥AB，∴M的纵
坐标为3，当y＝3时，﹣x2+x+3＝3，解得x1＝0，x2＝3，∴M（3，3）；②当M在直线BC的下方时，如图3所示，∵∠MCB
＝∠ABC，∴CD＝BD，设D（x，0），∴4﹣x＝，∴x＝，设直线CM的解析式为y＝kx+3，把D（，0）代入得：k+3＝0，∴
k＝﹣，∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+3，∴﹣x2+x+3＝﹣x+3，解得：x1＝0，x2＝，∴M（，﹣）；综上，点M的坐标为（
3，3）或（，﹣）．25．（2022·惠州惠阳区二模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于
点C，图象的对称轴为直线x＝﹣1．连结AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的
横坐标为m．（1）求AB的长度；（2）连结AE、CE，当△ACE的面积最大时，求点D的坐标；（3）直接写出m为何值时，△ADF与△
CDE相似．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，解得b=-2，∴y=-x2-2x+3，令y=0，得-x2
-2x+3=0，解得x1=-3，x2=1，∴A（-3，0），B（1，0），∴AB=1-（-3）=4；（2）设直线AC的解析式为y=
kx+d，∵A（-3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y=x+3，设D（m，m+3），则E（m，-m2-2m+3），如图
1，∴DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m，（3）当△ADF∽△CDE时，如图2，∴∠CED=∠AFD=90°，∴CE
∥AF，即CE∥x轴，∴-m2-2m+3=3，解得m1=0（舍去），m2=-2；当△ADF∽△EDC时，则∠AFD=∠ECD=90
°，如图3，过点C作CK∥x轴交EF于点K，∵OA=OC=3，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∵CK∥x轴，∴∠CKD=∠A
FD=90°，∴∠ADF=∠CDE=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，∵CK⊥DE，∴EK=DK=CK=-m，∴-m+3=-m2
-2m+3，解得m=0（舍去）或m=-1；综上所述，当m=-2或-1时，△ADF与△CDE相似． 24．（2022·惠州惠阳区一
摸）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，
对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S
△EBC，求此时点P的坐标；（3）点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条
件的点Q的横坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）在x轴上取点H，使BH＝BE＝2，过点H（5，0）作BC的平行线交抛物
线于点P，则点P为所求点，进而求解；（3）分BC是边、BC是对角线两种情况，利用图形平移、中点公式和矩形的性质，分别求解即可．【解
答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；（2）在x轴上取点H，使BH＝BE＝2，过点H（5，0）作
BC的平行线交抛物线于点P，则点P为所求点，理由：点H、E和直线BC的间隔相同，则到BC的距离相同，故S△PBC＝S△EBC，设直
线B、C的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，∵PH∥BC，故设PH的表达式为y＝x+s，将点H的坐标
代入上式并解得s＝﹣5，故直线PH的表达式为y＝x﹣5②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（2，﹣3）；（3）
设点Q的坐标为（m，n），n＝m2﹣2m﹣3③，点M的坐标为（s，t），①当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点
B，同样Q（M）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点M（Q），且BQ＝CM（BM＝CQ），∴④或⑤，联立①④并解得m＝0（舍去）
或1；联立①⑤并解得m＝3（舍去）或﹣2，故m＝1或﹣2；②当BC是对角线时，由中点公式和BC＝QM得：⑥，联立①⑥并解得m＝，综
上，点Q的横坐标为m＝1或﹣2或．25．（2022·珠海市一模）如图，四边形ABCD顶点坐标分别为A（0，），B（﹣，），C（1，
0），D（1，），抛物线经过A，B，D三点．（1）请写出四边形AOCD是哪种特殊的平行四边形；（2）求抛物线的解析式； （3）△A
CD绕平面内一点M顺时针旋转90°得到△A1C1D1，即点A，B，C的对应点分别为A1，C1，D1，若△A1C1D1恰好两个顶点落
在抛物线上，求此时A1的坐标．25．（12分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝
﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E．（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求
证：①CB＝CE；②D是BE的中点；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出
所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：∵点B（﹣2，m）在直线y＝﹣2x﹣1上∴m＝﹣2×（﹣2）﹣1
＝3，∴B（﹣2，3）∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x＝2，∴点A的坐标为（4，0）设所求的抛物线对应函数关系式为y＝a（x﹣
0）（x﹣4）将点B（﹣2，3）代入上式，得3＝a（﹣2﹣0）（﹣2﹣4）∴a＝∴所求的抛物线对应的函数关系式为y＝x（x﹣4）即
y＝x2﹣x；（2）证明：①直线y＝﹣2x﹣1与y轴、直线x＝2的交点坐标分别为D（0，﹣1）E（2，﹣5），过点B作BG∥x轴，
与y轴交于F、直线x＝2交于G，则BG⊥直线x＝2，BG＝4，在Rt△BGC中，BC＝∵CE＝5，∴CB＝CE＝5②过点E作EH∥
x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H（0，﹣5）又点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，﹣1）∴FD＝DH＝4，BF＝EH＝2，∠B
FD＝∠EHD＝90°∴△DFB≌△DHE（SAS）∴BD＝DE即D是BE的中点；（3）解：存在．由于PB＝PE，∴点P在直线CD
上∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+b将D（0，﹣1）C（2，0）代入，得，解得k＝
，b＝﹣1∴直线CD对应的函数关系式为y＝x﹣1∵动点P的坐标为（x，x2﹣x）∴x﹣1＝x2﹣x解得x1＝3+，x2＝3﹣∴y1
＝，y2＝∴符合条件的点P的坐标为（3+，）或（3﹣，）．25．（2022·华南师大附中二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）
与x轴正半轴交于点A，且关于直线x＝2对称．（1）求a，b满足的关系式；（2）直线y＝kx﹣4k+2交抛物线于点B，C，作CP∥y
轴，交直线AB于点P，且当k＝1时，BC＝8；①求抛物线的解析式；②对于每个给定的实数k，请说明点P在一条确定的直线上，并求出这条
直线的解析式．【解答】解：（1）∵关于直线x＝2对称，∴对称轴x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a；（2）①∵k＝1，∴直线方程为y＝x﹣2，
∵直线交抛物线于点B，C，∴x﹣2＝ax2+bx，∵b＝﹣4a，∴x﹣2＝ax2﹣4ax，整理得：ax2﹣（4a+1）x+2＝0，
设B点坐标为（x1，x1﹣2），C点坐标为（x2，x2﹣2），∴x1+x2＝，x1?x2＝，BC＝＝＝?＝?＝8，解得：a＝或a＝
﹣（舍），∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x；②由①可知抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴A（4，0），设B点坐标为（x1，y1），C点
坐标为（x2，y2），联立直线解析式和抛物线解析式可得：x2﹣x＝kx﹣4k+2，整理得：x2﹣（k+1）x+4k﹣2＝0，∴x1
+x2＝4k+4，x1?x2＝16k﹣8，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝，当x＝x2时，
y＝，∴P（x2，），∵y1＝x12﹣x1＝（x1﹣4）x1，∴P（x2，x1x2﹣x1），∴xP＝x2，yP＝x1x2﹣x1＝（
16k﹣8）﹣x1＝4k﹣2﹣x1，∴xP﹣yP＝x2﹣（4k﹣2﹣x1）＝﹣4k+2+x1+x2＝﹣4k+2+4k+4＝6，∴y
P＝xP﹣6，∴点P在定直线y＝x﹣6上．22．（2022·深圳宝安区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）
，B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BD，若∠AB
D＝∠ACB，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是
否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+
c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3．（2）当x＝0时，y＝
3，∴C（0，3），∵B（0，4），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴BC＝AB＝5，∴∠ACB＝∠CAB，∵∠ABD＝∠ACB
，∴∠ABD＝∠CAB，∴tan∠ABD＝tan∠CAB＝3．设点D的坐标为（x，﹣x2+x+3），如图，过点D作DE⊥x轴于点E
，则BE＝4﹣x，DE＝﹣x2+x+3，∴tan∠ABD＝＝3，解得x＝3．∴D（3，3）．（3）设直线AD的解析式为：y＝kx+
n，把点A，D的坐标代入得，解得．∴直线AD的解析式为：y＝x+．∵MN＝AD＝5，∴tan∠MAP＝．①如图，若MN＝MP＝5，
则∠PMN＝90°，tan∠MAP＝＝．∴AM＝，即m1＝．②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，tan∠MAP＝＝．∴A
N＝，∴AM＝AN﹣MN＝．即m2＝．③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，过点P作PQ⊥AN于点Q，则PQ＝MN＝，tan∠
MAP＝＝．∴AQ＝，∴AM＝AQ﹣MQ＝．即m3＝．综上所述，m＝，，时，△PMN是等腰直角三角形．22．（2022·深圳龙岗区
一模）已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析
式；（2）当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直线PC的解析式；（3）如图2，当点P位于第二象限时
，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）将A
（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）过点B作MB⊥CB交于点M
，过点M作MN⊥x轴交于点N，∵A（﹣1，0）、C（0，3），B（3，0），∴OA＝1，OC＝3，BC＝3，∴tan∠ACO＝，∵
∠PCB＝∠ACO，∴tan∠BCM＝＝，∴BM＝，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∴∠NBM＝45°，∴MN＝NB＝1，∴M（
2，﹣1），设直线CM的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线PC的解析式为y＝﹣2x+3；（3）的值是为定值．，理由如下：设P（t
，﹣t2+2t+3），设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝（3﹣t）x+（3﹣t），∴E（0，3﹣t），∴CE＝﹣
t，设直线BP的解析式为y＝k2x+b2，∴，∴，∴y＝（﹣t﹣1）x+3t+3，∴F（0，3t+3），∴CF＝﹣3t，∴＝，∴的
值是为定值．21．（2022·深圳龙华区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）．（1）b＝ 2a+1 （用含a的
代数式表示）；（2）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的另一交点为B，且AB＝3．求a的值；（3）在（2）的条件下，当a为整数时，
记抛物线的顶点为M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线OM上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线
的解析式．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+2，得4a﹣2b+2＝0，∴b＝2a+1，（2）∵抛物线y＝ax
2+bx+2与x轴交于A（﹣2，0），B两点，且AB＝3，∴B（﹣5，0）或（1，0），当B点坐标为（﹣5，0）时，有，解得，当B
点坐标为（1，0）时，有，解得，综上，a＝或﹣1；（3）在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1，∴抛物线的解析式为：
y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，∴顶点M（﹣，），设直线OM的解析式为：y＝mx，则＝﹣m，解得m＝﹣，∴直线OM的解析式为：
y＝﹣x，∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，∴可设新抛物线的顶点M′的坐标为（t，﹣t），∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x
﹣t）2﹣t，∵平移后的抛物线恰好经过原点，∴0＝﹣t2﹣t，解得t＝0或，∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2或y＝﹣（x﹣）2
﹣．21．（2022·深圳南山区二模）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣
4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2
）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的
取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不
必写解答过程）．【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：，解得：．∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣4．配方得：y＝（x﹣1
）2﹣5．∴点M的坐标为（1，﹣5）．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把点A、C的坐标代入得：，解得：，∴直线AC的解析式
为y＝x﹣4．抛物线的对称轴方程为x＝﹣＝1．如图1所示，直线x＝1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F的坐标为（1，﹣1）
．将x＝1代入直线y＝x﹣4得：y＝﹣3．∴E（1，﹣3）．∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，∴﹣3＜
﹣5+m＜﹣1．∴2＜m＜4．（3）如图2所示：把y＝﹣1代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣4＝﹣1，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（
﹣1，﹣1）．∴BD＝1．∵AB∥x轴，A（4，﹣1），∴D（0，﹣1）∴AD＝DC＝3．∴∠DCA＝45°．过点M作ME⊥y轴，
垂足为E．∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）．∴CE＝ME＝1．∴∠ECM＝45°，MC＝．∴∠ACM＝90°．∴∠PCM＝∠CDB
＝90°．①当△MPC∽△CBD时，，即＝，解得PC＝．∴CF＝PF＝sin45°?PC＝×＝．∴P（﹣，﹣）．如图3所示：点P在
点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．∵CP＝，∠FCP＝45°，∠CFP＝90°，∴CF＝FP＝×＝．∴P（，﹣）．②当B
DC∽△MCP时，＝，即＝，解得PC＝3．如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．∵PC＝3，∠PCE＝45°，∠PEC＝90°，∴CE＝PE＝3×＝3．∴P（﹣3，﹣7）．如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．∵PC＝3，∠PCE＝45°，∠PEC＝90°，∴CE＝PE＝3×＝3．∴P（3，﹣1）．综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（﹣，﹣）或（，﹣）．22．（2022·深圳二模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y''，在新抛物线y''的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直线AC：y＝x+4，过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周长的最小值为：2+2．（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；设点Q的坐标为（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：①当AC＝AQ时，如图2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②当CA＝CQ时，∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；③当QA＝QC时，如图3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）． |
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